2023-2024学年广东省佛山市H7教育共同体高一上学期第二次联考数学试题（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市H7教育共同体高一上学期第二次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若是第二象限角，则点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.函数的单调递增区间是
( )
A. B. C. D.
5.已知如且，且，则函数与函数的图象可能是
( )
A. B. C. D.
6.不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，设函数，则下列说法错误的是
( )
A. 是偶函数 B. 函数有两个零点
C. 在区间上单调递减 D. 有最大值，没有最小值
8.若，，则
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.下列说法正确的有( )
A. 锐角是第一象限角
B. 若角的终边过点，则
C. 半圆所对的圆心角是
D. “”是“角为第一或第二象限角”的充要条件
11.有关函数，下列说法正确的是
( )
A. 是奇函数 B. 最小值为
C. 当时， D. 函数有两个零点
12.已知，分别是函数和的零点，则
( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为______．
14.计算：______．
15.若函数是定义在上偶函数，，则______．
16.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间小时的关系为为最初污染物数量，且前小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤__________小时．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知不等式的解集为或，集合，
求实数，的值；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性，并证明；
已知函数在上单调递增，且，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数
用定义证明函数是增函数；
若，且存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
随着经济与国力的进一步加强，我国正向“智造”强国迈进，近几年来一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某企业自主研发了一款高级智能设备，并从年起全面发售经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台．
求企业获得年利润万元关于年产量百台的函数关系式；
当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
22.本小题分
已知函数，．
求不等式的解集；
若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用一元二次不等式解法解出集合，利用集合的交集运算求解即可．
解：，
又，所以．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求．
解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“，”的否定是，．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点的象限的确定，根据角的象限和三角函数的符号关系是解决本题的关键，属基础题．
根据是第二象限，确定三角函数值的符号即可．
【解答】
解：是第二象限，
，，
则在第四象限，
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】利用指数型复合函数的单调性求解．
解：令在单调递减，单调递增，又函数单调递减，
所以函数在单调递增，单调递减．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数运算及指数函数，对数函数的图象及性质，属于中档题．
分析可知，，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．
【解答】
解：由可知，，故，
故函数与函数的单调性相同，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】分和两种情况讨论即可．
解：当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】画出函数的图象，数形结合对各个选项逐个判断即可．
解：在同一直角坐标系中，画出函数，的图象，
从而得函数图象，如图实线部分：
对于，因为函数图象关于轴对称，所以是偶函数，正确；
对于，根据零点的定义结合函数的图象知，函数有三个零点，分别为，错误；
对于，从函数图象观察得在 区间上单调递减，正确；
对于，从函数图象观察得有最大值，没有最小值，正确；
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】根据题干式子结构，构造，利用单调性的性质判定函数单调递增，然后利用函数的单调性比较大小即可．
解：因为，所以，又，
设函数，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，即，
所以．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】举反例判断，根据不等式的性质即可判断，作差法即可判断．
解：当时，，由得不到，故 A错误；
因为，所以，所以，故 B正确；
，又，所以，
即，故 C正确；
因为，所以，又，所以，故 D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据象限角的定义判断，根据正弦函数定义求解判断，根据弧度制的定义判断，根据正弦值的符号与终边所在象限的关系结合充分条件、必要条件定义判断．
解：对于：因为锐角的范围为，终边落在第一象限，故锐角为第一象限角，正确；
对于：，当时，，当时，，错误；
对于：半圆所对的圆心角是，正确；
对于：当时，角的终边在第一或第二象限及轴的正半轴，
当角为第一或第二象限角时，则，
所以“”是“角为第一或第二象限角”的必要不充分条件，错误；
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】利用奇函数定义判断，利用基本不等式求解判断，零点个数转化为方程根的个数判断．
解：对于，因为的定义域为，则定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数，正确；
对于，当时，则，当且仅当时，
即时，等号成立，
当时，，当且仅当，
即时，等号成立，所以的值域为，错误；
对于，当时，，当且仅当时，
即时，等号成立，错误；
对于，函数的零点即方程的根，即的根，
因为，所以方程有两个根，
所以函数有两个零点，正确；
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】由零点为交点横坐标，零点为交点横坐标，结合关于对称，的图象关于对称，数形结合得到，即可判断各项正误．
解：由题设，零点为交点横坐标；零点为交点横坐标；
由关于对称，的图象关于对称，
所以，关于对称，的图象如下：
所以点与点关于对称，即
故，，，、、对；
若，即，此时，与矛盾，错．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】根据对数型函数的定义域和二次根式的性质进行求解即可．
解：因为对数的真数大于零，二次根式被开方数为非负实数，
所以有，解得，所以函数的定义域为．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】利用指数幂运算和对数运算性质化简计算即可．
解：
．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合代入法进行求解即可．
解：令，则的定义域为，关于原点对称，
又，所以是上的奇函数，
所以．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】先列出关于还需要过滤时间小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为小时．
解：根据题意有，，可得，即
设污染物消除至最初的还需要过滤小时，
则，即
则，即，
则，解之得
故答案为：
17.【答案】解：
因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两根，由韦达定理知
解得，．
因为或，，且，
所以，解得，故实数的取值范围是．

【解析】【分析】由不等式解集得和是方程的两根，利用韦达定理列方程求解即可；
利用交集的结果直接列不等式求解参数范围即可．
18.【答案】解：将两边平方可得，
即，
因为，
所以，解得：，
，
因为，所以
因为，所以，
所以，所以
由解得：，，
所以．

【解析】【分析】将两边平方结合即可求解；
先计算，在结合以及的符号判断的符号即可求解；
由的值以及解方程组即可得和的值，由即可求解．
19.【答案】解：
，，定义域为，
由，
，
为偶函数．
，
令，函数在上单调递增，在上单调递增，
当时，，在单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
两边平方得，即，
解得或，
所以所求不等式的解集为．

【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断出是偶函数．
根据函数的单调性、奇偶性求得不等式的解集．
20.【答案】解：
对任意，，有：
，
因为，所以，即，所以，
因此在上递增．
当时，，因为的定义域是，
所以，
所以是奇函数，
由可得，所以，
即有解．
当时，的最小值为，所以；

【解析】【分析】根据函数单调性的定义即可求证的单调性，
根据函数的奇偶性以及单调性将问题转化为，由参数分离和二次函数的最值，可得的范围；
21.【答案】解：
每百台高级设备售价为万元，年产量百辆时销售收入为万元，
总成本为
所以
．
所以年利润．
由当时，，
故当百台时，万元，
当时，，
当且仅当即百台时，等号成立，此时万元，
因为万元万元，
所以年产量百台时利润最大，最大利润为万元．

【解析】【分析】根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系；
分和两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较即可．
22.【答案】解：
由题意得：，即
当时，不等式即为：，解得：
当，方程的两根分别为，．
当时，有，函数图象开口向下，此时不等式的解集为．
当时，有．
当，即时，函数图象开口向上，此时不等式解集为或．
当，即时，函数图象开口向上，此时不等式解集为．
当，即时，函数图象开口向上，此时不等式解集为或．
综上可得：当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或．
令．
，当且仅当时等号成立．
存在使关于的方程有四个不同的实根．
存在使关于的方程有四个不同的实根．
令
为偶函数．
存在使关于的方程有四个不同的实根等价于存在使关于的方程有两个不同的正实根．
则．
所以存在使成立，即存在使成立．
由，，，得．
关于的函数在上单调递减．
则，解得：
．
综上可得：当存在使关于的方程有四个不同的实根，实数的取值范围为．

【解析】【分析】本题考查含参一元二次不等式的解法，函数与方程之间的关系解题关键在于：第问对参数的讨论以及一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系的掌握和灵活使用；第问先利用基本不等式及函数性质将关于的方程有四个不同的实根转化为关于的方程有两个不同的正实根；再结合根与系数的关系列出不等式组，逐个进行求解．
按照和分为两种情况，当时，不等式为一元一次不等式，直接求解即可；当时不等式为一元二次不等式，根据一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系进行求解．
先令，由，利用基本不等式得，；再将关于的方程有四个不同的实根转化为关于的方程有两个不同的正实根，结合根与系数的关系即可求解．
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