2023—2024学年苏科版数学九年级上册2.2圆的轴对称性课件(25张ppt）

(共25张PPT)
2.2 圆的对称性（1）
苏科版九年级上册 数学
什么是中心对称图形？请举例说明.
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
一、知识回顾
线段是中心对称图形（如图），
中点O是它的对称中心.
平行四边形是中心对称图形（如图），
对角线交点O是它的对称中心.
思考1：圆是中心对称图形吗？若是，请指出对称中心.
二、探究新知
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
思考2：将⊙O 绕点 O 旋转任意一个角度后，它能与原来的圆重合吗？
圆具有旋转不变性.
思考:半径相等的⊙O和⊙O' 中，分别画两个相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'，连接AB、A'B'.
这两个圆心角所对的 、 相等吗？
所对的弦AB、A'B' 呢？
=
AB =A'B'.
（图1）
（图2）
分析:可用图形运动的方法解决.
∵∠AOB=∠A'O'B'，
∴射线O'B'与射线OB重合.
又∵O'A'=OA，O'B'=OB，
∴ 点A'与点A重合，点B'与点B重合（如图2）.
如图1，把两个圆叠合在一起，使点O与O'重合，再将⊙O' 绕点O旋转，使射线O'A'与射线OA重合.
即 ，AB=A'B'.
=
由此得：等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
同一个圆中，此结论成立吗？
定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
∵⊙O和⊙O' 是等圆，
∠AOB=∠A'O'B'，
∴ ，
=
AB =A'B'.
思考：如图，两个同心圆中，∠AOB=∠A'OB' .
（2）AB =A'B' 相等吗？
（1） 与 相等吗？
（1）在同圆或等圆中，若圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等.
（2）在同圆或等圆中，若圆心角所对的弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
等圆心角
等弧
等弦
n°的弧
由“同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，
将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角.
故整个圆也被等分成360份.
因此，把1° 的圆心角所对的弧叫做1°的弧.
定理：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
三、知识运用
例1. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，且 = .
试问：AC与BD相等吗？为什么？
解：AC=BD.
∵ = ,
∴ + = + ,
即 = .
∴ AC=BD
（同圆中，相等的弧所对的弦相等）.
思考：还有其他方法吗？
例2. 如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC.
∠ABC 与∠BAC相等吗？为什么？
解：∠ABC=∠BAC .
∴ AC=BC
（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）.
∵ ⊙O中，∠AOC=∠BOC ，
∴ ∠ABC=∠BAC .
四、课堂小结
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
定理：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
等圆心角
等弧
等弦
同圆或等圆中，
三者之间可相互转化.
圆的对称性（2）
什么是轴对称图形？请举例说明.
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这个直线就是对称轴.
一、知识回顾
如图，△ABC中，AB=AC.
它是轴对称图形，顶角平分线AD所在的直线是它的对称轴.
思考：圆是轴对称图形吗？若是，请指出对称轴.
二、探究新知
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.
注意：圆的对称轴有无数条，且都是过圆心的直线.
操作与思考: 画一个☉O和☉O的直径AB，再画一条弦CD，使CD⊥直径AB，垂足为P.
观察：在所画的图中，有哪些相等的弧？相等的线段？
PC=PD ，
= ，
= .
方法一: 可用图形运动的方法解决.
∴射线PD与射线PC重合.
∴ 点D与点C重合.
如图，将圆对折.因圆是轴对称图形，过圆心的任一直线是对称轴，故 与 重合 .
又∠APD=∠APC=90°，
∴ PC=PD ，
= ，
= .
连接OC、OD.
方法二: 用等腰三角形性质和上一节的方法证明.
如图，AB是⊙O直径，CD是弦，AB⊥CD.
∴ PC=PD，∠BOC=∠BOD.
在△OCD中，∵OC=OD，OP⊥CD ，
∴ ∠AOC=∠AOD.
∴
=
= ,
（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 .
= ，
= .
∵ AB是直径，CD是弦，AB⊥CD ，
∴ PC=PD ，
为证明线段相等、弧相等又提供了一方法.
思考：垂径定理的作用是？
三、知识运用
例1.如图，☉O中，弦AB=8cm，圆心O到AB的距离为3cm. 求☉O的半径.
解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA.
∵ OC⊥AB，
∴ AC=BC（垂直于弦的直径平分弦）.
C
Rt△AOC中，OC=3，AC=4，
∴ 由勾股定理得OA=5.
即 ☉O的半径为5cm .
例2. 如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D. AC与BD相等吗？为什么？
分析：证明两条线段相等，你有哪些思路？
解法一：AC=BD
连接OA、OC、OD、OB.
∵ OA=OB，OC=OD,
∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC.
∴∠AOC=∠BOD.
∴△AOC≌△BOD.
∴AC=BD.
例2. 如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？
解法二：AC=BD
P
过点O作OP⊥AB于P.
∵ OP⊥AB，
∴ AP=BP ，CP=DP
（垂直于弦的直径平分弦）.
∴ AP－CP=BP－DP,
即 AC=BD.
说明：比较下来，方法二更简单些.
例3. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD.
∵ AB∥CD ,OE⊥AB，
解： = .
过点O作OE⊥AB于E，并延长交弦CD、⊙O 于F、G.
∴ OF⊥CD.
试问： 与 相等吗？为什么？
E
F
G
∴
= ,
= .
∴ = .
四、课堂小结
圆是轴对称图形，对称轴：过圆心的任一条直线.
定理: 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
= ，
= .
∵ AB是直径，CD是弦，AB⊥CD ，
∴ PC=PD ，
说明: 遇到与弦有关问题时，
常过圆心向弦作垂线段.
证明线段相等、弧相等，又多了一个方法。