18.1.2平行四边形的判定课件 (共54张PPT)人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 18.1.2平行四边形的判定课件 (共54张PPT)人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 358.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-06 12:40:02 | ||
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文档简介
(共54张PPT)
八年级数学·下 新课标[人]
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
（第1课时）
有一块平行四边形的玻璃块,如图所示,假如不小心碰碎了一部分,聪明的技师拿着细绳很快将原来的平行四边形画了出来,你知道他用的是什么办法吗
你能说出下列平行四边形性质的逆命题吗？
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义).
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
你能根据平行四边形的定义证明这些命题的正确性吗
已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=CD,
BC=AD.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示,
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
数学语言表述这个定理:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
你能得到什么结论？
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.这个命题你能证明吗
已知:如图所示,四边形ABCD中,∠A=∠C,
∠B=∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
∴∠A+∠B+∠A+∠B=360°,
∴∠A+∠B=180°.
∴AD∥BC.
同理可得AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定方法:
数学语言表述这个定理:
∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
已知:如图所示,四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴AB=CD,同理可得AD=CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法:
数学语言表述这个定理:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
提问:通过以上证明,我们得到了平行四边形的判定定理.这些定理与平行四边形的性质定理有何关系
平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理.
①平行四边形的定义.
②两组对边分别相等的四边形是
平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四
边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
例：如图所示, □ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF.求证四边形BFDE是平行四边形.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.∵AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF,
即EO=FO.又 BO=DO,
∴四边形BFDE是平行四边形.
如图所示, □ABCD中,E,F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证四边形BEDF是平行四边形.
证明:连接BD交AC于点O,如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD.
∴∠BAE=∠DCF.∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴∠BEA=∠DFC=90°.∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴AE=CF.∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
判断四边形是否为平行四边形的基本思路有两个:
一是从等量关系的角度入手,
二是从位置关系的角度入手.
小结
平行四边形的定义
文字语言:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
符号语言:∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理1
文字语言:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理2
文字语言:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理3
文字语言:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言:∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
1.如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.(1)若AD=8 cm,AB=4 cm,那么当BC= cm,
CD= cm时,四边形ABCD为平行四边形;
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(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO= cm,
DO= cm时,四边形ABCD为平行四边形.
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2.如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件: (只添加一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.
AB∥CD
3.如图所示的是由火柴棒拼出的一列图形,第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察、分析发现:①第4个图形中平行四边形的个数为 .②第8个图形中平行四边形的个数为 .
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4.如图所示,在□ABCD中,点E,F是对角线AC上两点,且AE=CF.求证∠EBF=∠FDE.
证明:连接BD交AC于点O,如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴∠EBF=∠FDE.
八年级数学·下 新课标[人]
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
（第2课时）
在学习平移时,我们通过探究发现,平移时对应点的连线平行且相等(如图中AA'、BB'、CC'),所得四边形ABB'A'和ACC'A'都是平行四边形,你明白它的道理吗
我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形,如果只考虑一组对边,它们要满足什么条件时,这个四边形才能成为平行四边形
如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,
AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA,
又AB=CD,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
用符号语言表述为:
总结:通过上面的证明,我们也可以用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定四边形是平行四边形.
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.
(2)一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形.
例：如图所示,在□ABCD中,E,F分别是AB, CD的
点. 求证:四边形EBFD是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,EB∥FD.
又 2EB=AB,2FD=CD,
∴EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
小结
从边看:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
从对角线看:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
从角看:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
1.四边形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.OA=OC,OB=OD B.AD∥BC,AB∥DC
C.AB=DC,AD=BC D.AB∥DC,AD=BC
D
2.在四边形ABCD中,AC与BD交于点O.
(1)AB∥CD;(2)AD∥BC;(3)AD=BC;(4)AO=OC;(5)DO=BO;(6)AB=CD.选择两个条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的共有 对.
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3.如图所示,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由.
解:图中的平行四边形有□ABDE, □BCDE.四边形ABDE中,AB=DE,且AC∥ED,∴四边形ABDE是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
.四边形BCDE中,BC=DE,且AC∥ED，
∴四边形BCDE是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
4.如图所示,在□ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.
求证:(1)AE=CF；
(2)四边形AECF是平行四边形.
证明:(1)在□ ABCD中,AB∥CD,
AB=CD,所以∠ABE=∠CDF,
因为BE=DF,所以△ABE≌△CDF(SAS),
所以AE=CF.
(2)四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)中△ABE≌△CDF,
可得AE=CF,∠AEB=∠DFC,
所以∠AED=∠CFB,
所以AE∥CF,
所以四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
八年级数学·下 新课标[人]
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
（第3课时）
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB,AC的中点D,E,若测出DE的长,就能求出池塘的宽BC,你知道为什么吗 今天这堂课我们就来探究其中的学问.
如图,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线.
三角形有几条中位线 你能画出来吗
三角形中有三条中位线
∵DE为△ABC的中位线,
∴D,E分别为AB,AC的中点.
说出三角形的中位线与中线有何相同点和不同点.
相同之处:都是和边的中点有关的线段.
不同之处:三角形中位线的两个端点都是边的中
点;三角形中线只有一个端点是边的中
点,另一端点是三角形的顶点.
探索:如图,三角形的中位线DE与BC有什么样的关系 为什么
猜想：DE∥BC 2DE=BC
你能证明以上猜想吗？
已知:如图,点D,E分别为△ABC边AB,AC的中点.求证:DE∥BC且DE= BC.
如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,
由题意易得△ADE≌△CFE,
从而可得AD∥FC,且AD=FC,因此
有BD∥FC,BD=FC,
所以四边形BCFD是平行四边形.
所以DF∥BC,DF=BC,由作图知2DE=DF
,所以DE∥BC且2DE=BC.
方法二：
如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,CD和AF,因为AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为2DE=DF,所以DE∥BC且2DE=BC.
方法三：
如图,过E点作AB的平行线交BC于N,交过A点与BC平行的直线于M,由题意及作图易知△AEM≌△CEN,可得ME=EN,AM=CN,因为AM∥BC,AB∥MN,所以四边形AMNB是平行四边形,所以AB=MN,AM=BN.又因为2BD=AB,2EN=MN,所以BD=EN,所以四边形BDEN是平行四边形,则DE=BN,DE∥BC,所以DE=BN=AM=CN,即2DE=BC.
方法四：
如图,过A,B,C三点分别作DE的垂线,分别交直线DE于点P,M,N.
因为AP,BM,CN都垂直于DE,
所以AP∥BM∥CN.可证明△APE≌△CNE,则AP=CN,PE=EN,△ADP≌△BDM，则AP=BM,MD=DP,所以BM=CN,2DE=MN,所以四边形BMNC是平行四边形,所以DE∥BC,2DE=MN=BC.
小结
三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE∥BC,DE= BC.
(1)三角形的中位线所构成的三角形的周长是
原三角形周长的一半.
(2)三角形三条中位线可以把三角形分成三个
平行四边形,分成的四个三角形全等.
(3)三角形三条中位线所构成的三角形的面积
等于原三角形面积的四分之一.
例：如图,△ABC的中位线DE=5 cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F两点间的距离是8 cm,求△ABC的面积.
解:连接AF,如图所示.∵DE是△ABC的中位线,
∴BC=2DE=10 cm,DE∥BC.
由折叠可知AF⊥DE,∴AF⊥BC,
∴AF是△ABC的边BC上的高.
∵AF=8 cm,
∴S△ABC= BC·AF= ×10×8=40(cm2).
例：如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示.
在△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,HG= AC(三角形中位线性质).
同理可得EF∥AC,EF= AC. ∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
[归纳总结]顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边 形是平行四边形.
小结
三角形的中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
两层含义:如图,
①∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线;
②∵DE为△ABC的中位线,
∴D,E分别为AB,AC的中点.
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
特点:在一个题设下,有两个结论.一个表示位置关系,另一个表示数量关系.
结论:有两个,一个表明中位线与第三边的位置关系,另一个表明中位线与第三边的数量关系.
三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC, DE=BC.
作用:在已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍分关系.
1.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20 m,那么A,B两点间的距离是 m,
理由是 .
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三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则△DEF的周长是 ,面积是
.
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3.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点.
(1)若EF=5 cm,则AB= cm;若BC=9 cm,则
DE= cm.
解:∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE= BC,EF= AB,且EF∥AB,
∴AB=2EF=10 cm,DE= BC=4.5 cm.
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4.5
(2)中线AF与中位线DE有什么特殊的关系
证明你的猜想.
解：AF与DE互相平分.证明如下:
连接DF,如图所示,
∵D为AB的中点,∴AD=BD= AB,
由(1)知EF= AB,EF∥AB,
∴AD=EF, ∴四边形ADFE是平行四边形.
∴AF与DE互相平分.
4.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示,
∵G,H分别是CD,AD的中点,
∴2GH=AC,且GH∥AC,
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴2EF=AC,且EF∥AC,
∴EF=GH,EF∥GH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
谢 谢 观 看
八年级数学·下 新课标[人]
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
（第1课时）
有一块平行四边形的玻璃块,如图所示,假如不小心碰碎了一部分,聪明的技师拿着细绳很快将原来的平行四边形画了出来,你知道他用的是什么办法吗
你能说出下列平行四边形性质的逆命题吗？
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义).
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
你能根据平行四边形的定义证明这些命题的正确性吗
已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=CD,
BC=AD.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示,
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
数学语言表述这个定理:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
你能得到什么结论？
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.这个命题你能证明吗
已知:如图所示,四边形ABCD中,∠A=∠C,
∠B=∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
∴∠A+∠B+∠A+∠B=360°,
∴∠A+∠B=180°.
∴AD∥BC.
同理可得AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定方法:
数学语言表述这个定理:
∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
已知:如图所示,四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴AB=CD,同理可得AD=CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法:
数学语言表述这个定理:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
提问:通过以上证明,我们得到了平行四边形的判定定理.这些定理与平行四边形的性质定理有何关系
平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理.
①平行四边形的定义.
②两组对边分别相等的四边形是
平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四
边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
例：如图所示, □ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF.求证四边形BFDE是平行四边形.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.∵AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF,
即EO=FO.又 BO=DO,
∴四边形BFDE是平行四边形.
如图所示, □ABCD中,E,F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证四边形BEDF是平行四边形.
证明:连接BD交AC于点O,如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD.
∴∠BAE=∠DCF.∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴∠BEA=∠DFC=90°.∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴AE=CF.∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
判断四边形是否为平行四边形的基本思路有两个:
一是从等量关系的角度入手,
二是从位置关系的角度入手.
小结
平行四边形的定义
文字语言:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
符号语言:∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理1
文字语言:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理2
文字语言:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理3
文字语言:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言:∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
1.如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.(1)若AD=8 cm,AB=4 cm,那么当BC= cm,
CD= cm时,四边形ABCD为平行四边形;
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(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO= cm,
DO= cm时,四边形ABCD为平行四边形.
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2.如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件: (只添加一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.
AB∥CD
3.如图所示的是由火柴棒拼出的一列图形,第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察、分析发现:①第4个图形中平行四边形的个数为 .②第8个图形中平行四边形的个数为 .
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4.如图所示,在□ABCD中,点E,F是对角线AC上两点,且AE=CF.求证∠EBF=∠FDE.
证明:连接BD交AC于点O,如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴∠EBF=∠FDE.
八年级数学·下 新课标[人]
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
（第2课时）
在学习平移时,我们通过探究发现,平移时对应点的连线平行且相等(如图中AA'、BB'、CC'),所得四边形ABB'A'和ACC'A'都是平行四边形,你明白它的道理吗
我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形,如果只考虑一组对边,它们要满足什么条件时,这个四边形才能成为平行四边形
如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,
AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA,
又AB=CD,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
用符号语言表述为:
总结:通过上面的证明,我们也可以用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定四边形是平行四边形.
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.
(2)一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形.
例：如图所示,在□ABCD中,E,F分别是AB, CD的
点. 求证:四边形EBFD是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,EB∥FD.
又 2EB=AB,2FD=CD,
∴EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
小结
从边看:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
从对角线看:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
从角看:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
1.四边形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.OA=OC,OB=OD B.AD∥BC,AB∥DC
C.AB=DC,AD=BC D.AB∥DC,AD=BC
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2.在四边形ABCD中,AC与BD交于点O.
(1)AB∥CD;(2)AD∥BC;(3)AD=BC;(4)AO=OC;(5)DO=BO;(6)AB=CD.选择两个条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的共有 对.
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3.如图所示,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由.
解:图中的平行四边形有□ABDE, □BCDE.四边形ABDE中,AB=DE,且AC∥ED,∴四边形ABDE是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
.四边形BCDE中,BC=DE,且AC∥ED，
∴四边形BCDE是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
4.如图所示,在□ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.
求证:(1)AE=CF；
(2)四边形AECF是平行四边形.
证明:(1)在□ ABCD中,AB∥CD,
AB=CD,所以∠ABE=∠CDF,
因为BE=DF,所以△ABE≌△CDF(SAS),
所以AE=CF.
(2)四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)中△ABE≌△CDF,
可得AE=CF,∠AEB=∠DFC,
所以∠AED=∠CFB,
所以AE∥CF,
所以四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
八年级数学·下 新课标[人]
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
（第3课时）
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB,AC的中点D,E,若测出DE的长,就能求出池塘的宽BC,你知道为什么吗 今天这堂课我们就来探究其中的学问.
如图,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线.
三角形有几条中位线 你能画出来吗
三角形中有三条中位线
∵DE为△ABC的中位线,
∴D,E分别为AB,AC的中点.
说出三角形的中位线与中线有何相同点和不同点.
相同之处:都是和边的中点有关的线段.
不同之处:三角形中位线的两个端点都是边的中
点;三角形中线只有一个端点是边的中
点,另一端点是三角形的顶点.
探索:如图,三角形的中位线DE与BC有什么样的关系 为什么
猜想：DE∥BC 2DE=BC
你能证明以上猜想吗？
已知:如图,点D,E分别为△ABC边AB,AC的中点.求证:DE∥BC且DE= BC.
如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,
由题意易得△ADE≌△CFE,
从而可得AD∥FC,且AD=FC,因此
有BD∥FC,BD=FC,
所以四边形BCFD是平行四边形.
所以DF∥BC,DF=BC,由作图知2DE=DF
,所以DE∥BC且2DE=BC.
方法二：
如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,CD和AF,因为AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为2DE=DF,所以DE∥BC且2DE=BC.
方法三：
如图,过E点作AB的平行线交BC于N,交过A点与BC平行的直线于M,由题意及作图易知△AEM≌△CEN,可得ME=EN,AM=CN,因为AM∥BC,AB∥MN,所以四边形AMNB是平行四边形,所以AB=MN,AM=BN.又因为2BD=AB,2EN=MN,所以BD=EN,所以四边形BDEN是平行四边形,则DE=BN,DE∥BC,所以DE=BN=AM=CN,即2DE=BC.
方法四：
如图,过A,B,C三点分别作DE的垂线,分别交直线DE于点P,M,N.
因为AP,BM,CN都垂直于DE,
所以AP∥BM∥CN.可证明△APE≌△CNE,则AP=CN,PE=EN,△ADP≌△BDM，则AP=BM,MD=DP,所以BM=CN,2DE=MN,所以四边形BMNC是平行四边形,所以DE∥BC,2DE=MN=BC.
小结
三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE∥BC,DE= BC.
(1)三角形的中位线所构成的三角形的周长是
原三角形周长的一半.
(2)三角形三条中位线可以把三角形分成三个
平行四边形,分成的四个三角形全等.
(3)三角形三条中位线所构成的三角形的面积
等于原三角形面积的四分之一.
例：如图,△ABC的中位线DE=5 cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F两点间的距离是8 cm,求△ABC的面积.
解:连接AF,如图所示.∵DE是△ABC的中位线,
∴BC=2DE=10 cm,DE∥BC.
由折叠可知AF⊥DE,∴AF⊥BC,
∴AF是△ABC的边BC上的高.
∵AF=8 cm,
∴S△ABC= BC·AF= ×10×8=40(cm2).
例：如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示.
在△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,HG= AC(三角形中位线性质).
同理可得EF∥AC,EF= AC. ∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
[归纳总结]顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边 形是平行四边形.
小结
三角形的中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
两层含义:如图,
①∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线;
②∵DE为△ABC的中位线,
∴D,E分别为AB,AC的中点.
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
特点:在一个题设下,有两个结论.一个表示位置关系,另一个表示数量关系.
结论:有两个,一个表明中位线与第三边的位置关系,另一个表明中位线与第三边的数量关系.
三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC, DE=BC.
作用:在已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍分关系.
1.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20 m,那么A,B两点间的距离是 m,
理由是 .
40
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则△DEF的周长是 ,面积是
.
12
6
3.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点.
(1)若EF=5 cm,则AB= cm;若BC=9 cm,则
DE= cm.
解:∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE= BC,EF= AB,且EF∥AB,
∴AB=2EF=10 cm,DE= BC=4.5 cm.
10
4.5
(2)中线AF与中位线DE有什么特殊的关系
证明你的猜想.
解：AF与DE互相平分.证明如下:
连接DF,如图所示,
∵D为AB的中点,∴AD=BD= AB,
由(1)知EF= AB,EF∥AB,
∴AD=EF, ∴四边形ADFE是平行四边形.
∴AF与DE互相平分.
4.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示,
∵G,H分别是CD,AD的中点,
∴2GH=AC,且GH∥AC,
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴2EF=AC,且EF∥AC,
∴EF=GH,EF∥GH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
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