苏科版2023-2024学年度上学期九年级期末必考数学练习卷（含解析)

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期末必考题练习卷-2023-2024学年九年级上册苏科版
一、单选题
1．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
3．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知圆内接四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次
甲 87 95 85 93
乙 80 80 90 90
据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分
B．甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分
C．乙同学四次数学测试成绩的众数是80分
D．乙同学四次数学测试成绩较稳定
7．某农场2019年的产值为80万元，通过改进技术，2021年的产值达到96.8万元，求该农场这两年产值的年平均增长率．设该农场这两年产值的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，中，弦相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，均为半径，，下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题
10．一组数据的唯一众数是2，则 ．
11．若标有，，的三只灯笼按如图所示悬挂，每次摘取一只（摘前需先摘），直到摘完，则最后一只摘到的概率是 ．
12．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ．
13．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ．
14．某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为千克，出油率为．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油千克．已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求出油率的增长率．若设：出油率的增长率为，则根据题意，可列方程为： ．
15．如图，直径，，则 ．

16．如图，已知半圆的直径，沿弦翻折，翻折后的与直径相切于点D，且，则折痕的长度是 ；

17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦所在直线的距离是2，则的半径长为 米．
三、解答题
18．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入．
(1)求甲从A口进入，C口离开的概率；
(2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率．
(3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．
19．设一元二次方程的两个根为，若该方程的一个根与另一个根的2倍的和为0，我们就称这个一元二次方程为“两根相反倍数”方程．
(1)如果方程是“两根相反倍数”方程，则m=______；
(2)如果方程是“两根相反倍数”方程，求的值．
20．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．
(1)每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）；
(2)平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ；
(3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
21．如图，在中，直径，垂足为M，若，．
(1)证明：；
(2)求的半径．
22．如图，是被直径分成的半圆上一点，过点的的切线交的延长线于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
23．如图，内接于，为的直径，点为上的一动点，且在上方（点不与点A，重合），．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)连接，求证：；
(3)若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间的等量关系，并证明你的结论．
24．．某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
平均数 众数 中位数
七年级参赛学生成绩 85.5 m 87
八年级参赛学生成绩 85.5 85 n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）；
(3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．
参考答案：
1．B
【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率,
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
2．A
【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
故的半径为，
∵
∴
即直线与圆相交
故选：A
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程”．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、方程不是整式方程，则此项不符合题意；
B、方程整理为，是一元一次方程，则此项不符合题意；
C、方程整理为，是一元二次方程，则此项符合题意；
D、方程中当时，方程为，是一元一次方程，则此项不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，先设，列式算出的值，再的值，根据圆内接四边形对角互补，列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴设，
则，
即，
所以，
那么，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，满足二次项系数不为，并且二次项的次数是，直接计算即可求解的值．
【详解】解：∵是一元二次方程；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选：A．
6．B
【分析】根据众数、中位数、平均数的求解方法以及方差的意义逐项计算、判断即可作答．
【详解】A项，甲同学四次数学测试成绩的平均数是分，故原说法错误，本项不符合题意；
B项，甲同学四次数学测试成绩的中位数是分，故说法正确，本项符合题意；
C项，乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，故原说法错误，本项不符合题意；
D项，根据方差越小数据越稳定，可知甲同学四次数学测试成绩较稳定，故原说法错误，本项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数、平均数的求解方法以及方差的意义，掌握方差越小数据越稳定，是解答本题的关键．
7．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的运用，增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果年平均增长率为x，根据“2019年产值80万元，2021年产值96.8万元”即可得出方程．
【详解】解：根据题意得：2019的产值为：80万元，则：2021的产值为：万元．
那么可得方程：．
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查圆周角定理及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可利用外角性质求出．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理，首先取的中点，连接，，由，易得，继而证得；又由圆周角定理，可得，．
【详解】解：取的中点，连接，，
，
，
，
，
，
．
故A错误，符合题意，故C正确，不符合题意；
，，
，
，
，
故B、D正确，不符合题意；
故选：A．
10．2
【解析】略
11．
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到最后一只摘到的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
由树状图可知，共有个等可能的结果，最后一只摘到的结果有个，
最后一只摘到的概率为，
故答案为：．
12．且
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，根据方程有实数根可以得到根的判别式大于等于0，再根据一元二次方程的定义得到，由此求出k的范围即可；
【详解】解：∵方程有实数根，
，且，
解得：且；
故答案为：且．
13．
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．将代入一元二次方程即可得出，再将代数式变形为，最后整体代入即可．
【详解】解：∵m为一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．根据“出油率增加是每公顷产量增长率的一半”可得公顷产量增长率为，根据“原有花生品种每公顷产量为千克，出油率为．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油千克”即可列出关于的一元二次方程．
【详解】解：出油率增长率为，则公顷产量增长率为，依题意有：
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了圆周角定理．连接，由，得到是等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵直径，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】根据折叠的性质可得折叠后的圆与圆半径一样，设折叠后的圆弧所对的圆心为，根据相交圆的性质可以得到与互相垂直平分，由勾股定理就可以求出和的值，从而求得结果．
【详解】解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示：
，
∴与互相垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
以点为圆心的圆半径也是2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即折痕的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的应用，勾股定理的运用，垂直平分线性质的运用，根据相交圆的性质求解是解题的关键．
17．5
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．连接交于点E．利用垂径定理得，再利用勾股定理即可求出半径．
【详解】解：连接交于点E．设，
由题意，
∴（米），
∵，
∴，
在中，，
∴米，
故答案为：5．
18．(1)
(2)
(3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可．
【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，

∴甲从A口进入，C口离开的概率为；
（2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，

∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为．
（3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口．
理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开．
19．(1)
(2)或．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；
（1）根据新定义可得，根据根与系数的关系得：， 得出，，进而代入，即可求解；
（2）分两种情况：设，则，或，则；根据（1）的方法，分别求得的值，代入代数式，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程是“两根相反倍数”方程，
∴，
根据根与系数的关系得：，
∴，
∴
解得：
当，
∴，
∴
解得：
（2）分两种情况：设，则
根据根与系数的关系得：，
解得：，
设，则
根据根与系数的关系得：
，
解得：，
20．(1)
(2)
(3)每顶头盔应降价20元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据利润售价进价，列出代数式即可；
（2）利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式；
（3）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论．
【详解】（1）解：∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元，
∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元；
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
故答案为：；
（3）解：根据题意得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：每顶头盔应降价20元．
21．(1)过程见解析
(2)5
【分析】（1）先根据垂径定理得，，再根据圆周角定理得出答案；
（2）设半径是r，可知，，根据垂径定理得，再根据勾股定理列出方程，求出解即可．
【详解】（1）连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即；
（2）设半径是r，则，．
∵，，
∴．
在中，，
即，
解得．
所以的半径是5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及推论，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
22．(1)见解析；
(2)图中阴影部分的面积是．
【分析】（）由是半圆的直径，是半圆的切线，可得，即得；
（）由得，可得，，即得，再利用阴影部分的面积等于半圆减去即可解题．
【详解】（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是，
答：阴影部分的面积是．
【点睛】此题考查了圆的切线性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，求扇形面积，综合运用以上知识是解题的关键．
23．(1)为等腰直角三角形
(2)证明见解析
(3)，证明见解
【分析】（1）由直径所对的圆周角为可得：，再根据圆周角定理可得，再结合可得，由等角对等边可得即可解答；
（2）如图：作交的延长线于点D，因为，所以，则，所以，再证明可得，所以，则
即可；
（3）如图：延长交于点，连接，由轴对称的性质得，则，所以，，则，再根据圆周角定理可得、，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：，
∴
又，
，
又是该外接圆的直径
，
为等腰直角三角形
（2）解：如图：作，并延长交于点，
，
为等腰直角三角形，
，
由勾股定理可知，
，
由（1）可知为等腰直角三角形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
（3）解：，证明如下：
如图，延长交于点，连接，
，
为等腰直角三角形
由勾股定理可求得：，
又，
又，
，即，
为直径，
，
在Rt中，有，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识点，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．(1)，
(2)
(3)七年级
【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；
（1）利用统计图中的数据可得具体的成绩，再由众数和中位数的定义进行求解即可；
（2）观察统计图，数据波动较大的对应方差较大，即可求解；
（3）由于平均数相同，中位数越大成绩越好，据此即可求解；
理解定义：“由一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数；一组数据方差越大波动越大，越不稳定；”，并会根据中位数的意义判断决策是解题的关键．
【详解】（1）解：由统计图得
七年级的得分情况为：分名学生，分名学生，分名学生，分名学生，
分名学生，分名学生，分名学生，
个数最多的是，
众数是分，
；
八年级的得分情况按从小到大排列为：，，，，，，，，，，
中间的两个数是，，
中位数分；
故答案：，；
（2）解：观察折线统计图可得
七年级的成绩波动明显比八年级的成绩波动大，
，
故答案：；
（3）解：由题意得
七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好．
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