苏科版2023-2024学年度上学期九年级期末经典数学练习卷一（含解析)

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期末经典题型练习卷（一）2023-2024学年九年级上册苏科版
一、单选题
1．现有A，B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1，2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3，4，5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分握匀，从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之积大于6的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．在下面的一组数据：2，3，2，2，2，5，4中众数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知的直径为10，直线l与相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．下列方程是关于的一元二次方程，一定有实数解的是（　　）
A． B． C． D．
6．紫金新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件288件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
7．已知的半径长为，若，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，是的直径，、是的弦，，是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知m、n、6分别是等腰三角形的三边长，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则k的值为 ．
10．设m、n为关于x的方程的两个实数根，则 ．
11．圆雉底面半径为，侧面积为，则圆雉的母线长为 ．
12．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是 ．
13．有一个不透明口袋，装有分别标有数字1，2，3，4的4个小球（这些小球除数字外无其他差别）．另有3张背面完全一样，正面分别写有数字1，2，3的卡片，小敏从口袋中任意摸出一个小球，小颖从这3张背面上的卡片中任意摸出一张，然后计算小球和卡片上的两个数的积．请你用列表法求这两个数的积为6的概率．
画表格：

读表格：
从上面的分析可得其中积为6的结果有 种，所以积为6的概率为 ．
14．某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ．
15．如图，，，是的切线，，，为切点，若，，则的长为 ．
16．如图，是的弦，是的切线．若，则 ．
17．如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上的任意一点（点不与点重合）．

（1）的度数为 ．
（2）假设的度数为，则的取值范围为 ．
三、解答题
18．解方程
(1)
(2)
19．将分别标有数字2，3，5的三张质地、大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
(1)随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
(2)随机抽取一张，将卡片的数字作为一个两位数的十位数字（不放回），再抽取一张，将卡片的数字作为这个两位数的个位数字，请画树状图列举所有可能出现的结果，并求出所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率．
20．某中学举行“创文”知识竞赛，要求每个班参加竞赛的人数都相同．成绩分别为 A、B、C、D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分，现将八年级一班和二班的成绩进行整理并绘制出如下的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)设二班成绩为B等级的学生人数占本班比赛人数的，则 ；
(2)求一班参加竞赛学生成绩的平均分；
(3)求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数．
21．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
(1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
22．阅读材料，解答问题：
我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数满足：，，且，则______，______；
(2)间接应用：在（1）条件下，求的值；
(3)拓展应用：已知实数m，n满足： ，且 ，求的值．
23．如图，在，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的半径．
24．如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，是的两条弦，且点，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，画出圆心，再画弧的中点
(2)在图2中，在圆上找一点，使，再在上找一点，使．
25．如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：是的切线．
参考答案：
1．C
【分析】列表法得出所有情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
1 2
3 3 6
4 4 8
5 5 10
由表知，共有6种等可能结果，其中数字之积大于6的有2种结果，
所以数字之积大于6的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查列表法或树状图求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．D
【分析】众数是在一组数据中出现最多的数，注意有的一组数据中可能不止一个众数，根据众数定义即可解答．
【详解】解：在2，3，2，2，2，5，4中，2出现了4次，出现次数最多，所以这组数据的众数是2．
故选：D．
【点睛】本题考查了众数的意义和求一组数据众数的方法，关键是明确众数的概念．
3．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；据此进行逐一判断，即可求解．
【详解】解：A．方程化简后不含二次项，是一元一次方程，故不符合题意；
B． 是分式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
C．方程可化为一元二次方程的一般形式，故符合题意；
D．因为有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：C．
4．A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线和相交②直线和相切③直线和相离．根据直线和相交，即可判断．
【详解】解：的直径为10，
的半径为5，
直线与相交，
圆心O到直线的距离的取值范围是，
只有选项A符合题意，
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识．对于一元二次方程（为常数，且），其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别求出各方程求的根的判别式的值，取该值大于等于0的选项即可．
【详解】解：A.∵，
∴该方程没有实数根，选项A不符合题意；
B．，
∵的值不确定，
∴无法得出，选项B不符合题意；
C.∵，
∴该方程没有实数根，选项C不符合题意；
D.∵，
∴该方程有两个不相等的实数根，选项D符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量=第一天揽件量×(1+平均增长率)2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件288件，
∴可列方程为：，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可，解题的关键是正确理解根据数据判断出点到直线的距离和圆的半径的大小关系．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点在圆外，
故选：．
8．C
【分析】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形两锐角互余．连接，于点，根据直角三角形两锐角互余可得，根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角为，即可得出答案．掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
【详解】解：连接，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：C．
9．1
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，分两种情况讨论：为底边或为腰，依次代入计算，即可解答，根据题意，注意无法组成三角形的情况，是解题的关键．
【详解】解：当为底边时，则，
即关于x的一元二次方程的两根相等，
，
解得，
当时，可得方程，解得，
等腰三角形的三边长为，符合题意；
当为腰时，则其中有一个为6，
将代入，可得，
解得，
当时，可得方程，
解得，
无法组成三角形，
该种情况，不符合题意，
综上所述，，
故答案为：1．
10．
【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系．先根据m是的一个实数根得出，利用一元二次方程根与系数的关系得出，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根，
∴，
即．
∵m、n为关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
12．乙
【分析】根据方差的意义求解即可．
【详解】解：∵，，，，
乙的方差最小，
射击成绩最稳定的是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13． 2
【分析】利用画列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：由表格知，共有12种等可能的结果，积为6的结果有2种，
所以积为6的概率为，
故答案为：2，．
【点睛】本题主要考查了用列表法求等可能事件的概率，方法是用列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
14．7
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
，
解得：（舍去），
∴这种植物每个支干长出7个小分支，
故答案为：7．
15．3
【分析】此题考查切线长定理，由与相切于点、与相切于点，可得，同理得，再由求得结果．熟练运用切线长定理解决问题是解题的关键．
【详解】解：与相切于点、与相切于点，
，
，
，
与相切于点、与相切于点，
，
的长为3，
故答案为：3．
16．
【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、，
与相切于点，与相切于点，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
17． /度
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可得解；
（2）连接、，、，先求出，，设，则，；然后运用等腰三角形的性质求得，根据同一三角形中大边对大角可得，根据角的和差关系可得，根据圆周角定理可得，即可得答案．
【详解】解: （1）连接，
∵，,
∴,
∴,
∴的度数为,
故答案为：；

（2）如图，连接、，、，设的度数为，

∵，，点为的中点，
∴，，，
∴，；
∵，
∴，
∵点为弦的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，即，
∵和是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质及圆周角定理、垂径定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
移项得：，
方程两边同时除以2得：
配方得：
，
两边同时开方得：
解得：
（2）解：
，
或
解得：
19．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出可得所有等可能的结果，以及所抽取的两位数恰好是5的倍数的结果，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）数字2，3，5中，是奇数的有3，5，
∴随机抽取一张，抽到奇数的概率为；
（2）画树状图如下：

共有6种等可能出现的结果：23，25，32，35，52，53，
其中所抽取的两位数恰好是5的倍数的有：25，35，共2种，
∴所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率为．
20．(1)10
(2)分
(3)众数是100分，中位数是80分
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，中位数、众数、平均数：熟记基本概念是解本题的关键．
（1）根据频率之和为1，即可求出B等级的所占的百分比，进而确定m的值；
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；
（3）根据中位数、众数的意义求出结果即可．
【详解】（1）解：，即，
故答案为：10；
（2）一班平均数为：，
答：一班学生竞赛成绩的平均数为分；
（3）由题意可知，二班参加竞赛同学的成绩，
得100分的有：（人），
得90分的有：（人），
得80分的有：（人），
得70分的有：（人），
因此出现次数最多的是100分，共有7人，
将这20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是80分，因此中位数是80分，
所以这20名学生计算成绩的众数是100，中位数是80．
21．(1)
(2)5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用：
（1）设每次降价的百分率为x，列出方程求解即可；
（2）设每千克涨价y元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 根据题意，得：
，
解得（不合题意舍去）．
答：每次下降．
（2）解：设每千克涨价y元， 根据题意，得：
，
解得：（不合题意舍去）．
答：每千克应涨价5元．
22．(1)7；1
(2)的值为47
(3)的值为
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，弄懂题干所给的例子，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，；
（2）将所求式子变形为，再将（1）的代数式代入求值即可；
（3）由题意可知、是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，，且，
∴a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，，
故答案为：7，1；
（2）解：
，
∵，，
∴原式；
（3）解：∵ ，且 ，
∴、是方程的两个不相等的实数根，
∴．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的性质和勾股定理．
（1）先证明为的切线，则根据切线长定理得到平分，则，再利用得到，然后根据三角形内角和定理可得到的度数；
（2）设的半径为r，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程可得到的半径．
【详解】（1）∵，
∴，
∴为的切线，
∵为的切线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
∴；
（2）如图，
设的半径为r，
由（1）知，
在中，∵，
∴
在中，，
解得，
即的半径为．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接交网格于点，则点即为所求，过点作的垂线交圆于点，则点即为所求；
（2）连接，根据网格特点确定等腰直角三角形外接圆的圆心，画圆与交于点，由圆周角定理可知；
【详解】（1）解：如图1所示，点与点即为所求；
（2）如图，点，点即为所求；
【点睛】本题考查了与圆有关的网格作图，圆的性质，包括圆周角定理、三角形的外接圆、垂径定理等知识，利用网格的特点结合圆的相关性质作图即可；灵活运用圆的相关性质作图是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查圆周角的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理．
（1）根据，可得，两式相减即得，结论得证；
（2）连接并延长交于G点，再连接，可得，再根据已知证明，进而得，从而得即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
又，
，
，即：，
；
（2）证明：连接并延长交于G点，再连接，
为O直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
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