广东省河源市龙川县第一中学2023-2024学年高一（上）期中数学试卷(含解析）

2023-2024学年广东省河源市龙川一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数( )
A. B. C. 或 D.
2.已知幂函数的图象过点，则( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的值是( )
A. B. C. D.
6.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.若，下面有六个结论：；；；；；其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，则下列表示正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列函数中最小值为的是( )
A. B.
C. D. ，
11.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的解集为
12.若函数在定义域内内的某区间是增函数，且在上是减函数，则称在上是“弱增函数“，则下列说法正确的是( )
A. 若，则不存在区间使为“弱增函数”
B. 若，则存在区间使为“弱增函数”
C. 若，则为上的“弱增函数”
D. 若在区间上是“弱增函数”，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.集合，则集合的子集的个数为______ 个
14.求值： ______ ．
15.函数的定义域是______ ．
16.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，则的解析式为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，集合，．
求，；
求，．
18.本小题分
计算下列各式：
；
，其中，．
19.本小题分
已知函数为常数，且，若．
求的值；
解不等式．
20.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
21.本小题分
仙女山位于重庆市武隆区，地属武陵山脉，夏季平均气温为度，被誉为“南国第一牧原”和“东方瑞士”某开发商计划年在仙女山景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在年有万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为元．
求年该项目的利润万元关于游客数量万人的函数关系式利润销售额成本．
当年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
二次函数，且，．
求函数的解析式；
若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
当时，求函数的最小值的解析式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知，解得．
故选：．
利用集合的确定性和互异性，翻译集合相等这一条件即可．
本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为幂函数的图象过点，
所以，解得．
故选：．
根据题意可得，求解即可．
本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是：，．
故选：．
根据命题的否定的定义，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于：，函数定义域为，在和上是减函数，
则不在定义域内是减函数，故A错误；
对于：，函数定义域为，在上单调递减，
又，则在定义域内既是奇函数又是减函数，故B正确；
对于：，函数定义域为，，故C错误；
对于：，函数定义域为，是非奇非偶函数，故D错误．
故选：．
根据函数的奇偶性和单调性的性质，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由已知，
．
故选：．
直接代入分段函数计算即可．
本题主要考查函数值的求解，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，所以，由均值不等式得，
当且仅当，即时等号成立．
故选：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，，即，又，，，即，，即，故选：．
利用幂函数和指数函数的性质求解．
本题考查幂函数和指数函数的综合应用，熟练掌握幂函数和指数函数的增减性是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：对：，，，故，正确；
对：在上单调递增，
，
故，即，正确；
对：取，，则，，，错误；
对：，，，故，正确；
对：取，，则，，，错误；
对：要证，即，即，正确．
故选：．
举反例得到错误，利用不等式性质确定正确，得到答案．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：易知，，，
令，
即、、D正确，A错误．
故选：．
利用元素与集合的关系计算即可．
本题考查了集合的描述法的定义，元素与集合的关系，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，因为，所以，取不到，即选项A不符合题意；
选项B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，即选项B符合题意；
选项C，，当且仅当时，等号成立，即选项C符合题意；
选项D，因为函数在上单调递减，所以当时，取得最小值，即选项D符合题意．
故选：．
选项A，由，即可判断；
选项B，根据，可得，得解；
选项C，采用配方法，得解；
选项D，根据反比例函数的单调性，得解．
本题考查函数的最值，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，因为不等式的解集为或，则，对；
对于选项，由题意可知，、是关于的二次方程的两根，
则，，可得，，
所以，对错；
对于选项，由可得，即，
即，解得或，
故不等式的解集为或，对．
故选：．
利用二次不等式的解集与首项系数的关系可判断选项；利用韦达定理可判断选项；化简所求不等式，利用二次不等式的解法可判断选项．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，以及一元二次不等式的解法，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：：若，则，不存在区间，使得为减函数，A正确；
：若，则，存在区间，使在上单调递增且在上单调递减，B正确；
：若，则，则在上单调递增，但在上不是单调递减，C错误；
：若在区间上是弱增函数，则在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，D 正确．
故选：．
结合已知新定义分别检验各选项中及相应的的单调性即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数单调性的判断，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题知，集合有个元素，故集合的子集的个数为个．
故答案为：．
利用一个非空集合，如果有个元素，其子集个数为个，即可求出结果．
本题考查集合的元素数目与集合子集数目的关系：若中有个元素，则有个子集，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据根式的运算可得解．
本题考查了有理数指数幂以及根式的运算性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，解得或．
所以函数的定义域是．
故答案为：．
根据分式中分母不为，二次根式下大于等于，及函数中，建立不等式组求解即可．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为定义域为的函数是奇函数，
所以，
当时，，
所以，
又因为函数是奇函数，
所以，
所以，
综上，函数的解析式为．
故答案为：．
根据奇函数的性质可求解．
本题考查了奇函数的性质，属基础题．
17.【答案】解：，，
，；
全集，集合，
，
而
，
全集，，
，
．
【解析】根据交集、并集的定义求出，即可；根据补集的定义，求出，，从而求出，．
本题考查了集合的运算性质，考查补集、交集、并集的定义，是一道基础题．
18.【答案】解：由；
．
【解析】根据指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：由题意，，
；
由知，
由得，
，得，
的解集为．
【解析】本题考查利用指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．
由已知直接代入即可求解的值；
结合指数函数的单调性即可直接求解．
20.【答案】解：若，则，又，
所以；
，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，列不等式求解，即可得实数的取值范围．
本题主要考查联立集合的并集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
21.【答案】解：由题意可得，，
即．
当时，；
当时，；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，游客为万人时利润最大，最大为万．
【解析】根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润万元关于人数万人的函数关系式；
根据中求出的利润的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
22.【答案】解：由，可得，
因为，
所以，
整理可得：，
可得，解得，，
所以；
，可得，
即，在上有解，
因为，所以，
可得；
，
因为函数，开口向上，对称轴方程为，
当时，则函数在单调递增，所以；
当，即时，则函数在单调递减，所以；
当时，函数在先减后增，所以．
综上所述：．
【解析】由题意及待定系数法可得，，的值，即求出函数的解析式；
由的范围，可得的范围，进而求出的范围；
分类讨论函数在上的单调性，可得的解析式．
本题考查二次函数的解析式的求法及分类讨论的思想求函数的最小值，属于中档题．
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