2023-2024学年江苏省扬州市广陵区新华中学高一（上）期中数学试卷(含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市广陵区新华中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数，则( )
A. B. C. D.
4.我们知道，任何一个正数可以用科学记数法表示成为正整数，此时，当时，称的位数是根据以上信息可知的位数是( )
A. B. C. D.
5.若函数的曲线如图所示，则函数的曲线是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数为上的单调递增函数，，任意，，都有，则不等式的解集为( )
A. 或 B.
C. 或 D.
8.若正数，满足，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知，则下面选项中不成立的是( )
A. B. C. D.
11.定义在上的函数满足，则下列说法正确的是( )
A. B. 为奇函数
C. D. 在区间上有最大值
12.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，的单调减区间为
B. 函数为上的单调函数，则
C. 若恒成立，则实数的取值范围是
D. 对，，不等式恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为______ ．
14.已知，，则“”是“”的______ 条件填充“充分不必要条件、必要不充分、充要条件、既不充分又不必要条件”
15.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是______ ．
16.有同学发现：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是根据以上结论，则函数的对称中心是______ ；若为正整数，则 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，试用，表示；
已知，求．
18.本小题分
设全集，集合．
当命题：，为真命题时，实数的取值集合为，求；
已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
若正数，满足，．
当时，求的最小值；
当时，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值；
求证：在区间上是增函数；
若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
21.本小题分
随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，一般情况下，该隧道内的车流速度单位：千米小时是车流密度单位：辆千米的函数，当隧道内的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米小时，研究表明：当时，车流速度与车流密度之间满足函数关系式：，为常数．
若车流速度不小于千米小时，求车流密度的取值范围；
隧道内的车流量单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆小时满足，求隧道内车流量的最大值精确到辆小时，并指出当车流量最大时的车流密度精确到辆千米参考数据：
22.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调递增区间不必写明证明过程；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
当时，若对任意的，恒有成立，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是：，．
故选：．
根据存在量词命题的否定求解作答．
本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设，得，则．
故选：．
由解析式代入计算函数值即可．
本题主要考查函数值的求解，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则的位数是是．
故选：．
通过求，根据已知估值计算即可求解．
本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：先作函数的图象关于轴的对称图象得到的图象，再把的图象向右平移个单位就可得到的图象．
故选：．
将原函数图象先经过对称变换，再平移变换就可得到所要方程的图象．
本题主要考查了函数图象的对称变换和平移变换．
6.【答案】
【解析】解：由关于的不等式的解集是，
得且，
则关于的不等式可化为，
即，
解得：或，
所求不等式的解集为：．
故选：．
由一元一次不等式求得，且；由此化简二次不等式并求出解集．
本题考查了一元一次不等式的解法以及二次不等式的解法和应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，则有，
令，可得，
所以不等式等价于，
又因为函数为上的单调递增函数，
所以，即，
解得．
故选：．
根据题意可得，将原不等式转化为，再根据为上的单调递增函数，可得，求解即可．
本题考查了用赋值法求抽象函数的值、利用函数了单调性解抽象不等式、一元二次不等式的解法及转化思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：正数，满足，，且；
变形为，，，，；
，，
当且仅当，即时取“”由于，故取，
的最小值为；
故选：．
正数，满足，可得，且；即，且；由变形为；化为应用基本不等式可求最小值．
本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不等式时，要注意条件，且，在时取“”．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，，则，，
所以，即，故A正确；
对于，由，假设，有，又，所以，故B错误；
对于，由，可知，，所以，故C正确；
对于，因为，所以，所以，故D正确．
故选：．
根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断即可．
本题主要考查不等式的性质，以及作差法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以，
因为，则，故选项A错误，
因为，则，故选项B正确；
因为，则，故选项C错误；
因为，不能确定是否，故选项D错误．
故选：．
由题意得到，依次判断四个选项即可．
本题考查了集合之间关系的判断，涉及了集合补集、交集、并集以及子集的理解与应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，依题意，取，可得，解得，故A正确；
对于，由于函数的定义域为，在中，取，可得，
所以，则函数为奇函数，故B正确；
对于，取，由可得：，
则有，故C正确；
对于，由于函数为定义在上的奇函数，且，
若，则在区间上单调递减，
所以函数在区间上的最大值为，故D错误．
故选：．
利用赋值法对进行逐项分析判断即可；对于选项，结合题意及函数的特征，可设，即可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，当时，．
因为当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数在区间上单调递减，
所以当时，的单调减区间为和，故选项A错误；
对于选项B，因为函数为减函数，函数的图象开口向下，对称轴为直线．
所以要使函数为上的单调函数，须使函数在区间上单调递减，
即满足，解得故选项B正确；
对于选项C，因为函数的图象是由函数图象向右平移个单位后得到的，
恒成立表示的几何意义是函数的图象恒在函数图象的上方．
当时函数为上减函数，符合题意；
当时，函数在区间和上递减，在区间上递增．
令得或，
由图象平移可得，解得，故选项C正确；
对于选项D，因为时，为开口向下的抛物线部分，为向上凸的函数，
故对，，不等式恒成立，故选项D正确．
故选：．
对于选项A，借助一次函数和二次函数的单调性可写出函数的单调区间；
对于选项B，根据函数解析式可判断函数为上的减函数，借助二次函数的单调性列出不等式求解即可；
对于选项C，根据函数和图象之间的关系及恒成立的几何意义可列出不等式进行求解即可；
对于选项D，作差即可比较大小．
本题考查分段函数对应用，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：依题意，要使函数有意义，自变量的取值必须满足，
解得：且，所以函数的定义域为：．
故答案为：．
根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
14.【答案】必要不充分
【解析】解：因为或或，
，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
根据充分、必要条件的知识确定正确答案．
本题考查充分必要条件，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：图象的对称轴是，
在上具有单调性，
或．
解得或．
故答案为：或．
由已知结合二次函数的单调性即可求解．
本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设函数的对称中心是，则，
因为，
所以有，
整理得：，
即，
所以，则，
故函数的对称中心是；
因为的对称中心是，
依题意有，
则
．
故答案为：，．
设出函数的对称中心是，根据列出方程，即可求得对称中心是；根据对称中心可得，那么原式可化为，代入求解即可．
本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：由换底公式得，
；
，
，
，
故．
【解析】利用换底公式化简，从而求得；
由完全平方公式化简求，，从而求得．
本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．
18.【答案】解：依题意，方程有解，
则恒成立，解得：，
所以集合．
又因为，
所以，
所以．
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以真包含于，
由知，则集合．
又，
则，解得：，
所以实数的取值范围为：．
【解析】依题意，可知方程有解，由可求出集合，然后解分式不等式求出集合，再利用交集的运算求解即可；
由已知可确定真包含于，根据集合的包含关系，列出不等式求解即可．
本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合间的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：当时，，
所以，
所以，
当且仅当且，即时取等号；
当时，，当且仅当，即，时取等号，
解得，
故的取值范围为．
【解析】由已知可得，然后利用乘法，结合基本不等式可求；
由已知，结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为为奇函数，，
所以，
所以，
整理可得，，
所以．
证明：由可得，
设，则，
，
所以，
所以在区间上是增函数；
由可得在上单调递增，
故，，
若对任意的，，都有，
所以，
解得或，
故的取值范围为．
【解析】本题考查了函数奇偶性，单调性，恒成立问题，属于基础题．
由为奇函数，结合奇函数的定义代入可求；
结合单调性定义，设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
结合中单调性即可求解函数最值，从而解不等式即可．
21.【答案】解：当时，，
由题意得，当时，，即，解得，
当时，车流速度为千米小时，满足要求，
若，令，解得，
综上，，车流密度的取值范围为；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最大值，最大值为辆小时；
当时，，
令，则
，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
由于，
所以隧道内车流量的最大值为辆小时，此时车流密度为辆千米．
【解析】根据时，得到，从而得到满足要求，时，解不等式，得到答案；
分和两种情况，表达出车流量关于车流密度的关系式，由函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：根据题意，当时，，
其单调递增区间为；
根据题意，分两种情况讨论：
当时，，
对于，均有，所以为偶函数；
当时，因为，故不是奇函数，
又因为，，
显然，即，所以不是偶函数．
综上所述，当时，是偶函数；
当时，既不是偶函数又不是奇函数．
当，，则，
所以，
整理，得，
则原题意等价于“在恒成立”，
因为对勾函数在单调递增，
所以若，则在单调递减，
当时，取最小值，则，
所以，
当时，，所以；
若，则在单调递增，
当时，取最小值，则，
所以，当且仅当，时，取到最大值．
综上所述，的最大值为．
【解析】根据题意，求出的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案；
根据奇偶函数的定义判断即可；
对任意的，恒有成立等价于“在恒成立”，然后分、和三种，结合对勾函数的单调性求解即可．
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式恒成立问题，属于中档题．
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