2023-2024学年广东省茂名市信宜市高二（上）期中数学试卷(含解析）

2023-2024学年广东省茂名市信宜市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，直线的斜率为，那么的值为( )
A. B. C. D.
2.过点且方向向量为的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
4.已知点，，为线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.袋内有大小相同的个白球和个黑球，从中不放回地摸球，设事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”，事件“第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是( )
A. 事件与为互斥事件 B. 事件与为对立事件
C. 事件与为非相互独立事件 D. 事件与为相互独立事件
6.点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为，则函数有两个不同零点的概率为( )
A. B. C. D.
8.正四面体中，，分别是，的中点，则直线和夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，：，若，则( )
A. B. C. D.
10.对于直线：，下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 直线斜率必定存在
C. 时，直线的倾斜角为
D. 时，直线与两坐标轴围成的三角形面积为
11.已知事件，，且，，则下列结论正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果与互斥，那么
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么
12.正方体的棱长为，，，分别为，，的中点则( )
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点和点到平面的距离相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知空间向量，，则______．
14.某兴趣小组有名男生和名女生，现从中任选名学生去参加活动，则恰好选中名女生的概率为 ．
15.若正方形一条对角线所在直线的斜率为，写出该正方形的一条边所在直线的斜率______ ．
16.已知，，直线：上存在点，满足，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知：，，，，，求：
，，；
与所成角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
求过点且与边所在直线平行的直线方程；
在中，求边上的高所在直线的方程；
求的面积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，．
求组员甲至少分配到一项任务的概率；
设甲、乙两人分配到的任务数分别为项和项，求．
21.本小题分
如图，在正四棱柱中，，点，，，，分别在棱，，，上，，，．
证明：；
点在棱上，当平面与平面的夹角为时，求
22.本小题分
已知直线：．
当时，求直线与直线的交点坐标；
若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
已知点，当取最小值时，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线的斜率公式，属于基础题．
直接利用直线的斜率公式求解即可．
【解答】
解：由于，，直线的斜率为，
，
，
故选B．
2.【答案】
【解析】解：直线方程过点且方向向量为，
直线方程的斜率，
其方程为，
整理，得．
故选：．
由直线方程过点且方向向量为，知其方程为，由此能求出结果．
本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3.【答案】
【解析】解：因为平面，且平面的一个法向量为，
所以平面的法向量与垂直，
对于，因为，故选项A错误；
对于，因为，故选项B错误；
对于，因为，故选项C正确；
对于，因为，故选项D错误．
故选：．
利用垂直的两个平面的法向量垂直，利用数量积为依次判断四个选项，即可得到答案．
本题考查了平面的法向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，考查逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的坐标表示与线性运算问题，是基础题．
根据空间向量的坐标表示与线性运算法则，求出的坐标表示即可．
【解答】
解：因为，，为线段上靠近点的三等分点，
可得：，
所以，，
所以，，
即点的坐标为：．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：与可以同时发生，但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，
事件与不为互斥，也不是相互独立事件，故A错误，C正确；
事件与事件能同时发生，不是对立事件，故B错误；
事件与事件，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，
不是相互独立事件，故D错误．
故选：．
根据互斥事件和相互独立事件的概念逐一判断即可．
本题考查互斥事件和相互独立事件的概念等基础知识，基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．
设出点的坐标为，利用点到直线的距离公式表示出到已知直线的距离，令列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，写出点的坐标即可．
【解答】
解：设点坐标为，
由题意知：．
解之得或，
点坐标为或．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子包含个基本事件，
由函数有两个不同零点，得，
解得或．
又为正整数，故的取值有，，，，，共种结果，
所以函数有两个不同零点的概率为．
故选：．
抛掷一枚质地均匀的骰子包含个基本事件，由函数有两个不同零点，得的取值有，，，，，共种结果，由此能求出函数有两个不同零点的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
8.【答案】
【解析】解：设，，，
则设，易知的两两夹角均为，
所以，
由题意，，
由正四面体的性质可知，
，
所以，，
设直线和夹角为，所以．
故选：．
利用基底向量法，将问题转化为向量的夹角的计算问题．
本题考查利用向量法求空间角，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，可得，且，
解得或．
故选：．
根据两条直线平行，写出充要条件即可求得．
本题考查直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于直线：，令，求得，可得它恒过定点，故A正确；
当时，它的斜率不存在，故B错误；
时，直线的斜率为，故它的倾斜角为，故C错误；
时，直线即，它与坐标轴的交点为、，
故该直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故D正确，
故选：．
由题意求出直线的斜率和倾斜角，求直线和坐标轴的交点坐标，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，求直线的交点，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解；对于，由得，则，错；
对于，由与互斥得，则，对；
对于，与相互独立，则，
，故C对错；
故选：．
对，由得，由与互斥得，；
对，与相互独立，，．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，设，又，则平面，则，又与不垂直，即假设不成立，即选项A错误；
对于选项B，连接，则平面与平面重合，又，又平面，平面，则线与平面平行，即选项B正确；
对于选项C，平面截正方体所得的截面为等腰梯形，其面积为，即选项C正确；
对于选项D，设，又，即和点到平面的距离相等，即选项D正确，
故选：．
结合空间中点、线、面之间的位置关系逐一判断即可得解．
本题考查了空间中点、线、面之间的位置关系，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据向量的坐标运算计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，熟练掌握运算公式是解题的关键，本题是一道基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了古典概率的问题，属于基础题．
设名男生为，，名女生为，，，则任选人的种数为，，，，，，，，，共种，其中全是女生为，，共种，根据概率公式计算即可．
【解答】
解：设名男生为，，名女生为，，，
则任选人的种数为，，，，，，，，，共种，
其中全是女生为，，共种，
故选中的人都是女同学的概率，
故答案为：．
15.【答案】写一个即可
【解析】解：设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则，
解得，
所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，．
故答案为：；．
直接利用直线的斜率公式求出结果．
本题考查的知识要点：直线的斜率的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线的方程与斜率之间关系的应用问题，也考查了逻辑推理与化简运算能力，是基础题．
判断，在直线上，利用，得到点的轨迹为线段，把、的坐标代入直线的方程求出的值，再结合题意画出图形，结合图形求出的取值范围．
【解答】
解：因为，且，
所以点的轨迹为线段，
将点，的坐标分别代入直线的方程，可得，，
由直线的方程可化为：，
所以直线过定点，
画出图形，如图所示：
当时，易知满足题意；
当时，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以直线的斜率为，令，解得且，
综上，的取值范围是．
故答案为：．
17.【答案】解：，
，
解得，，
故，，
又因为，所以，即，解得，
故
由可得，，
设向量与所成的角为，
则

【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题．
由向量的平行和垂直可求出，，的值，即可得向量坐标；
由可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．
18.【答案】解：，所以，
所以所求直线方程为，即；
因为，则直线的斜率边上的高线斜率，
边上的高线方程为：，即．
边上的高线所在的直线方程为．
，，，
且直线的方程为：点到直线的距离，的面积．
【解析】直接利用点斜式求出直线的方程；
直接利用直线垂直的充要条件求出直线的斜率，进一步求出高线所在的方程；
利用三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：直线的方程，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】证明：因为平面，平面，
所以．
又，是的中点，
所以．
又，都在平面内，且，
所以平面．
解：因为平面，平面，平面，
所以，．
又因为，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，，
所以．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】由平面，可得由，利用线面垂直的判定定理即可得证；
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解直线与平面所成角的正弦值．
本题主要考查线面垂直的判定定理，直线与平面所成角的求法，考查向量法的应用，属于中档题．
20.【答案】解：记事件为甲一项任务都没有被分配，，
组员甲至少分配到一项任务的概率为；
满足即，或，，
三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，
故所求概．
【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式的基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
由独立事件概率公式，先求出甲一项任务都没有被分配的概率，再由对立事件公式求甲至少分配到一项任务的概率；
分别列出符合条件的情况，再利用独立事件概率公式求解即可．
21.【答案】解：证明：在正四棱柱中，，，，，，
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图，
则，，，，，
，
，
又，不在同一条直线上，
；
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，，
，
设平面的法向量，
则，
令，得，，
，
平面与平面的夹角为，
，
化简可得，，解得或，
或，
．
【解析】建立空间直角坐标系，根据坐标法及向量共线定理，即可证明；
建立空间直角坐标系，根据向量法，向量夹角公式，方程思想，即可求解．
本题考查利用向量法证明线线平行，利用向量法求解二面角问题，向量共线定理及向量夹角公式的应用，方程思想，属中档题．
22.【答案】解：当时，直线为，
由，解得：，故所求交点为；
由题意设，，，，
故直线的方程为，因为直线过定点，
代入方程可得，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以的面积的最小值是，
此时，解得：，；
所以此时直线的方程为：；
由题意，，设，则，
，
令，则，
所以
在上单调递增，
故当时，取最大值，此时取最小值，
当时，有，解得，
所以直线的倾斜角为，所以，
所以直线方程为．
解法：由可知：，
由、、三点共线，设的中点为，则，
；
当且仅当时取等号，此时，
此时直线方程为：
【解析】分离，得到关于，的方程组，解出即可；
求出，的坐标，得到，结合基本不等式的性质求出三角形的最小值，求出，的值，从而求出直线方程即可；
求出的解析式，结合函数的单调性求出其最小值，得到直线的倾斜角，求出直线方程即可．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
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