2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.1 平行四边形的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，从而可得，即而可得S ABCD=4S△AOD。
2．如图， ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，BO=DO，
∵EO⊥BO，
∴BE=DE，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分得出AB=DC，AD=BC，BO=DO，由过线段中点且垂直的直线是线段的垂直平分线得出OE是BD的中垂线，由垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BE=DE，然后根据三角形的周长计算方法及等量代换、线段的的和差、平行四边形的周长的计算方法即可算出答案。
3．如图，在 ABCD中，BD为对角线，点E，O，F分别是AB，BD，BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则 ABCD的周长是（ ）
A．10 B．20 C．15 D．6
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点E. O、F分别是AB、BD、BC的中点，
∴AD=2OE=6，CD=2OF=4，
又四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，BC=AD=6，
ABCD 的周长是(6+4)×2=20.
故答案为：B.
【分析】由连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半得出AD=2OE=6，CD=2OF=4，由平行四边形对边相等得出AB=CD=4，BC=AD=6，最后根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍即可算出答案。
4．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（ ）．
A．4，4，8，8 B．5，5，7，7
C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，9
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边为7，较短的一边长为5．所以选B
【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等，且两邻边之和等于周长的一半，就能解答本题
5．（2017八下·重庆期中）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．22
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵△OCD的周长为16，
∴OD+OC=16﹣6=10，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=20，
故选C．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件易求DO+OC的值，再由AC=2OC，BD=2DO，即可求出AC与BD的和．
6．（2017八下·泰兴期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=6，则CD的长为（ ）
A．14 B．17 C．8 D．12
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE：EA=3：4，
∴DE：AD=3：7.
∵EF∥AB，
∴EF：AB=DE：AD=3：7，
∴AB=6×7÷3=14.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=14.
故选A.
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AC，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OB，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC.
∴OD∥CB.
又点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= CB=2，
∴ED=2OD=4.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出OD=OE，OA=OB，根据垂线段最短得出OD⊥BC.根据三角形的中位线得出OD= CB=2，所以得出ED=2OD=4.
8．（2017八下·富顺期中）如图，如果 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO．
∵∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，
∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO．
∵BD=BD，AC="AC" ，∴△ABD≌△DCB，△ACD≌△CAB．
∴共有四对．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案.本题主要考查了平行四边形的性质的运用，记忆平行四边形的性质，应从边、角、对角线三个方面掌握.
9．（2017八下·罗山期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故选B．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
10．（2017·黔东南模拟）如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．
∴BC=AD=8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE= BC=4cm；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质知AB+AD=13cm，OB=OD，再根据△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，得（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，从而找出AB，AD的长度，最后根据平行四边形对边相等，及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论。
二、填空题
11．若 ABCD的周长为22cm，AB，CD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm。则AD ，AB 。
【答案】4cm；7cm
【知识点】解二元一次方程组；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵平行四边形ABCD的周长为22cm，
∴AD+AB=11cm，
∴△AOD的周长=AD+AO+OD，△AOB的周长=AB+AO+OB，
而△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，即AB AD=3cm，
∴ 解得，AD=4cm，AB=7cm.
故答案为：(1). 4cm (2). 7cm.
【分析】根据平行四边形对边相等，对角线互相平分得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，∴AD+AB=11cm，再利用三角形的周长得出AB AD=3cm，组成二元一次方程组解出AD、AB.
12．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则 ABCD的面积为 cm2.
【答案】12
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO=2×1.5=3(cm)，CD=AB=5cm，
∵BC=4cm，
即DB⊥BC，
故答案为：12.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出BD=2DO=2×1.5=3(cm)，根据平行四边形的对边相等得出CD=AB=5cm，在△BDC中，利用勾股定理的逆定理判断出∠CBD=90°，即DB⊥BC，然后根据平行四边形的面积等于底乘以高即可算出答案。
13．如图所示，在 ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△ ，△AOD≌△ ．
【答案】△COD；△COB
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，∴AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．故答案为：△COD，△COB
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，对边相等得出AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，根据三角形三边相等判定出△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．
14．在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO= cm．
【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】在 ABCD中
∵BC=AD=6cm，AO=CO
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC= =8cm，
∴AO= AC=4cm；
故答案为：4
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，对边相等得出BC=AD=6cm，AO=CO，根据勾股定理得出AC，从而可求得AO。
15．（2017八下·揭西期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AD=6，AB=10，则△AOB的面积为
【答案】12
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，AD=6，AB=10，
，
∴ .
∵四边形ABCD是平行四边形，
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5 ，∠DAB=45°，则△OEF周长的最小值是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，
△OEF周长的最小值=MN，
由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，
∵∠DAB=45°，
∴∠MAN=90°，
过D作DP⊥AB于P，
则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP= AD，
∵AD=BC=5 ，
∴AP=DP=5，
∵OM⊥AB于Q，
∴OQ∥DP，
∵OD=OB，
∴OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，
∴AQ=6，
∴AO= = = ，
∴AM=AN=AO= ，
∴MN= AM= ，
∴△OEF周长的最小值是
【分析】根据轴对称-最短路线得出△OEF周长的最小值=MN，因为△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP=DP= AD，求得AP=DP=5，根据三角形的中位线的性质得到OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，根据勾股定理得到AO= = = ，然后根据等腰直角三角形的性质得到答案。
三、解答题
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？
【答案】解：在平行四边形ABCD中，OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠BEO＝∠DFO，
又∵∠BOE＝∠DOF
∴△BOE≌△DOF
∴OE＝OF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得OB＝OD，证得△BOE≌△DOF，结论可得。
18．如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，∠ABC=58 .求∠BAC的度数.
【答案】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=OC，
又AC⊥BD，所以AB=BC.所以∠BAC=∠BCA，
因为∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 ，所以58 +2∠BAC=180 .所以∠BAC=61
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出
AO=OC， 因为
AC⊥BD， 根据线段垂直平分线的性质得出
AB=BC.所以
∠BAC=∠BCA， 根据三角形的内角和得出答案。
19．如图所示，已知 ABCD，对角线AC、BD相交于点O，EF是过点O的任一直线，交AD于点E，交BC于F，试说明OE与OF之间的关系，并说明理由．
【答案】解：结论：OE=OF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．
在△AOE和△COF中， ∵∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，AO＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出
OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF． 根据三角形全等判定（ASA)得出
△AOE≌△COF，从而可得OE=OF
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠EDF.
【答案】证明：连结BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 连结BD，交AC于点O. 根据平行四边形的对角线互相平分得出 OB=OD，OA=OC. 然后根据等式的性质得出 OE=OF， 由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出 四边形BFDE是平行四边形， 根据平行四边形的对角相等得出 ∠EBF=∠EDF
21．已知： ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O， AOB的周长比 DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.
【答案】解：在 ABCD中， AO=CO，BO=DO
∵ AOB周长- DOA周长=5cm，
∴AB-AD=5
又∵ ABCD的周长为60cm.
∴AB+AD=30
【知识点】解二元一次方程组；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出 AO=CO，BO=DO 根据 ABC的周长比 DOA的周长长5cm 得出 AB-AD=5① ，由平行四边形的周长等于两邻边和的2倍得出 AB+AD=30 ②，解由①②组成的方程组，即可算出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.1 平行四边形的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．如图， ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
3．如图，在 ABCD中，BD为对角线，点E，O，F分别是AB，BD，BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则 ABCD的周长是（ ）
A．10 B．20 C．15 D．6
4．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（ ）．
A．4，4，8，8 B．5，5，7，7
C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，9
5．（2017八下·重庆期中）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．22
6．（2017八下·泰兴期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=6，则CD的长为（ ）
A．14 B．17 C．8 D．12
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．6
8．（2017八下·富顺期中）如图，如果 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．（2017八下·罗山期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2017·黔东南模拟）如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
二、填空题
11．若 ABCD的周长为22cm，AB，CD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm。则AD ，AB 。
12．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则 ABCD的面积为 cm2.
13．如图所示，在 ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△ ，△AOD≌△ ．
14．在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO= cm．
15．（2017八下·揭西期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AD=6，AB=10，则△AOB的面积为
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5 ，∠DAB=45°，则△OEF周长的最小值是 ．
三、解答题
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？
18．如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，∠ABC=58 .求∠BAC的度数.
19．如图所示，已知 ABCD，对角线AC、BD相交于点O，EF是过点O的任一直线，交AD于点E，交BC于F，试说明OE与OF之间的关系，并说明理由．
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠EDF.
21．已知： ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O， AOB的周长比 DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，从而可得，即而可得S ABCD=4S△AOD。
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，BO=DO，
∵EO⊥BO，
∴BE=DE，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分得出AB=DC，AD=BC，BO=DO，由过线段中点且垂直的直线是线段的垂直平分线得出OE是BD的中垂线，由垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BE=DE，然后根据三角形的周长计算方法及等量代换、线段的的和差、平行四边形的周长的计算方法即可算出答案。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点E. O、F分别是AB、BD、BC的中点，
∴AD=2OE=6，CD=2OF=4，
又四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，BC=AD=6，
ABCD 的周长是(6+4)×2=20.
故答案为：B.
【分析】由连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半得出AD=2OE=6，CD=2OF=4，由平行四边形对边相等得出AB=CD=4，BC=AD=6，最后根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍即可算出答案。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边为7，较短的一边长为5．所以选B
【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等，且两邻边之和等于周长的一半，就能解答本题
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵△OCD的周长为16，
∴OD+OC=16﹣6=10，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=20，
故选C．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件易求DO+OC的值，再由AC=2OC，BD=2DO，即可求出AC与BD的和．
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE：EA=3：4，
∴DE：AD=3：7.
∵EF∥AB，
∴EF：AB=DE：AD=3：7，
∴AB=6×7÷3=14.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=14.
故选A.
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AC，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OB，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC.
∴OD∥CB.
又点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= CB=2，
∴ED=2OD=4.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出OD=OE，OA=OB，根据垂线段最短得出OD⊥BC.根据三角形的中位线得出OD= CB=2，所以得出ED=2OD=4.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO．
∵∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，
∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO．
∵BD=BD，AC="AC" ，∴△ABD≌△DCB，△ACD≌△CAB．
∴共有四对．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案.本题主要考查了平行四边形的性质的运用，记忆平行四边形的性质，应从边、角、对角线三个方面掌握.
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故选B．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．
∴BC=AD=8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE= BC=4cm；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质知AB+AD=13cm，OB=OD，再根据△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，得（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，从而找出AB，AD的长度，最后根据平行四边形对边相等，及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论。
11．【答案】4cm；7cm
【知识点】解二元一次方程组；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵平行四边形ABCD的周长为22cm，
∴AD+AB=11cm，
∴△AOD的周长=AD+AO+OD，△AOB的周长=AB+AO+OB，
而△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，即AB AD=3cm，
∴ 解得，AD=4cm，AB=7cm.
故答案为：(1). 4cm (2). 7cm.
【分析】根据平行四边形对边相等，对角线互相平分得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，∴AD+AB=11cm，再利用三角形的周长得出AB AD=3cm，组成二元一次方程组解出AD、AB.
12．【答案】12
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO=2×1.5=3(cm)，CD=AB=5cm，
∵BC=4cm，
即DB⊥BC，
故答案为：12.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出BD=2DO=2×1.5=3(cm)，根据平行四边形的对边相等得出CD=AB=5cm，在△BDC中，利用勾股定理的逆定理判断出∠CBD=90°，即DB⊥BC，然后根据平行四边形的面积等于底乘以高即可算出答案。
13．【答案】△COD；△COB
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，∴AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．故答案为：△COD，△COB
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，对边相等得出AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，根据三角形三边相等判定出△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．
14．【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】在 ABCD中
∵BC=AD=6cm，AO=CO
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC= =8cm，
∴AO= AC=4cm；
故答案为：4
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，对边相等得出BC=AD=6cm，AO=CO，根据勾股定理得出AC，从而可求得AO。
15．【答案】12
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，AD=6，AB=10，
，
∴ .
∵四边形ABCD是平行四边形，
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，
△OEF周长的最小值=MN，
由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，
∵∠DAB=45°，
∴∠MAN=90°，
过D作DP⊥AB于P，
则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP= AD，
∵AD=BC=5 ，
∴AP=DP=5，
∵OM⊥AB于Q，
∴OQ∥DP，
∵OD=OB，
∴OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，
∴AQ=6，
∴AO= = = ，
∴AM=AN=AO= ，
∴MN= AM= ，
∴△OEF周长的最小值是
【分析】根据轴对称-最短路线得出△OEF周长的最小值=MN，因为△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP=DP= AD，求得AP=DP=5，根据三角形的中位线的性质得到OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，根据勾股定理得到AO= = = ，然后根据等腰直角三角形的性质得到答案。
17．【答案】解：在平行四边形ABCD中，OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠BEO＝∠DFO，
又∵∠BOE＝∠DOF
∴△BOE≌△DOF
∴OE＝OF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得OB＝OD，证得△BOE≌△DOF，结论可得。
18．【答案】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=OC，
又AC⊥BD，所以AB=BC.所以∠BAC=∠BCA，
因为∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 ，所以58 +2∠BAC=180 .所以∠BAC=61
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出
AO=OC， 因为
AC⊥BD， 根据线段垂直平分线的性质得出
AB=BC.所以
∠BAC=∠BCA， 根据三角形的内角和得出答案。
19．【答案】解：结论：OE=OF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．
在△AOE和△COF中， ∵∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，AO＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出
OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF． 根据三角形全等判定（ASA)得出
△AOE≌△COF，从而可得OE=OF
20．【答案】证明：连结BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 连结BD，交AC于点O. 根据平行四边形的对角线互相平分得出 OB=OD，OA=OC. 然后根据等式的性质得出 OE=OF， 由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出 四边形BFDE是平行四边形， 根据平行四边形的对角相等得出 ∠EBF=∠EDF
21．【答案】解：在 ABCD中， AO=CO，BO=DO
∵ AOB周长- DOA周长=5cm，
∴AB-AD=5
又∵ ABCD的周长为60cm.
∴AB+AD=30
【知识点】解二元一次方程组；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出 AO=CO，BO=DO 根据 ABC的周长比 DOA的周长长5cm 得出 AB-AD=5① ，由平行四边形的周长等于两邻边和的2倍得出 AB+AD=30 ②，解由①②组成的方程组，即可算出答案。
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