2023-2024学年京改版八年级下册第十五章 四边形单元测试卷(含解析)

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2023-2024学年 京改版八年级下册 第十五章 四边形 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，，于F，于G，、交于E，、交于H，给出下列结论：①；②；③；④若点F是的中点，则；其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，于点，是上的动点，且，下列结论：①；②四边形的面积为定值；③；④若，则，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．在Rt中，是斜边上的中线，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图所示，折叠矩形，使点A落在边的点E处，为折痕，已知，则的长（ ）
A． B． C． D．
7．数学几何学中有一个非常厉害的家族——“黄金家族”：著名的雕像“断臂的维纳斯”是“黄金比例”，宏伟的建筑“巴特农神庙”是“黄金矩形”，五角星上的每个角剪下来后都是“黄金三角形”（如下图）.将若干个全等的“黄金三角形”顶角无缝拼接在一起可以拼成一个正多边形，请算算这个正多边形的内角和是多少（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与是矩形的对角线，延长至点，使得，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点A、C、D分别在、、上，四边形为平行四边形，且，则的周长是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．12
评卷人得分
二、填空题
11．已知一个多边形的内角和等于，则这个多边形是 边形.
12．如图，在中，，，，E为中点．若，则 ．
13．如图，在长方形中，是边上一点，是直线上一动点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点三点在一条直线上时，的长为 ．
14．如图，若和均为等腰直角三角形，且，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则的长为 ．
15．点、为半径是的圆周上两点，点为的中点，以线段、为邻边作菱形，顶点恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 ．
16．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，点P是中一点，于点A，于点B，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
18．如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当时，菱形的面积与矩形的面积比值为______．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，根据题意得是等腰直角三角形，即可证明①正确；根据题意得成立，结合四边形内角和即可证得②正确；利用上述结论即可得，则有③正确；连接，根据③得，进一步有是等腰直角三角形，得，由于，根据，即可证得④正确．
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；故①正确；
②∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴AG⊥AD，CF⊥CD，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点F是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
正确结论有4个，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了多边形的外角和，由多边形的外角和为，结合每个外角的度数，即可求出的值，此题得解，熟记多边形的外角和为是解题的关键．
【详解】∵一个正边形的每一个外角都是，
∴，
故选：．
3．D
【分析】根据证明可判断①；把四边形的面积转化为的面积可判断②；证明，然后根据勾股定理可判断③；求出，结合③的结论可判断④．
【详解】解：∵，
∴，，．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴四边形的面积，故②正确；
∵，，
∴．
∵，
∴，故③正确；
若，则，
∴，故④正确．
∴正确的有：①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，解答时熟练掌握等腰直角三角形的性质和证明三角形全等是关键．
4．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理．矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则可求得的值．
【详解】解：∵，
∴矩形的面积为48，，
∴，
∵对角线交于点O，
∴的面积为12，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】∵ Rt中，是斜边上的中线，若，
∴ ，
故选C．
6．A
【分析】题目主要考查矩形及折叠的性质、勾股定理的应用，理解题意，结合图形，熟练运用勾股定理是解题关键．
根据矩形及折叠的性质可得，，在中，利用勾股定理得出，求解即可得．
【详解】解：∵四边形为矩形，且经过折叠，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，根据题意确定正多边形的边数是解题关键．
【详解】解：由题意得：，
即将若干个全等的“黄金三角形”顶角无缝拼接在一起可以拼成一个正十边形，
∴内角和为：
故选：A
8．B
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识，由矩形的性质得，，由，则，由等腰三角形的性质得，则，最后根据平行线的性质即可求解，熟练掌握矩形的性质，求出的度数是解题的关键．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．B
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，解答即可．
【详解】解：是公路的中点，
，
，
，
，两点间的距离为．
故选：B．
10．D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，根据四边形为平行四边形，得出，，，，进而得出 ，，，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴平行四边形的周长是，
故选：D．
11．9
【分析】本题考查了多边形的内角和，根据边形的内角和为，直接代入数值，计算即可作答．
【详解】解：设这个多边形是边形
∴
∴
即
故答案为：9
12．8
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．利用直角三角形斜边中线的性质求得，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：在中，，E为中点，
则，
所以，，
所以为等边三角形，
由，
可得，
所以．
故答案为：8．
【点睛】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，∠A=30°，CD⊥AB，E为AB中点．若BD＝2，则AB＝　　　　　　．
13．或
【分析】本题考查矩形的性质，图形的折叠；在旋转过程中有两次和，在一条直线上，第一次在线段上，第二次在线段的延长线上，利用平行的性质证出，即可求解．
【详解】解：如图：
将沿直线折叠，点的对应点为点，
，，
，
，
，
，
，，，
，，，，
，
，
；
如图：
由折叠，
，
，
，
，
，
；
故答案为：或．
14．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三线合一定理，直角三角形的性质，先利用证明得到，则，再由三线合一定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的对角线互相垂直且平分．结合题意分和进行讨论是解题的关键．
连接、交于点，如图①，根据已知条件得到，求出、、的值，根据勾股定理即可求解；连接并延长与圆交于点，根据已知条件得到，求出、、的值，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接、交于点，连接，如图：
∵点为的中点，
∴，
∵点恰在该圆直径的三等分点上，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴．
连接并延长与圆交于点，连接，如图：

∵点为的中点，
∴，
∵点恰在该圆直径的三等分点上，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键．
【详解】∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的判定，等角对等边，以及三角形内角和定理以及四边形的内角和定理．
（1）由已知条件可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明；
（2）根据四边形的内角和等于求出的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴平分，
即是的平分线．
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形性质以及垂直平分线性质先证明，得到，先证明四边形是平行四边形，再结合得到结论；
（2）当，设，则，设，利用勾股定理得到，再分别表示出菱形和矩形面积即可得出结果．
【详解】（1）证明：为矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）当，设，则，
在菱形中，，
设，
则，
在中，
，即，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平行线性质，全等三角形的判定与性质，正确表示出菱形的面积是解答本题的关键．
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