2023-2024学年京改版九年级上册第二十一章圆（上）单元测试卷(含解析)

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2023-2024学年 京改版九年级上册 第二十一章 圆（上） 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，是的直径，是的弦，如果，那么为（ ）
A．35° B．55° C．65° D．75°
2．如图，点在上，的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知为的直径，C，D是图上同侧的两点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点（不与重合），连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
8．如图,的顶点在上,是的直径,连接,,则的度数是( )
A． B． C． D．
9．如图，是半的直径，点C是的中点，点D为的中点，连接，于点E．若，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
10．如图，A、B、C为上三点，若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，内接于，若，则 ．
12．如图，抛物线与轴交于两点，扰物线的顶点为，点为的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为 ．
13．如图，、是的直径，点在上，，点从点出发沿顺时针方向绕圆心旋转，当 时，直径在中截得的三角形与相似．
14．如图，已知圆心角，则圆周角的度数是 ．
15．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，则 ， ．
16．在矩形内部，且，是上一动点，，，则的最小值为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，，是的两条弦，点，分别在，上，且，是的中点．
(1)求证：；
(2)过作于点，当，时，求的半径．
18．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结交于点E，已知．

(1)求证：．
(2)连结，若，．求的度数．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，先利用直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【详解】解：连接
是的直径，
，
，
，
，
故选：B．
2．C
【分析】如图所示，过点B作交延长线于E，在优弧上取一点D，连接，由圆周角定理可得，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，由此推出，则，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，在优弧上取一点D，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴圆O的半径为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线求出的长是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查圆周角定理的应用，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的性质得出，根据直径所对的圆周角是得，进而利用互余得出的度数即可．
【详解】解：为的直径，，是圆上同侧的两点，
，，
，
故选：A．
4．B
【分析】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意运用折叠的性质及圆内接四边形对角互补是解此题的关键．
先根据圆周角定理求得的度数，从而利用直角三角形的性质求得的度数；再由翻折的性质可得，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，从而得到，即可求出．
【详解】是直径，
，
．
根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，，
，
故答案为：B．
5．A
【分析】本题考查圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选A．
6．B
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和，先根据圆周角定理得出，再根据三角形的内角和定理，即可解答．解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和为180度．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】由题意知，由，可得为的直径，由四点共圆，可求，则，然后求直径，求半径即可．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴为的直径，
∵四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴半径为5，
故选：B．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形，三角形内角和定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查直径对的圆周角为,圆周角定理．根据题意是的直径可知,利用“在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等”知识再根据题中已知条件即可得到本题答案．
【详解】解: ∵,
∴,
∵是的直径,
∴,
∴,
故选:C．
9．C
【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；
连接，，，在上取一点，使得，连接，证明和是等腰直角三角形，求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接，、．
∵是直径，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
在上取一点，使得，连接，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于熟知同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半．
【详解】解：∵A、B、C为上三点，，
∴，
故选：C．
11．/度
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，三角形中位线定理以及抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，确定点的运动轨迹是解题的关键．
由题意可知点在以为圆心，2为半径的半圆上，则点在以为圆心，1为半径的半圆上，的最小值为，求出即可求解．
【详解】解：连接、，
令，则，
解得或，
∴，，
∵，
∴顶点，
∴的中点为，
连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴点在以为圆心，2为半径的半圆上，
∴点在以为圆心，1为半径的半圆上，
∴，
当A、G、F三点共线时，最小，
∴的最小值为，
故答案为：．
13．50或70或160
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，旋转的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
分或或三种情形，分别画出图形，求出旋转角的度数即可．
【详解】解：当时，直径在中截得的三角形与相似．
连接，
，，
，
，
，
当时，，
，
，
当时，直径在中截得的三角形与相似．
，
，
故答案为：50或70或160．
14．/39度
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是注意是在同圆或等圆中．根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半计算即可．
【详解】解：∵，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了圆的相关概念，勾股定理，角平分线的性质，熟记“直角所对的圆周角为”是解题关键．由是的直径，，然后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：是的直径
，，
，
是的平分线
在中，，
故答案为：，．
16．
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，轴对称求线段和的最值问题；取的中点，作关于的对称点，连接，交于点，根据题意得出在以为半径的中点为圆心的圆上运动，得出即当与点重合时，取得最小值，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点，作关于的对称点，连接，交于点，
∴，
∵，
∴在以为半径的中点为圆心的圆上运动，
∴，即当与点重合时，取得最小值，
∴
即 的最小值为
故答案为：．
17．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出即可；
（）根据垂径定理，勾股定理求出，进而求出即可；
此题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴半径为．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据弧，弦，角之间的关系，推出，圆周角定理，得到，，证明即可；
（2）圆周角定理结合等边对等角，求，三角形的内角和定理，求出的度数，进而得到的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴（两边都减去），
∴，
由同弧所对的圆周角相等得：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的度数是．
【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
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