2023-2024学年京改版九年级上册第二十章 解直角三角形单元测试卷(含解析)

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2023-2024学年 京改版九年级上册 第二十章 解直角三角形 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（ ）
A． B． C． D．
2．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是一条斜坡，若，点到点的铅垂距离为，则斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（　　）．
A．3 B． C． D．2
9．在中，，则的值是()
A． B． C． D．
10．在中，若|，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图是一张矩形纸片，点M是对角线中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则 ．

12．如图，在四边形中，，，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则的值为 ．
13．如图，在菱形中，，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，四点分别在边上，点在对角线上．若，则的长为 ．
14．如图，在中，，且，AC上有一点D，满足，则的值是 ．
15．在中，，则的值为 ．
16．如图，菱形的周长为8，两邻角的比为，则对角线的长分别为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若，，，求线段的长．
18．如图，在平面直角坐标系中中，矩形的边在轴上，边在轴上，点坐标为，反比例函数的图像交分别为．
(1)当时，求的值；
(2)将沿翻折，点对应点记为，问的值是否为定值，若是求出该值、若不是请用表示；
(3)连接，作，并使，求过点的反比例函数解析式．
参考答案：
1．B
【分析】勾股定理求出的长，利用平移的性质，推出，得到，求出的长，延长交的延长线于点，作于点，证明，得到，求出的长，进而得到的长，证明，得到，求出的长，再利用坡度等于，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
延长交的延长线于点，作于点，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即：斜坡的坡比为；
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理以及平移的性质，本题的难度较大，属于压轴题，解题的关键是构造相似三角形．
2．B
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，与三角板有关的角度的计算．根据，得到，进而得到，平行，得到，再根据邻补角进行求解即可．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵直尺的两边平行，
∴，
∴；
故选B．
3．A
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数正弦值的定义等知识．由已知条件设，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数正弦值定义即可求出．
【详解】解：在中，，若，
设，，
∴，
∴．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉坡度的概念，是解答本题的关键．
根据坡度的概念，得到斜坡的坡度为，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，，
，
斜坡的坡度为：，
故选：．
5．D
【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，直接利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解： ∵在中，，
∴
故选D．
6．D
【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可．
【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意；
B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意；
C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意；
D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊锐角三角函数值进行判断即可．
【详解】解：，而，
为，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、三角函数、轴对称-最短路径等知识点，根据轴对称可以确定得使得的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线的距离和的长度，即可求得的面积即可解答．明确题意、灵活利用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】解：联立解析式得：，解得：或，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
如图：作点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交于P，则此时的周长最小，
点的坐标为，点B的坐标为，
设直线的函数解析式为,
，解得：，
∴直线的函数解析式为，
当时，，即点P的坐标为，
将代入直线中，得，
∵直线与y轴的夹角是，
∴点P到直线的距离是：，
∴的面积是：．
故选C．
9．C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵在中，，
，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出，，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
11．/
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，证明是解答本题的关键．由折叠的性质可知，，，证明得，设，则，代入比例式求出，然后根据正弦定义求解即可．
【详解】如图，与交于点G，

由折叠的性质可知，，．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
故答案为：．
12．或/或
【分析】分和两种情况进行解答；①当时，如图1：过点B作于H，过点C作，在上截取，连接，先证可得，进而证和全等，即，然后在中，利用勾股定理求出即可；②当时，如图2：过点D作于N，过点C作，在上截取，连接，先证可得，进而证可得，则，然后在中利用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵是以为腰的等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①当时，如图1：过点B作于H，过点C作，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，,
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：；即
②当时，如图2：过点D作于N，过点C作，在上截取，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
在中，，
由勾股定理得：，
∴．
综上所述：的长为或．
故答案为或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形和相似三角形以及分类讨论思想的应用是解题的关键和难点．
13．
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得和的长，然后即可计算出的长．
【详解】解：连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，如图所示，
∵四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
∵菱形和菱形大小相同，
，，
，
，
∴，
同理可得，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质． 作于H，利用两对角相等的三角形相似，由相似得比例列出比例式，由的值，设出与，由代入比例式表示出与，进而求出的值．再由平行性质得出，即可得出答案．
【详解】解：作于H，如图：
在中，，
设，，
∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
15．0.618/
【分析】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值是解题关键．由题意可得出，从而根据互余两角的三角函数的关系即可得出．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：0.618．
16．或2/2或
【分析】本题考查菱形性质的运用，属于基础题目，根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据等边三角形的性质求解即可．依题意，根据菱形的性质首先求出边长，然后推出对角线与菱形的两边构成的三角形为等边三角形，最后可解答．
【详解】解：菱形的周长为8，
菱形的边长是∶，
两个邻角的比是，
较大的角是，较小的角是，
这个菱形的对角线所对的角是，
由菱形的性质得到，与菱形的两边构成的
三角形是等边三角形，
故答案为∶2和．
17．(1)见详解
(2)，理由见详解
(3)
【分析】（1）由与垂直，、为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2），理由为∶由（1）中相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到，得比例，等量代换即可得证；
（3）首先证明，根据（2）的结论求出的长，进而求出，以及的长，再利用锐角三角函数定义求出的长，利用勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）(1)证明∶、是的高，
（2），理由为∶
证明∶ ，
（3）
即有：
解得∶或(舍去)，
在中，
在和中，
解得∶．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，等量代换等知识，属于相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键
18．(1)；
(2)是定值，定值为；
(3)．
【分析】()根据点的坐标和已知条件求得点的坐标，然后把点的坐标代入函数解析式即可求出系数的值；
()根据折叠的性质得到，由反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质求得相关线段的长度，将其代入比例式即可求得答案；
()根据余角性质可得，由三角函数可得，然后利用勾股定理通过点即可求出该反比例函数的解析式．
【详解】（1）解：∵矩形的 边在轴上，边在 轴上，点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴的值是；
（2）解：是定值．
理由如下： 在矩形中，点坐标为，点在反比例函数的图象上，
∴设,，
∴，，
由折叠的性质知，
∴，
∴，
∴的定值为；
（3）解：如图，连接，，且，过点作轴于，则，
∵点坐标为，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
设，过点的反比例函数关系式为(是常数，且)，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴点的坐标为或，
∴，
∴该反比例函数解析式为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质以及翻折旋转的性质，利用待定系数法求解析式是解题的关键．
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