2023-2024学年人教版（2012）八年级上册第十三章轴对称单元测试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教版（2012）八年级上册第十三章轴对称单元测试卷(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-05 17:50:36 | ||
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文档简介
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2023-2024学年 人教版（2012）八年级上册 第十三章 轴对称 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知是等边三角形，点分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①②③④
3．如图，在等边三角形中，于，点分别为上的两个定点，且，在上有一动点使最短，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点D，交于点E．的垂直平分线交于点G，交于点F．则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图,在中,,,点从点出发以每秒的速度向点运动,点从点同时出发以每秒的速度向点运动,其中一个动点到达端点,另一个动点也随之停止,当是以为底的等腰三角形时,运动的时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
6．若等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．4 B．8 C．6或8 D．4或6
7．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等腰直角三角形中，，D是的中点，于点E，交的延长线于点F，若，则的面积为（ ）
A．16 B．20 C．48 D．32
9．已知，用尺规作图的方法在上取一点P，使，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．在等边中，是边上的中线，平分，交于，若，则的长为 ．
12．如图，在中，，，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点D，连接，的度数是= ．
13．如图所示，是等边三角形，，为的中点，点在线段上，连接，以为边在的右下方作等边，的延长线交于，连，当点在线段上（不与重合）运动时：①与互补；②；③是定值；④是定值．以上结论中正确的有 ．
14．如图，在中，的垂直平分线交于点，若，，则的度数为 ．
15．如图，等边中，F是中点，于E，若的边长为10，则 ．
16．如图，内接于，是的直径，连结，若，，则的半径 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，并且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
(3)若的周长为18，，直接写出的长．
18．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，．求的长．
参考答案：
1．A
【分析】此题考查了关于轴对称的点的坐标特点，关于轴对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此解答．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④．
【详解】解：①是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，故①正确，符合题意；
②如图，作交的延长线于，作于，
，
，
，
为的角平分线，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
由①知，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
是等边三角形，
，故②正确，符合题意；
③由②知，，
若，则，从而，这与相矛盾，故③错误，不符合题意；
④，，
， 即，
，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，轴对称求最短路径问题，学会利用轴对称解决最短问题是解题关键．由等边三角形的性质，得出，，，作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时有最小值，最小值为的长，证明是等边三角形，得到，即可得到答案．
【详解】解：是等边三角形，，，
，，
，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时有最小值，
，，
，即的最小值为的长，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
即的最小值为，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角；连接，先根据等腰对等边求出，再根据垂直平分线的性质得到，求出，进而求出，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点G，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查动点问题,等腰三角形性质,路程公式．正确表示出线段长度是解答本题的关键．
根据题意设运动时间为时,是以为底的等腰三角形,利用路程公式表示出和的长,根据等腰三角形性质列出等式,继而得到本题的答案．
【详解】解:设运动时间为时,为等腰三角形, 即,
∵点的速度为每秒,点的速度为每秒,,,
∴,,
∴,
∴,
故选:D．
6．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．此题分为两种情况：4是等腰三角形的底边或4是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【详解】解：当腰为4时，则底边6，此时三边满足三角形三边关系；
当底边为4时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系；
所以底是4或6
故选：D
7．B
【分析】本题主要考查点关于轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键．
根据点关于轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此即可求解．
【详解】解：点与点关于轴对称，
∴，
故选：．
8．A
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．
先得出，根据可证，推出；然后可得出，进而得到长，求出、长；再根据三角形的面积公式得出的面积等于，代入求出即可．
【详解】，
，
，
，
，，，
．
在和中
，
，
．
，为中点，
．
，
，
，
，
的面积是．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
【详解】解：选项B正确．理由：
连接．
由作图可知点P在的垂直平分线上，
，
．
故选：B．
10．C
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案，根据已知得出，，进而发现规律是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
以此类推：．
故选：．
11．
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质，熟知等边三角形三线合一的性质和角平分线的性质是解题的关键．作于点，由等边中，是边上的中线，可得，，进而得到，最后结合平分，可得．
【详解】解：作于点，则，
在等边中，是边上的中线，
，，
，
，
平分，
，
故答案为：．
12．/15度
【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质．
由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，得到，进而求解即可．
【详解】解：∵，，
∴,
∵垂直平分
∴
∴
∴ ．
故答案为：．
13．①②③
【分析】由等边三角形的性质可得，，进而可得，然后求出的度数，即可判断①；取的中点，连接，先证为等边三角形，得出，，进而可证，证明，根据全等三角形的性质即可判断②；由可得，则，由此即可判断③；在上取一点，使，过点作交于，先证明，得到，进而可判断，由于点在线段上（不与重合）运动，无法确定点在上的位置，因此无法判断与的数量关系即可判断④，从而得到答案．
【详解】解：和均为等边三角形，
，，
，
，
，故①正确；
如图，取的中点，连接，
，
和均为等边三角形，
，，，，
点、分别是、的中点，
，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故②正确；
，
，
，
，故③正确；
如图，在上取一点，使，过点作交于，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
点在线段上（不与重合）运动，
无法确定点在上的位置，因此无法判断与的数量关系，
不是定值，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造等边三角形和全等三角形是解决问题的关键．
14．
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可得到．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了含角的直角三角形和等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和中点可求出：和，再根据直角三角形的性质得到，利用在直角三角形中，所对的边是斜边的一半即可求出的长．解题关键是熟记直角三角形的性质．
【详解】∵等边中，F是中点，的边长为10，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，先根据圆周角定理得到，证明为等边三角形，得到，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得，
则的半径为，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的内角和以及等腰三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）由垂直平分得到，再证明垂直平分得到，则问题可证；
（2）由等腰三角形的性质求出，证明，再利用三角形外角性质求．
（3）由题意得到，再将转化成，则问题可解．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
．
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
（3）；
∵的周长为18，
∴，
∵
∴，
由（1），
∴，
∴，
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明可得，进而根据角平分线的判定定理即可求解；掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键；
（2）根据角平分线的定义可得，根据，可得，则，最后根据含30度角的直角三角形的性质，即可解答．掌握30度角的直角边是斜边的一半是解题的关键．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵于点D，于点E，
∴：是的平分线
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年 人教版（2012）八年级上册 第十三章 轴对称 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知是等边三角形，点分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①②③④
3．如图，在等边三角形中，于，点分别为上的两个定点，且，在上有一动点使最短，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点D，交于点E．的垂直平分线交于点G，交于点F．则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图,在中,,,点从点出发以每秒的速度向点运动,点从点同时出发以每秒的速度向点运动,其中一个动点到达端点,另一个动点也随之停止,当是以为底的等腰三角形时,运动的时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
6．若等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．4 B．8 C．6或8 D．4或6
7．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等腰直角三角形中，，D是的中点，于点E，交的延长线于点F，若，则的面积为（ ）
A．16 B．20 C．48 D．32
9．已知，用尺规作图的方法在上取一点P，使，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．在等边中，是边上的中线，平分，交于，若，则的长为 ．
12．如图，在中，，，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点D，连接，的度数是= ．
13．如图所示，是等边三角形，，为的中点，点在线段上，连接，以为边在的右下方作等边，的延长线交于，连，当点在线段上（不与重合）运动时：①与互补；②；③是定值；④是定值．以上结论中正确的有 ．
14．如图，在中，的垂直平分线交于点，若，，则的度数为 ．
15．如图，等边中，F是中点，于E，若的边长为10，则 ．
16．如图，内接于，是的直径，连结，若，，则的半径 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，并且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
(3)若的周长为18，，直接写出的长．
18．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，．求的长．
参考答案：
1．A
【分析】此题考查了关于轴对称的点的坐标特点，关于轴对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此解答．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④．
【详解】解：①是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，故①正确，符合题意；
②如图，作交的延长线于，作于，
，
，
，
为的角平分线，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
由①知，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
是等边三角形，
，故②正确，符合题意；
③由②知，，
若，则，从而，这与相矛盾，故③错误，不符合题意；
④，，
， 即，
，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，轴对称求最短路径问题，学会利用轴对称解决最短问题是解题关键．由等边三角形的性质，得出，，，作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时有最小值，最小值为的长，证明是等边三角形，得到，即可得到答案．
【详解】解：是等边三角形，，，
，，
，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时有最小值，
，，
，即的最小值为的长，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
即的最小值为，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角；连接，先根据等腰对等边求出，再根据垂直平分线的性质得到，求出，进而求出，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点G，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查动点问题,等腰三角形性质,路程公式．正确表示出线段长度是解答本题的关键．
根据题意设运动时间为时,是以为底的等腰三角形,利用路程公式表示出和的长,根据等腰三角形性质列出等式,继而得到本题的答案．
【详解】解:设运动时间为时,为等腰三角形, 即,
∵点的速度为每秒,点的速度为每秒,,,
∴,,
∴,
∴,
故选:D．
6．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．此题分为两种情况：4是等腰三角形的底边或4是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【详解】解：当腰为4时，则底边6，此时三边满足三角形三边关系；
当底边为4时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系；
所以底是4或6
故选：D
7．B
【分析】本题主要考查点关于轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键．
根据点关于轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此即可求解．
【详解】解：点与点关于轴对称，
∴，
故选：．
8．A
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．
先得出，根据可证，推出；然后可得出，进而得到长，求出、长；再根据三角形的面积公式得出的面积等于，代入求出即可．
【详解】，
，
，
，
，，，
．
在和中
，
，
．
，为中点，
．
，
，
，
，
的面积是．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
【详解】解：选项B正确．理由：
连接．
由作图可知点P在的垂直平分线上，
，
．
故选：B．
10．C
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案，根据已知得出，，进而发现规律是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
以此类推：．
故选：．
11．
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质，熟知等边三角形三线合一的性质和角平分线的性质是解题的关键．作于点，由等边中，是边上的中线，可得，，进而得到，最后结合平分，可得．
【详解】解：作于点，则，
在等边中，是边上的中线，
，，
，
，
平分，
，
故答案为：．
12．/15度
【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质．
由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，得到，进而求解即可．
【详解】解：∵，，
∴,
∵垂直平分
∴
∴
∴ ．
故答案为：．
13．①②③
【分析】由等边三角形的性质可得，，进而可得，然后求出的度数，即可判断①；取的中点，连接，先证为等边三角形，得出，，进而可证，证明，根据全等三角形的性质即可判断②；由可得，则，由此即可判断③；在上取一点，使，过点作交于，先证明，得到，进而可判断，由于点在线段上（不与重合）运动，无法确定点在上的位置，因此无法判断与的数量关系即可判断④，从而得到答案．
【详解】解：和均为等边三角形，
，，
，
，
，故①正确；
如图，取的中点，连接，
，
和均为等边三角形，
，，，，
点、分别是、的中点，
，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故②正确；
，
，
，
，故③正确；
如图，在上取一点，使，过点作交于，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
点在线段上（不与重合）运动，
无法确定点在上的位置，因此无法判断与的数量关系，
不是定值，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造等边三角形和全等三角形是解决问题的关键．
14．
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可得到．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了含角的直角三角形和等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和中点可求出：和，再根据直角三角形的性质得到，利用在直角三角形中，所对的边是斜边的一半即可求出的长．解题关键是熟记直角三角形的性质．
【详解】∵等边中，F是中点，的边长为10，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，先根据圆周角定理得到，证明为等边三角形，得到，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得，
则的半径为，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的内角和以及等腰三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）由垂直平分得到，再证明垂直平分得到，则问题可证；
（2）由等腰三角形的性质求出，证明，再利用三角形外角性质求．
（3）由题意得到，再将转化成，则问题可解．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
．
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
（3）；
∵的周长为18，
∴，
∵
∴，
由（1），
∴，
∴，
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明可得，进而根据角平分线的判定定理即可求解；掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键；
（2）根据角平分线的定义可得，根据，可得，则，最后根据含30度角的直角三角形的性质，即可解答．掌握30度角的直角边是斜边的一半是解题的关键．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵于点D，于点E，
∴：是的平分线
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
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