2023-2024学年人教版（2012）九年级上册第二十一章一元二次方程单元测试卷(含解析)

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2023-2024学年 人教版（2012）九年级上册 第二十一章 一元二次方程 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定
3．我国新能源发展迅猛，某种型号锂电池2018年销售量为8万块，到2020年销售量为97万块，设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A．21 B． C． D．9
5．已知等腰三角形的边长分别是、、3，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．23 B．19 C．23或19 D．23或18
6．若是关于的一元二次方程的一个根．则的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2022 D．2023
7．在下列方程中，①；②；③；④，一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个数学问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长阔各几何 译文：一个长方形的面积是864平方步，它的宽比长少12步，长宽各是多少步 设长为x步，则可列出正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
10．关于的方程有两个实数根，，则下列选项正确的是（ ）．
A． B． C． D．且
评卷人得分
二、填空题
11．已知，则 .
12．三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长为 ．
13．已知，为一元二次方程的两个根，则的值为 ．
14．若是方程的一个根，则 ．
15．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为 ．
16．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数m的最大值是 ．
评卷人得分
三、解答题
17．2023年杭州亚运会吉祥物为“宸宸”，据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”．
(1)求平均每月的增长率是多少？
(2)已知某商店“宸宸”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“宸宸”应降价多少元？
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
(1)求的取值范围
(2)若满足，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键．
【详解】解：A. 合并后没有二次项，不是一元二次方程；
B. 合并后没有二次项，不是一元二次方程；
C. 合并后没有二次项，不是一元二次方程；
D. 是一元二次方程；
故选D．
2．C
【分析】本题主要考查三角形的三边关系以及因式分解法解一元二次方程，熟记三角形三边关系以及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，还需要注意的是对等腰三角形腰长和底的分类讨论．
【详解】解：，
，
解得：或4，
①当等腰三角形腰长为2，底为4时，
，不能构成三角形；
②当等腰三角形腰长为4，底为2时，
，，能构成三角形．
∴周长为．
故选：C．
3．A
【分析】此题主要考查了根据实际问题列一元二次方程；根据2020年年销量年年销量，列出方程即可．
【详解】解：设年均增长率为x，
由题意可列方程为：．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法求的值．
【详解】解：一元二次方程的两根分别为m，n，
，
，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、三角形的三边关系：，代入数值，化简计算，然后结合“等腰三角形的边长分别是、、3”， 三角形的三边关系进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两根，
∴
∵等腰三角形的边长分别是、、3
∴当时，则
解得；
此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去；
当时，则
解得；
此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去；
当时，则
解得；
此时等腰三角形的边长分别是，满足三边关系；
故选：A
6．C
【分析】把代入，得到a，b的等式，转化为求代数式的值问题即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】把代入，
得，
故，
∴
故选C．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，如果一个整式方程通过整理后可化为（，且a、b、c是常数）的形式，这样的方程称为一元二次方程，根据此定义判断即可．其一般式为：（，且a、b、c是常数），掌握概念是本题的关键．
【详解】①符合一元二次方程的定义，故符合题意；
②中，当时，它不是一元二次方程，故不符合题意；
③由得到：，不是一元二次方程，故不符合题意；
④不是整式方程，故不符合题意．
综上，是一元二次方程的有1个．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决问题，关键是找相等关系；
设宽为步，长为步，列方程即可；
【详解】设宽为步， 长为步，
根据题意列方程，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了根的判别式．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到△，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围．
【详解】解：当时，方程化为，解得；
当时，则△，解得且，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
10．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元一次不等式组，根据乘法的性质可得两个数的乘积为正数，那么这两个数同号，则或，解得或，再由关于的方程有两个实数根，，即可得到且，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∵关于的方程有两个实数根，，
∴且，
故选D．
11．
【分析】题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值，根据一元二次方程根与系数的关系，可列出两根之和及两根之积的值，再对其进行变形是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定出第三边即可，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：，
，
解得：，，
∴三边为，不能构成三角形，舍去；
，符合题意， 则此三角形的周长为，
故答案为：．
13．10
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系可得：，，，再代入计算即可得到答案，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，是解此题的关键．
【详解】解：，为一元二次方程的两个根，
，，，
，
，
故答案为：．
14．2
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解．把代入即可求解．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：2．
15．4或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算．分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．
【详解】解：当时，方程为：， 即，
解得：（舍去），；
∴此时，
当时，方程为：，
解得：，（舍去）；
．
故答案为：4或．
16．1
【分析】根据一元二次方程有实数根，列出不等式组，即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且．
∴整数m的最大值为1．
故答案为：1．
17．(1)平均每月的增长率是
(2)每个“宸宸”应降价元
【分析】本题考查一元二次方程得实际应用．
（1）设平均每月的增长率是，根据二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”，列出方程进行求解即可；
（2）设每个“宸宸”应降价元，根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
读懂题意，找准等两关系，正确得列出方程，是解题的关键．
【详解】（1）解：设平均每月的增长率是，由题意，得：，
解得：（负值已舍掉）；
答：平均每月的增长率是；
（2）设每个“宸宸”应降价元，由题意，得：
，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：每个“宸宸”应降价元．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解一元二次方程；
（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
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