2023-2024学年人教版（2012）九年级上册第二十二章二次函数单元测试卷(含解析)

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2023-2024学年 人教版（2012）九年级上册 第二十二章 二次函数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①，②，③，④，⑤当时，，其中正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．函数的图象的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
4．已知二次函数的自变量与函数值之间满足下列数量关系：
3 4
10 10 202
那么的值为（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
5．如果将抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
6．下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．在此函数图象上
7．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，则下列说法正确的是（ ）

A． B．点的坐标为
C．图象的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
10．对于任意实数和，定义新运算，有下列四个结论，其中正确的结论个数为（ ）
①的运算结果为；
②方程的解为，；
③当时，函数的图像经过第一、二、四象限；
④函数的图像不经过第二、四象限．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人得分
二、填空题
11．如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，点和点均在直线上．①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中正确的是 ．
12．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
13．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．

14．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ．
15．在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表，则当时，的取值范围为 ．
16．已知与轴的两个交点分别为、，则对称轴为直线 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为ts．

(1) ， （用t的代数式表示）
(2)经过多长时间，的面积等于？
(3)当移动时间 s时，四边形的面积最小？
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标；
(3)是第二象限抛物线上一动点，求点的坐标并求面积的最大值；
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等可判断②正确；由图知时二次函数有最小值，可判断③错误：由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图象可判断④正确．
【详解】解：①∵抛物线的开口向上，
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由得，
，故①正确；
②由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等，
由图知时，，
∴时，，
即．故②正确；
③由图知时二次函数有最小值，
，
，
故③错误．
④由抛物线的对称轴为可得，
，
∴，
当时，．
由图知时，
，故④正确．
综上所述：正确的是①②④．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，灵活的将函数的图象与性质相结合是解题的关键．
【详解】解：∵图像开口朝下，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，故①正确；
∵图象与x轴两个交点，
∴，故②正确；
∵图象过点，
∴，
∵图象过点，
∴，即，
∴，故③错误；
∵图象过点，
∴，故④正确；
由图象可知，当时，一部分函数值大于，有一个函数值等于0，还有一分部小于，故⑤错误；
综上可得，正确的结论是①②④，有3个；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，先配方法为顶点式，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：，
∴顶点坐标为，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，由表格得出点和为抛物线上的对称点，对称轴为直线，由二次函数的对称性得出和所对应的函数值相等，从而得出，，整体代入进行计算即可，熟练掌握此函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：当，，当时，，
点和为抛物线上的对称点，
抛物线的对称轴为直线，
，
和所对应的函数值相等，
当时，，
当时，，即，
当，，即，
，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
根据二次函数的图象与性质对每一个选项进行分析，只有选项符合题意．
【详解】解：根据题意得：
、，图像开口向下，本选项说法不正确，故不符合题意；
、，对称轴是直线，本选项说法不正确，故不符合题意；
、，，顶点坐标为，本选项说法不正确，故不符合题意；
、当时，，在此函数图象上，本选项说法正确，故符合题意．
故选：．
7．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与系数之间的关系，数形结合是解答本题的关键．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴，
∴．
∵与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴②正确；
∵，
∴，
∴③正确；
抛物线对称轴为，与x轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，
∴④正确；
综上所述，正确的有个，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．根据“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律求解即可．
【详解】解：的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位得．
故选A．
9．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据所给函数图象，可得出的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，所以，故选项错误；
由抛物线的函数表达式可知， 抛物线的对称轴为直线，
又因为抛物线与轴的一个交点坐标为，
令点坐标为，则，
解得， 所以点的坐标为，故选项正确；
因为抛物线的对称轴为直线，故选项错误；
当时，随的增大而增大，故选项错误；
故选：．
10．D
【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握解一元二次方程的方法以及二次函数的性质是解题的关键．根据新定义的运算即可判断①；分两种情况讨论得到一元二次方程，解方程即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；利用二次函数的图像即可判断④．
【详解】解：①，
，故正确；
②当时，即时，方程为，
整理得，解得，，
当时，即时，方程为，
整理得，解得或（不符合题意，舍去），
方程的解为，，故正确；
③当时，函数，
函数的图像经过第一、二、四象限，故正确；
④当时，即时，函数为，
当时，即时，函数为，
画出函数图像如下：
由图可知函数图像不经过第二、四象限，故正确；
故选：D．
11．①④/④①
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到，则可对①进行判断；由抛物线开口向下得到，则，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为，则可对③进行判断；利用抛物线与直线只有一个交点可对④进行判断；利用时，，即，时，，即，则可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，即，所以①正确；
抛物线开口向下，
，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以②错误；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的一个交点为，所以③错误；
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与直线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，所以④正确；
时，，即，
而时，，即，
；所以⑤错误；
当时，，
不等式的解集为或．所以⑥错误．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了二次函数与方程、不等式关系．对于二次函数与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
12．/
【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．
根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：∵抛物线与直线交于两点，
∵，
∴，
∴由图可知．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，

∵，
∴，
∴当与点重合时，取得最小值，最小值为，
∵，当时，，则
当时，，
解得：,
∴，
∴
即的最小值为，
故答案为：．
14．，
【分析】本题考查了二次函数与轴交点问题；二次函数中，当时，，即所求解为二次函数中时所对应的的解．
【详解】观察图象可知，对称轴为直线，一个交点为，
则另一个交点坐标为
∴一元二次方程的解是，
故答案为：，．
15．
【分析】本题主要考查二次函数的对称性，掌握二次函数的图象关于对称轴对称是解题的关键．
，根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为，结合表格中所给数据可得出答案．
【详解】解：由所给数据可知的值为和1时，
∴二次函数的对称轴为，
当时，y有最大值0，开口向下，越靠近对称轴的函数值越小，
∴当时，y有最小值，
故答案为：．
16．1
【分析】本题考查二次函数的对称性，根据题意得到点、关于对称轴对称，进而求解即可．熟练掌握二次函数的对称性是关键．
【详解】∵与轴的两个交点分别为、，
∴抛物线的对称轴为．
故答案为：1．
17．(1)，
(2)经过或时，的面积等于；
(3)3
【分析】本题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）的面积等于，根据数量关系，列方程即可求解；
（3）计算出关于的二次函数，利用二次函数的性质求得的最大值，此时四边形的面积最小．
【详解】（1）解：点的速度是，点的速度是，点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，，，，
∴点从点到点的时间为秒，点从点到点的时间为秒，
设点运动的时间为，
∴，，则，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
即，
解方程得，，，
∴经过或时，的面积等于；
（3）解：要使四边形的面积最小，即的面积要最大，
由（2）得
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为9，
∴当时，四边形的面积最小．
故答案为：3．
18．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点关于抛物线的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，进而求解；
（3）过点作轴交于点，由题意可设点，则点，由铅垂法可得面积，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵，
则点、的坐标分别为：、，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：点关于抛物线的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，
理由：为最小，
设直线的表达式为：，
∴由点、的坐标得，，
解得：，
∴直线的表达式为：，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
即点的坐标为：；
（3）解：过点作轴交于点，
由（2）可得直线的表达式为：，
设点，则点，
∴，的水平宽为3，
则面积，
∴当时，的面积最大，最大值为，此时点．
【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到点的对称性、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
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