2023-2024学年人教版（2012）九年级下册第二十八章 锐角三角函数单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教版（2012）九年级下册第二十八章 锐角三角函数单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-18 08:48:38 | ||
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文档简介
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2023-2024学年 人教版（2012）九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在中，，，，则的值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
2．等腰三角形的两条边长分别是和，则它底角的正弦值是（ ）
A． B．或 C． D．或
3．如图，在中，弦的长为，点在延长线上，且，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
5．如图，点A、B、C在上，过点A作的切线交的延长线于点P，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角坐标系中，I是x轴的负半轴上的点，以I为圆心，4为半径的与直线相切，则的长为（ ）
A．5 B． C．6 D．
9．如图，平行四边形中，若，，，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，若，则的余角度数是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．在中，，，点D是边上一点，，，则 ．
12．如图，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是直径上一点，若的半径为，则的最小值是 ．
13．如图，在矩形中，，点F、G分别在边上，沿将四边形翻折得到四边形，且点E落在边上，交于点H．若，，则的长为 ．
14．如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作于．已知，则的长为 ．
15．在中，，都是锐角，且，则是 三角形．
16．如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，则的值为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a为满足的整数．
18．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线经过点A、E，点E的坐标是，抛物线交x轴于另一点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设抛物线的顶点为D，连接，动点P在上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，交线段于点H．
①当时，求t的值；
②过点H作，垂足为点M，过点P作交线段或于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了三角函数定义的应用，直接运用三角函数定义求解即可．
【详解】解：中，．
∵，，
∴，
∴
∴．
故选：D．
2．D
【分析】此题主要考查了分类讨论的思想和锐角三角函数的概念．此题应分为两种情况：当腰长是时或当腰长是时．如图，作底边上的高，根据等腰三角形的三线合一求得，利用勾股定理求出，从而求得三角形底角的正弦值．
【详解】解：当该三角形的腰长是，底边是时，如图所示，
，
是等腰三角形，
，，
，
底角的正弦值；
当该三角形的腰长是，底边是时，如图所示，
同理得，，
底角的正弦值；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点；延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，得出半径为；过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得．
【详解】解：如图，延长，交于点，连接，
由圆周角定理得：，
弦的长为8，且，
，
解得，
的半径为．
过点作于点，
的半径为5，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
则的正切值为．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P作于点H，交于点G，求得，根据垂线段最短，知当点E与点G重合时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：过点P作于点H，交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，∴，
∴，，
∴，
∴，
当点E与点G重合时，有最小值，最小值为的长，
∵，
∴的最小值为3，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，解直角三角形求出即可．
【详解】解： 连接，
，
，
∵过点A作的切线交的延长线于点P，
，
，
，
故选：D．
6．C
【分析】此题考查了仰角问题，过作于点，则四边形是矩形，根据性质和三角函数即可求解，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握三角函数的应用．
【详解】如图，过作于点，
则有四边形是矩形，
∴米，米，，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
7．C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
只有选项C错误，符合题意．
故选C．
8．D
【分析】本题考查了切线的性质，角的正弦值．先求得直线与轴的夹角的正弦值，再根据切线的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：取直线上的一个点，作轴于点，
设点的横坐标为4，则点的纵坐标为，即，，
∴，
∴，
∵与直线相切，切点为，连接，
则，
∴，即，
解得，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．过点D作于点E，在中根据正弦定义求出，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：过点D作于点E，
∴，
∴平行四边形的面积为．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和，余角的计算；根据“几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零”先由余弦值和正切值求得，，再由三角形内角和求得，再计算余角即可；
【详解】解：∵一个数的绝对值和平方都是非负数，
∴，，
∴，，
∴，
∴的余角=，
故选： B．
11．6或
【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作于E，根据，可得出，设，则，在中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出，然后证和相似，最后利用相似三角形的性质可求出的长．
【详解】解：过点D作于E，如图所示：
∵，
在中，，
∴，
设，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，或，
当时，，
，
，
，
，即，
，
当时，，
同理：，即，
．
综上所述：或，
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
作关于的对称点，连接交于点，连接，则最小，根据解直角三角形求出，根据轴对称求出即可．
【详解】作关于的对称点，连接交于点，连接，
则根据垂径定理得：在上，连接交于，则若在时，最小，
∵是半圆上的一个三等分点，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为．
13．
【分析】由折叠的性质得出，过作于，证，得 ，可得，过作交的延长线于，由折叠的性质得 ，再证出，则，设 ，则 ，然后中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
【详解】由折叠的性质得: ，
∴，
∴，
过作于，如图所示:
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
由折叠得: ，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
，，
，
，
，
过作交的延长线于，如图所示，
由折叠的性质得： ，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
，
设，则，
，
∴ ，
∵，
设，
，
在中, 由勾股定理得:，
即 ，
解得：a或 (舍去)，
，
，
，
，
解得：，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识； 本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理是解题的关键．
14．/
【分析】本题考查解直角三角形，圆周角定理，勾股定理．根据直径所对的圆周角为90度可得，可证得，进而可得，求出，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：为直径，点恰好在半圆上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．等腰直角
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质及三角形的内角和定理，根据题意得，，结合特殊角的三角函数值得，，是解决问题得关键．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
由特殊角的三角函数值以及、都是锐角，
得：，，
∵三角形内角和为，
∴，
∵，，，
∴是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
16．//
【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据三角函数的定义即可求出的值．
【详解】解：如图，过点B作交格点D，
在中，利用三角函数的定义可知．
故答案为：．
17．（1） （2），
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用二次根式的运算法则以及分式运算法则进行求解．
（1）根据二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
∵，，
∴，，
又∵a为满足的整数，
∴，
∴原式．
18．(1)
(2)①；②
【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，根据两点式设抛物线解析式，将点E坐标代入抛物线解析式求得a的值，从而得出答案；
（2）①由点A，点B，点C，点D坐标可求，可证四边形是平行四边形，可得，即，解之即可；②分点N在上和点N在上两种情况分别求解．
【详解】（1）解：在直线中，
令时，，
∴点B坐标，
令时，得：，
解得：，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴可设抛物线解析式为，
将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：①如图1，
∵抛物线解析式为：，
∴顶点，
∵点B坐标，
∴，
∵点，点，
∴，
∵点，点，点，
∴，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时．
如图，若点N在上时，即，
∵，
∴，
∵点，点，点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），；
若点N在上，即，
∵，
∴点H、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，
综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的的图象与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形性质等知识点．灵活运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年 人教版（2012）九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在中，，，，则的值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
2．等腰三角形的两条边长分别是和，则它底角的正弦值是（ ）
A． B．或 C． D．或
3．如图，在中，弦的长为，点在延长线上，且，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
5．如图，点A、B、C在上，过点A作的切线交的延长线于点P，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角坐标系中，I是x轴的负半轴上的点，以I为圆心，4为半径的与直线相切，则的长为（ ）
A．5 B． C．6 D．
9．如图，平行四边形中，若，，，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，若，则的余角度数是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．在中，，，点D是边上一点，，，则 ．
12．如图，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是直径上一点，若的半径为，则的最小值是 ．
13．如图，在矩形中，，点F、G分别在边上，沿将四边形翻折得到四边形，且点E落在边上，交于点H．若，，则的长为 ．
14．如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作于．已知，则的长为 ．
15．在中，，都是锐角，且，则是 三角形．
16．如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，则的值为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a为满足的整数．
18．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线经过点A、E，点E的坐标是，抛物线交x轴于另一点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设抛物线的顶点为D，连接，动点P在上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，交线段于点H．
①当时，求t的值；
②过点H作，垂足为点M，过点P作交线段或于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了三角函数定义的应用，直接运用三角函数定义求解即可．
【详解】解：中，．
∵，，
∴，
∴
∴．
故选：D．
2．D
【分析】此题主要考查了分类讨论的思想和锐角三角函数的概念．此题应分为两种情况：当腰长是时或当腰长是时．如图，作底边上的高，根据等腰三角形的三线合一求得，利用勾股定理求出，从而求得三角形底角的正弦值．
【详解】解：当该三角形的腰长是，底边是时，如图所示，
，
是等腰三角形，
，，
，
底角的正弦值；
当该三角形的腰长是，底边是时，如图所示，
同理得，，
底角的正弦值；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点；延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，得出半径为；过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得．
【详解】解：如图，延长，交于点，连接，
由圆周角定理得：，
弦的长为8，且，
，
解得，
的半径为．
过点作于点，
的半径为5，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
则的正切值为．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P作于点H，交于点G，求得，根据垂线段最短，知当点E与点G重合时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：过点P作于点H，交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，∴，
∴，，
∴，
∴，
当点E与点G重合时，有最小值，最小值为的长，
∵，
∴的最小值为3，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，解直角三角形求出即可．
【详解】解： 连接，
，
，
∵过点A作的切线交的延长线于点P，
，
，
，
故选：D．
6．C
【分析】此题考查了仰角问题，过作于点，则四边形是矩形，根据性质和三角函数即可求解，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握三角函数的应用．
【详解】如图，过作于点，
则有四边形是矩形，
∴米，米，，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
7．C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
只有选项C错误，符合题意．
故选C．
8．D
【分析】本题考查了切线的性质，角的正弦值．先求得直线与轴的夹角的正弦值，再根据切线的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：取直线上的一个点，作轴于点，
设点的横坐标为4，则点的纵坐标为，即，，
∴，
∴，
∵与直线相切，切点为，连接，
则，
∴，即，
解得，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．过点D作于点E，在中根据正弦定义求出，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：过点D作于点E，
∴，
∴平行四边形的面积为．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和，余角的计算；根据“几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零”先由余弦值和正切值求得，，再由三角形内角和求得，再计算余角即可；
【详解】解：∵一个数的绝对值和平方都是非负数，
∴，，
∴，，
∴，
∴的余角=，
故选： B．
11．6或
【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作于E，根据，可得出，设，则，在中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出，然后证和相似，最后利用相似三角形的性质可求出的长．
【详解】解：过点D作于E，如图所示：
∵，
在中，，
∴，
设，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，或，
当时，，
，
，
，
，即，
，
当时，，
同理：，即，
．
综上所述：或，
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
作关于的对称点，连接交于点，连接，则最小，根据解直角三角形求出，根据轴对称求出即可．
【详解】作关于的对称点，连接交于点，连接，
则根据垂径定理得：在上，连接交于，则若在时，最小，
∵是半圆上的一个三等分点，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为．
13．
【分析】由折叠的性质得出，过作于，证，得 ，可得，过作交的延长线于，由折叠的性质得 ，再证出，则，设 ，则 ，然后中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
【详解】由折叠的性质得: ，
∴，
∴，
过作于，如图所示:
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
由折叠得: ，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
，，
，
，
，
过作交的延长线于，如图所示，
由折叠的性质得： ，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
，
设，则，
，
∴ ，
∵，
设，
，
在中, 由勾股定理得:，
即 ，
解得：a或 (舍去)，
，
，
，
，
解得：，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识； 本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理是解题的关键．
14．/
【分析】本题考查解直角三角形，圆周角定理，勾股定理．根据直径所对的圆周角为90度可得，可证得，进而可得，求出，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：为直径，点恰好在半圆上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．等腰直角
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质及三角形的内角和定理，根据题意得，，结合特殊角的三角函数值得，，是解决问题得关键．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
由特殊角的三角函数值以及、都是锐角，
得：，，
∵三角形内角和为，
∴，
∵，，，
∴是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
16．//
【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据三角函数的定义即可求出的值．
【详解】解：如图，过点B作交格点D，
在中，利用三角函数的定义可知．
故答案为：．
17．（1） （2），
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用二次根式的运算法则以及分式运算法则进行求解．
（1）根据二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
∵，，
∴，，
又∵a为满足的整数，
∴，
∴原式．
18．(1)
(2)①；②
【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，根据两点式设抛物线解析式，将点E坐标代入抛物线解析式求得a的值，从而得出答案；
（2）①由点A，点B，点C，点D坐标可求，可证四边形是平行四边形，可得，即，解之即可；②分点N在上和点N在上两种情况分别求解．
【详解】（1）解：在直线中，
令时，，
∴点B坐标，
令时，得：，
解得：，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴可设抛物线解析式为，
将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：①如图1，
∵抛物线解析式为：，
∴顶点，
∵点B坐标，
∴，
∵点，点，
∴，
∵点，点，点，
∴，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时．
如图，若点N在上时，即，
∵，
∴，
∵点，点，点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），；
若点N在上，即，
∵，
∴点H、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，
综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的的图象与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形性质等知识点．灵活运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
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