山东名校考试联盟
2023年12月高一年级阶段性检测
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号，考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 命题“，”的否定是（）
A. ， B. ，
C.， D. ，
3. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
4. 在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（）
A. B.
C. D.
5. 已知幂函数的图象经过点，则（）
A. 定义域为 B. 是偶函数
C. 是减函数 D. 的图象关于原点中心对称
6. 设函数在上单调递减，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 已知，则“为偶数”是“为偶数”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 若，则（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5.分，部分选对的得﹖分，有选错的得0分.
9. 函数（且），下列说法正确的是（）
A. 为增函数
B. 函数图象过定点
C. 当且时，
D. 点在图象上，则
10. 函数的定义域为R，且在单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）
A. 的图象关于直线对称 B. 为偶函数
C. ，恒成立 D. 的解集为
11. 已知，且，则下列说法正确的有（）
A. B.
C. D.
12. 函数，下面的结论正确的是（）
A. 函数的图象为中心对称图形 B. 存在使得有三个零点
C. 当且仅当时，有零点 D. 存在使得有两个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域是__________.
14. 设函数，则________，若，则=_________.
15. ，，则_________.
16. 函数在上单调递增，，则_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知实数，集合，.
（1）当时，求及.
（2）当时，求实数a的取值范围.
18. （1）如果，且，其中，求证：
①；
②.
（2）如果，且，，且，求证：.
19. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）当时，
（i）解关于x的不等式；
（ii）若存在，使得，求实数a的取值范围.
20. 经验表明，某种日照绿茶用80℃水泡制，再等到茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型；若物体的初始温度是℃，室温是℃，则经过时间（单位；分钟）后物体的温度（单位：℃）满足，其中为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为85℃的茶水，放在室温25℃的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度降至55℃.
（1）求的值；
（2）当室温为20℃时，若该种日照绿茶用80℃的水泡制，自然冷却至60℃，可以产生最佳口感，那么，则刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到0.1）（附，参考值）
21. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，这一结论可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
（1）利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形；
（2）判断并利用定义证明函数的单调性.
22. 已知幂函数是偶函数.
（1）求函数解析式；
（2）若，求x的取值范围；
（3）若，对任意，都存在唯一，使得，求实数的取值范围.
1山东名校考试联盟
2023年12月高一年级阶段性检测
数学答案
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号，考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，则.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】应用全称命题的否定即可求解.
【详解】命题“，”的否定是“，”，C正确.
故选：C
3. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式，得到，进而利用补集和交集的概念求出答案.
【详解】或，
故，.
故选：C
4. 在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数与幂函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】对于A和B，指数函数过定点，且递增，则，所以幂函数递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合；
对于C和D，指数函数过定点，且递减，则，所以幂函数递增，且增加的越来越慢，故C符合，D不符合.
故选：C.
5. 已知幂函数的图象经过点，则（）
A. 定义域为 B. 是偶函数
C. 是减函数 D. 的图象关于原点中心对称
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据求出的值，可得出函数的解析式，可得出函数的定义域，可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BD选项；利用幂函数的单调性可判断C选项.
【详解】因为函数为幂函数，设，则，可得，
所以，，则，所以，函数的定义域为，A错，
对任意的，，
所以，函数为偶函数，B对D错，
函数在区间上为减函数，在为增函数，C错.
故选：B.
6. 设函数在上单调递减，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与二次函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.
【详解】设，可得，
因为函数在定义域上为单调递减函数，
要使得在上单调递减，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
7. 已知，则“为偶数”是“为偶数”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由题，
若“为偶数，则为偶数，
因为与奇偶性相同，所以与都为偶数，则“为偶数”，
若为偶数，则为偶数，所以为偶数；
所以“为偶数”是“为偶数”的充要条件.
故选：C
8. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据对数运算求解出，再结合幂函数的单调性比较大小.
【详解】由条件可知，，，，
则，，，
，，，所以，
，，，所以，
，，，所以，
综上可知，.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5.分，部分选对的得﹖分，有选错的得0分.
9. 函数（且），下列说法正确的是（）
A. 为增函数
B. 函数的图象过定点
C. 当且时，
D. 点在的图象上，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用对数函数的性质逐一分析判断即可.
【详解】对于A，当时，在其定义域上单调递减，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，当时，在其定义域上单调递减，
所以当时，，故C错误；
对于D，因为点在的图象上，所以，则，
所以，则，故D正确.
故选：BD.
10. 函数的定义域为R，且在单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）
A. 的图象关于直线对称 B. 为偶函数
C. ，恒成立 D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的图象关于直线对称，可得的图象关于轴对称，在单调递减得在单调递增，可判断ABC；再由可判断D.
【详解】若函数的图象关于直线对称，
则的图象关于轴对称，即为偶函数，故B正确；
又在单调递减，所以在单调递增，故A错误；
所以，恒成立，故C正确；
因为，所以，所以的解集为，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知，且，则下列说法正确的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，利用基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，且，
对于A中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；
对于B中，由，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，解得，则，
所以B正确；
对于C中，由，即，所以C错误；
对于D中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以D正确.
故选：ABD.
12. 函数，下面结论正确的是（）
A. 函数的图象为中心对称图形 B. 存在使得有三个零点
C. 当且仅当时，有零点 D. 存在使得有两个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，可判定关于点中心对称，可得判定A正确，举出特例，结合二次函数图象与性质，利用函数零点的概念，逐项判定，即可求解.
详解】对于A中，由，可得，
即，所以函数关于点中心对称，所以A正确，
对于B中，例如时，函数，
此时函数的图象，如图所示，此时方程有3个实数解，
即函数有3个零点，所以B正确；
对于C中，例如：时，函数，
此时函数的图象，如图（2）所示，
此时，但方程有一个实数解，即函数有1个零点，
所以C错误；
对于D中，例如：时，函数，
此时函数的图象，如图（3）所示，
此时方程仅有2个实数解，即函数有2个零点，
所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，
即，解得，即函数的定义域为.
故答案为：.
14. 设函数，则________，若，则=_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则和运算性质，分类讨论，即可求解.
【详解】由函数，可得，所以；
若，
当时，令，解得，此时，不符合题意，舍去；
当时，令，解得，符合题意，
综上可得，.
故答案为：；.
15. ，，则_________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用换底公式化简，再利用对数函数的单调性判断的范围，从而得解.
【详解】因为，
又，即，所以，
又，，所以.
故答案为：2.
16. 函数在上单调递增，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，存在唯一的实数，使得，可得出，由可求得的值，进而可得出函数的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】因为函数在上单调递增，则存在唯一的实数，使得，
又因为，则，即,
所以，，解得，所以，，故.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知实数，集合，.
（1）当时，求及.
（2）当时，求实数a的取值范围.
【答案】（1）或，
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到，利用补集和并集的概念进行求解；
（2）根据交集结果得到包含关系，进而分与两种情况，得到不等式，注意题干中的条件，求出答案.
【小问1详解】
当时，，
，故或，
【小问2详解】
，故，
当时，，解得，与题干中的矛盾，舍去，
当时，，解得，满足要求，
综上，实数a的取值范围是.
18. （1）如果，且，其中，求证：
①；
②.
（2）如果，且，，且，求证：.
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析. （2）证明见解析
【解析】
【分析】根据指数幂与对数的互化公式，以及对数的运算性质，即可求解.
【详解】（1）证明：①设，可得，
则，所以；
②由，所以，即
（2）设且，
可得，两边同时取对数，可得，即，
所以，即且且.
19. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）当时，
（i）解关于x的不等式；
（ii）若存在，使得，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）答案见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解；
（2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集；
（ii）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，因为不等式的解集为，
可得和是方程两个实数根据，
则，解得.
【小问2详解】
解：（i）由函数，
因为，可得，即，
所以，
由不等式，即，
当时，即时，解得或；
当时，即时，即为解得；
当时，即时，解得或，
综上可得，当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（i i）由（i）知，当时，不等式解集为，
若存在，使得，则满足，解得；
当时，不等式的解集为，
此时不存在，使得；
当时，不等式的解集为，
此时不存在，使得，
综上可得，实数的取值范围为.
20. 经验表明，某种日照绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型；若物体的初始温度是℃，室温是℃，则经过时间（单位；分钟）后物体的温度（单位：℃）满足，其中为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为85℃的茶水，放在室温25℃的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度降至55℃.
（1）求的值；
（2）当室温为20℃时，若该种日照绿茶用80℃的水泡制，自然冷却至60℃，可以产生最佳口感，那么，则刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到0.1）（附，参考值）
【答案】（1）
（2）刚泡好的茶水大约需要放置分钟，才能达到最佳饮用口感.
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，代入函数的解析式，结合对数的运算公式，即可求解；
（2）由（1）得到，令，得到，结合对数的运算公式和参考数据，准确计算，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意知，物体的初始温度是℃，室温是℃，则经过时间后物体的温度满足，其中为正常数，
因为测得200mL初始温度为85℃的茶水，放在室温25℃的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度降至55℃，
可得，即，
整理得，即，解得.
【小问2详解】
解：由（1），可得，
令，即，可得，则，
所以.
所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟，才能达到最佳饮用口感.
21. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，这一结论可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
（1）利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形；
（2）判断并利用定义证明函数的单调性.
【答案】（1）证明见解析
（2）函数在为减函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明出函数为奇函数，即可证得结论成立；
（2）判断出在为减函数，然后利用函数单调性的定义证明即可.
【小问1详解】
证明：函数的定义域为，令，
则函数的定义域为，
对任意的，则，
所以，函数为奇函数，故函数的图象关于成中心对称图形.
【小问2详解】
解：函数在上为减函数，证明如下：
对任意的、，且，则，
所以，，即，
因此，函数在上为减函数.
22. 已知幂函数是偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求x的取值范围；
（3）若，对任意，都存在唯一，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的特点和偶函数的性质求解；
（2）判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式；
（3）先求函数的值域，再利用题中条件判断与值域关系，进而利用二次函数性质求解.
【小问1详解】
幂函数，
所以，解得或，
所以或，
因为是偶函数，
所以.
【小问2详解】
图象关于y轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，，
化简得，，解得，，
所以x的取值范围是.
【小问3详解】
因为，所以对任意，，
因为存在唯一，使得，则在区间上单调，且是值域子集，
因为对称轴为，
①当，即时，在上单调递减，
满足，
解得，，和取交集得；
②当，即时，在上单调递增，
满足，解得，，和取交集得；
综上所述，实数的取值范围是.
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