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第9章 分式
知识结构图
分式
分式的性质
应用
解法
约分
加减法
分式的运算
分式方程
乘除法
通分
知识点归纳
一、分式
形如 （a，b为整式，且b中含有字母）
的式子叫做分式.
有理式：整式和分式的统称.
分子
分母
分数线
分式
分式 有意义的条件：
分母不为0，即b≠0
分式 无意义的条件：
分母为0，即b＝0
分式 为0的条件：
分子为0且分母不为0，
即a＝0且b≠0
对点练习1
（1）下列各式中分式有_____，整式有_____.
（2）若分式 的值为0，
则x的值为( )
A.1 B.﹣1 C.±1 D.1或0
②④
①③
A
二、分式的性质
约分：把分式的分子与分母的公因式约去
最简分式：分子与分母只有公因式1的分式
通分：化异分母分式为同分母分式的过程
（a、b是整式，m≠0）
对点练习2
对分式 的变形，
甲同学的做法是：
乙同学的做法是：
请根据分式的基本性质，判断甲、乙两位同学的解法是否正确，并说明理由.
解 ：甲的解法正确，乙的解法错误，
理由如下：
∵分式 已隐含了a＋b≠0的条件，
∴可用分式的基本性质，将分式的分子与分母约去a＋b；
而a－b是否为0不确定，
∴不能用分式的基本性质将分式的分子与分母都乘以a－b.
三、分式的运算
乘除：
加减：
混合：先乘方，再乘除，后加减；如果有括
号，先进行括号里的运算.
对点练习3
计算：1.
解：原式＝
＝
＝
2.
解：原式＝
＝
＝﹣2
四、分式方程
概念：分母中含有未知数的方程
与整式方程的区别：分母中是否含有未知数
解法：①去分母，转化为整式方程
②解这个整式方程
③验根
注意：增根的产生
对点练习4
解方程：
解：去分母，得
2(x－1)＋3(x＋1)＝6，
解这个整式方程，得 x＝1.
检验：当x＝1时，x2－1＝0，
∴x＝1是原方程的增根，应舍去，
∴原方程无解.
学习方法总结
1.采用类比法学习本章内容，将分式的概念、性质及运算与分数的相关知识类比学习，同时要注意与分数相关内容的区别.
2.要通过课上与课下的巩固练习熟练掌握分式的四则混合运算.
3.学习解分式方程时可与解一元一次方程的内容对比学习，理解它们之间的联系与区别，特别要注意对增根的理解以及验根步骤的书写.
易错题辨析
1.已知分式 的值为0，
则x的值为（ ）
A.1 B.﹣1 C. ±1 D.x≠1
错解：C
正解：B
辨析：造成错解的主要原因是没有考虑分式有意义的条件——分母不为0，分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0.
2.方程 的解是_______.
错解：x＝1
正解：无解
辨析：本题错解的主要原因是没有验根，∵解分式方程在去分母时，方程两边同时乘以的式子可能为0，∴解分式方程时必须验根.
典例讲解
例1 先化简： ，
再任选一个你喜欢的数x代入求值.
思考：（1）题中有哪些运算？
（2）应按怎样的顺序计算？
（3）x应满足什么条件？
减法、除法，小括号
先算小括号里面的减法，再算除法
x≠1、2
解：原式＝
＝
＝x﹣2
∵x－1≠0，x－2≠0，∴x≠1、2
∴任选一值，当x＝0时，原式＝﹣2.
注意x应满足的条件
解题方法归纳
分式的混合运算应注意以下几点：
1.分式运算的根本依据是分式的基本性质，应熟练掌握；
2.要掌握每种运算的法则，不要弄错了法则；
3.一定要分清题中有哪些运算，再按混合运算顺序计算；
4.在求值时要找出题中隐含的条件，如分母不为0，除数不为0等.
例2 端午节期间，我校食堂应教职工的要求，用700元钱购进甲、乙两种粽子共260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元，且已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%.求甲、乙种粽子的单价各是多少？两种粽子各购买了多少个？
等量关系：
甲种粽子单价＝乙种粽子单价×(1＋20%)
甲种粽子个数＋乙种粽子个数＝260
解：设乙种粽子x个，由题意，得
化为整式方程，得
260×1.2x＝300＋400×1.2
解得 x＝2.5.
经检验，x＝2.5是原方程的解且符合题意.
∴（1+20%）x＝1.2×2.5＝3（元）
当x＝2.5时，
乙种粽子个数：400÷2.5＝160（个）
甲种粽子个数：260－160＝100（个）.
答：甲种粽子单价为每个3元，乙种粽子单价为每个2.5元，甲种粽子购买100个，乙种粽子购买160个.
解题方法总结
列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？
1.审题：分清已知量与未知量；
2，设未知数；
3.找出等量关系，列出方程；
4.解这个分式方程；
5.验根：是否为原方程的解与是否符合题意；
6.写答语.
1.计算：
原式＝2
原式＝
原式＝a－1
课堂练习
2.解方程：
x＝2
无解
3.一艘轮船从甲地逆流航行至乙地，然后从
乙地回到甲地.已知水流速度是3km/h，回来
时所需的时间是去时的 ，求轮船在静水中
的速度.
解：设轮船在静水中的速度为xkm/h，
轮船从甲地到乙地的航程为ykm，
由题意，得
解得 x＝21.
经检验，x＝21是原方程的解且符合题意.
答：轮船在静水中的速度是21km/h.
能力拓展
先化简，再求值：
其中x是方程
的解.
解：化简得，原式＝
＝
解方程 得x＝﹣3，
∴当x＝﹣3时，原式＝ ＝2.
课堂小结与作业
本章主要知识点有哪些？
分式及其性质
分式的运算
分式方程及其应用
你还有什么疑惑？
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第9章 分式 学案
【学习目标】
1.掌握分式的概念及其性质.
2.熟练运用分式的加减乘除运算法则进行分式的混合运算.
3.会解可化为一元一次方程的分式方程，并掌握验根的必要性与方法.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.本章的主要内容有哪些？学习的关键在哪些地方？
【合作学习，课内探究】
对点练习1
（1）下列各式中分式有_____，整式有_____.
（2）若分式 的值为0，则x的值为 ( )
A.1 B.﹣1 C.±1 D.1或0
对点练习2
对分式的变形，
甲同学的做法是：
乙同学的做法是：
请根据分式的基本性质，判断甲、乙两位同学的解法是否正确，并说明理由.
对点练习3
计算：1. ， 2. .
对点练习4
解方程：
易错题辨析
1.已知分式的值为0，则x的值为 （ ）
A.1 B.﹣1 C. ±1 D.x≠1
错解：
正解：
辨析：
2. 方程的解是_______.
错解：
正解：
辨析：
典例讲解
例1 先化简：，再任选一个你喜欢的数x代入求值.
思考：（1）题中有哪些运算？
（2）应按怎样的顺序计算？
（3）x应满足什么条件？
解：
解题方法总结：
例2 端午节期间，我校食堂应教职工的要求 ( http: / / www.21cnjy.com )，用700元钱购进甲、乙两种粽子共260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元，且已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%.求甲、乙种粽子的单价各是多少？两种粽子各购买了多少个？
分析：（1）已知量与未知量分别有哪些？
（2）题中等量关系是什么？
（3）怎样设未知数？列出的方程又是什么？
解：
解题方法总结：
课堂练习
1.计算：
2.解方程：
3. 一艘轮船从甲地逆流航行至乙地，然后从乙地回到甲地.已知水流速度是3km/h，回来时所需的时间是去时的，求轮船在静水中的速度.21世纪教育网版权所有
能力拓展
先化简，再求值： 其中x是方程的解.
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还什么疑惑？
参考答案
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∵分式已隐含了a＋b≠0的条件，∴可用分式的基本性质，将分式的分子与分母约去a＋b； 而a－b是否为0不确定，∴不能用分式的基本性质将分式的分子与分母都乘以a－b.21教育网
对点练习3
1.解：原式＝＝＝.
2. 解：原式＝＝＝﹣2
对点练习4
解：去分母，得
2(x－1)＋3(x＋1)＝6，
解这个整式方程，得 x＝1.
检验：当x＝1时，x2－1＝0，
∴x＝1是原方程的增根，应舍去，
( http: / / www.21cnjy.com )
例1 解：原式＝＝＝x﹣2
∵x－1≠0，x－2≠0，∴x≠1、2，∴任选一值，当x＝0时，原式＝﹣2.
例2 解：设乙种粽子x个，由题意，得
化为整式方程，得
260×1.2x＝300＋400×1.2
解得 x＝2.5.
经检验，x＝2.5是原方程的解且符合题意.
∴（1+20%）x＝1.2×2.5＝3（元）
当x＝2.5时，
乙种粽子个数：400÷2.5＝160（个）
甲种粽子个数：260－160＝100（个）.
答：甲种粽子单价为每个3元，乙种粽子单价为每个2.5元，甲种粽子购买100个，乙种粽子购买160个.21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
3. 解：设轮船在静水中的速度为xkm/h，轮船从甲地到乙地的航程为ykm，
由题意，得
解得 x＝21.
经检验，x＝21是原方程的解且符合题意.
答：轮船在静水中的速度是21km/h.
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