湖南省陶铸中学等八校08—09年上学期高二联考理科数学试卷

湖南省陶铸中学等八校08—09年上学期高二联考理科数学试卷（问卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知点，且该点在三个坐标平面平面，平面，平面上的射影的坐标依次为，和，则（ 　　　 ）
A、 B、
C、 D、以上结论都不对
2、设A、B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0)，条件甲：； 条件乙：点C的坐标是方程  +  = 1 (y(0)的解. 则甲是乙的（ ）
Ａ、充分不必要条件 Ｂ、必要不充分条件
Ｃ、充要条件 Ｄ、既不是充分条件也不是必要条件
3、与圆及都外切的圆的圆心在（ ）.
A、一个椭圆上 B、双曲线的一支上
C、一条抛物线上 D、一个圆上
4、下列命题中真命题的个数为（ ）
①若
②若
③若
A．0 B．1 C．2 D．3
5、若抛物线C以坐标原点为顶点，以双曲线的顶点为焦点且过第二象限，则抛物线C的准线方程是（ ）
A．x=3 B．y=－4 C．x=3或y=－4 D．x=4或y=－3
6、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则点A1到平面ABC1D1的距离为（ ）
A． B． C． D．
7、 “若且，则全为0”的否命题是（ ）
A．若且，则全不为0
B．若且，则不全为0
C．若且全为0，则
D．若且，则
8、过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数多条
9、已知点在平面内，并且对空间任一点， 则的值为 （ ）
A． B． C． D．
10、在下列四个命题中
①已知A、B、C、D是空间的任意四点，则．
②若{}为空间的一组基底，则{}也构成空间的一组基底．
③．
④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C，若（其中），则P、A、B、C四点共面．
其中正确的个数是 （　　）
A．３ B．２ C．１ D．０
11、直线与双曲线的公共点,最多有 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．已知二面角的平面角为，PA，PB，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（ ）
（A） （B）

（C） （D）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、给出下列命题：①命题“”的否定“”②若命题“”为真，命题“为真，则命题q为真；③若q是q的必要不充分条件，则命题“若p则q”的否命题是真命题，逆否命题是假命题.其中正确命题是
（把你认为正确的命题序号都填上）
14、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为

15、下列各小题中，是的充分必要条件的是
（1）有两个不同的零点
（2）是偶函数
（3）
（4）
16、如图,正方体中,是的中点,
则异面直线与所成的角的余弦值为_____.
湖南省陶铸中学等八校08—09年上学期高二联考理科数学试卷（答卷）
选择题（满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（满分20分）
13、 14、
15、 16、
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设函数的定义域为A. ⑴求集合. ⑵设, ,且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18、（本小题满分12分）
设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
19、（本小题满分12分）
设双曲线的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，、是左、右焦点，是双曲线上一点，且∠Ｐ＝，，又离心率为２，求双曲线的方程。
20、（本小题满分12分）
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别为棱BC，DC上的动点， 且BE=CF.
(1) 求证：B1F⊥D1E；
(2) 当三棱锥C1-FCE的体积取到最大值时，
求二面角C1-FE-C的正切值.
21（本小题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
22、（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴 的长为4，左准线与轴的交点为M，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M的直线与椭圆交于C、D两点，若，求直线的方程；
湖南省陶铸中学等八校08—09年上学期高二联考理科数学试卷（答案）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
B
C
B
C
B
C
A
B
A
D
13、（2）（3） 14、3 15、（1）（4） 16、.
17．⑴∵由解得, ∴A=
⑵由⑴知,
∵是的充分不必要条件,∴∴是的真子集,∴∴的取值范围是
18.解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
4x2+y2－4=0
由 得：
y=kx+1
（4+k2）x2+2kx－3=0，
x1+x2=－y1+y2=，
由 得：
（x，y）=（x1+x2，y1+y2），
即：
消去k得：4x2+y2－y=0
当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2－y= 0．
19、．
20、解：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为0证得
（2）用三垂线法或向量法得正切值为
21、解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，
．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
,=－1+4－3=0,
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．
22、解答：（1）设椭圆方程为，半焦距为，
则

（2） 点M的坐标为，设C、D两点的坐标分别为， 的方程为，代入椭圆方程并整理得： ①
则 ②
由 得：， ③
又， ④
由②③④得：，
解得：，代入①有检验有，
得所求直线的方程为