学森实验学校高一第二次月考数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.函数 f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A.(0，1)
B.[0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
2.设 a＝log 22 3，b＝30.01，c＝ln ，则( )2
A.c
C.a3.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又
名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越
亮；星等的数值越大，它就越暗.到了 1850年，由于光度计在天体光度测量中的
应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的
明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m1－m2＝2.5(lg E2
－lg E1).其中星等为 mi的天体的亮度为 Ei(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是 1.00，
“天津四”的星等是 1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的 r倍，则与 r最接
近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)( )
A.1.24 B.1.25
C.1.26 D.1.27
4.设函数 f(x)＝log2x＋2x－3，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
x
5.函数 f(x) x·2＝ 的图象大致为( )
|x|
6.已知对于实数 a，α：a>1或 a<－1，β：关于 x的方程 x2－ax＋1＝0有实数根，
则α是β成立的( )
1
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
x2＋2ax＋3，x≤1，
7.若函数 f(x)＝ 是 R 上的减函数，则 a的取值范围是( )
ax＋1，x>1
A.[－3，－1] B.(－∞，－1]
C.[－1，0) D.[－2，0)
8.已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2|x m|－1(m为实数)为偶函数，记 a＝f(log0.53)，b
＝f(log25)，c＝f(2m)，则 a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.(多选)设集合 A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中正确的有( )
A.A∪B＝B B.A∩B＝
C.A＝B D.A B
10.(多选)下列命题中，正确的是( )
A.x 4＋ 的最小值是 4
x
B. x2 1＋4＋ 的最小值是 2
x2＋4
C.如果 a>b，c>d，那么 a－d>b－c
D.如果 ac2>bc2，那么 a>b
11.(多选)设指数函数 f(x)＝ax(a>0且 a≠1)，则下列等式中正确的有( )
A.f(x＋y)＝f(x)f(y)
B.f(x f（x）－y)＝
f（y）
C.f(nx)＝nf(x)(n∈Q)
D.[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)
2
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}
3x，x≤0，
12.(多选)设 f(x)＝ 若 f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数 a的
|log3x|，x>0，
取值可以是( )
A.1 B.1
2
C.－1 D.2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.函数 f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a>0，且 a≠1)的图象必经过定点________.
14.已知 f(x)＝|log3x|，若 f(a)>f(2)，则 a的取值范围为________.
15.已知函数 y＝f(x)与 y＝ex的图象关于直线 y＝x对称，则 f(x2－2x－8)的单调递
增区间为________.
16. 1 1已知实数 a，b满足等式 ( )a＝ ( )b，给出下列五个关系式：①02 3
③0四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(10分)求下列各式的值：
1 4 1
(1)(0.25) 32 [ 0 －－ －2×( ) ]2×[(－2)3]3＋( 2－1) 1－ 2 2 ；
7
(2)lg 1 5－lg ＋lg 12.5－log89·log278.2 8
18.(10分)已知集合 A＝{x|a－1(1)若 a＝1，求集合 A∩( RB)；
(2)若 A∩B＝ ，求实数 a的取值范围.
19.(12分)已知函数 f(x)＝ log 1 (10－ax)，且 f(3)＝－2.
2
(1)求函数 f(x)的定义域；
(2)若不等式 f(x) (1≥ ) x＋m在 x∈[3，4]上恒成立，求实数 m的取值范围.
2
3
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}
20.(12分)已知二次函数 y＝x2－2tx＋t2－1(t∈R).
(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式 x2－2tx＋t2－1≥0；
(2)若关于 x的方程 x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于 4，求实数
t的取值范围.
21.(12 分)近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火
箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式 v＝v0ln
M
计算火箭的最大速度 v m/s，其中 v0 m/s是喷流相对速度，m kg是火箭(除推进m
剂外)的质量，M kg M是推进剂与火箭质量的总和， 称为“总质比”.已知 A型火
m
箭的喷流相对速度为 2 000 m/s.
(1)当总质比为 410时，利用给出的参考数据求 A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 1.5倍，
1
总质比变为原来的 ，若要使火箭的最大速度至少增加 1 000 m/s，求在材料更新
5
和技术改进总质比的最小整数值.
参考数据：ln 410≈6，e≈2.718.
22.(12分)设函数 f(x)＝kax－a x(a>0，且 a≠1)是定义在 R 上的奇函数.
(1)求 k的值；
(2)若 f(1)>0，试求不等式 f(a x－1)＋f(1－ a)>0的解集；
(3)若 f(1) 3＝ ，且 g(x)＝a2x＋a 2x－4f(x)，求 g(x)在[1，＋∞)上的最小值.
2
4
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}学森实验学校高一第二次月考数学
一 单选
1.函数 f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( C )
A.(0，1)
B.[0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
2.设 a＝log2 3，b＝30.01，c＝ln 2，则( A )2
A.cC.a3.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又
名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越
亮；星等的数值越大，它就越暗.到了 1850年，由于光度计在天体光度测量中的
应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的
明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m1－m2＝2.5(lg E2
－lg E1).其中星等为 mi的天体的亮度为 Ei(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是 1.00，
“天津四”的星等是 1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的 r倍，则与 r最接
近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)( C )
A.1.24 B.1.25
C.1.26 D.1.27
4.设函数 f(x)＝log2x＋2x－3，则函数 f(x)的零点所在的区间为( B )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
x
5.函数 f(x) x·2＝ 的图象大致为( B )
|x|
6.已知对于实数 a，α：a>1或 a<－1，β：关于 x的方程 x2－ax＋1＝0有实数根，
则α是β成立的( B )
1
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
x2＋2ax＋3，x≤1，
7.若函数 f(x)＝ 是 R 上的减函数，则 a的取值范围是( A )
ax＋1，x>1
A.[－3，－1] B.(－∞，－1]
C.[－1，0) D.[－2，0)
8.已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2|x m|－1(m为实数)为偶函数，记 a＝f(log0.53)，b
＝f(log25)，c＝f(2m)，则 a，b，c的大小关系为( B )
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
二 多选
9.(多选)设集合 A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中正确的有( AD )
A.A∪B＝B B.A∩B＝
C.A＝B D.A B
10.(多选)下列命题中，正确的是( CD )
A.x 4＋ 的最小值是 4
x
B. x2＋4 1＋ 的最小值是 2
x2＋4
C.如果 a>b，c>d，那么 a－d>b－c
D.如果 ac2>bc2，那么 a>b
11.(多选)设指数函数 f(x)＝ax(a>0且 a≠1)，则下列等式中正确的有( AB )
A.f(x＋y)＝f(x)f(y)
B.f(x－y) f（x）＝
f（y）
C.f(nx)＝nf(x)(n∈Q)
D.[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)
2
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}
3x，x≤0，
12.(多选)设 f(x)＝ 若 f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数 a的
|log3x|，x>0，
取值可以是( AB )
A.1 B.1
2
C.－1 D.2
三 填空
13.函数 f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a>0，且 a≠1)的图象必经过定点____(2,2)____.
14.已知 f(x)＝|log3x|，若 f(a)>f(2) 1，则 a的取值范围为__(0, ) (2, ) ______.
2
15.已知函数 y＝f(x)与 y＝ex的图象关于直线 y＝x对称，则 f(x2－2x－8)的单调递
增区间为__ (4, ) ______.
16. 1 1已知实数 a，b满足等式 ( )a＝ ( )b，给出下列五个关系式：①02 3
③0四 解答
17.(10分)求下列各式的值：
1 4 1
(1)(0.25)2－[ 2 3 0－ ×( ) ]2×[(－2)3]3＋( 2－1)－1－ 2 2 125；
7 2
(2)lg 1－lg 5＋lg 12.5－log 189·log278.
2 8 3
18.(10分)已知集合 A＝{x|a－1(1)若 a＝1，求集合 A∩( RB)；[1,3)
(2)若 A∩B＝ ，求实数 a的取值范围. a 1 或 a 2
2
19.(12分)已知函数 f(x)＝ log 1 (10－ax)，且 f(3)＝－2.
2
(1)求函数 f(x)的定义域； ( ,5)
3
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}
(2)若不等式 f(x) 1≥ ( ) x＋m在 x∈[3，4]上恒成立，求实数 m的取值范围.
2
m 17
8
20.(12分)已知二次函数 y＝x2－2tx＋t2－1(t∈R).
(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式 x2－2tx＋t2－1≥0；
{x| x 1或 x 1}
(2)若关于 x的方程 x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于 4，求实数
t的取值范围.
1 t 3
21.(12 分)近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火
箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式 v＝v0ln
M
计算火箭的最大速度 v m/s，其中 v0 m/s是喷流相对速度，m kg是火箭(除推进m
M
剂外)的质量，M kg是推进剂与火箭质量的总和， 称为“总质比”.已知 A型火
m
箭的喷流相对速度为 2 000 m/s.
(1)当总质比为 410时，利用给出的参考数据求 A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 1.5倍，
1
总质比变为原来的 ，若要使火箭的最大速度至少增加 1 000 m/s，求在材料更新
5
和技术改进总质比的最小整数值.
参考数据：ln 410≈6，e≈2.718.
解 (1)当总质比为 410时，v＝2 000ln410.
由参考数据得 v≈2 000×6＝12 000 m/s，
∴当总质比为 410时，A型火箭的最大速度约为 12 000 m/s.
(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，
A型火箭的喷流相对速度为 3 000 m/s M，总质比变为 .
5m
要使火箭的最大速度至少增加 1 000 m/s，
M
则需 3 000 ln －2 000lnM≥1 000.
5m m
4
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}
化简，得 3ln M M－2ln ≥1.
5m m
M 3 M 2
∴ln 5m M－ln m ≥1，整理得 ln ≥1.
125m
M M
∴ ≥e，则 ≥125×e.
125m m
由参考数据，知 e≈2.718.
∴125×e≈339.8.
∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为 340.
22.(12分)设函数 f(x)＝kax－a x(a>0，且 a≠1)是定义在 R 上的奇函数.
(1)求 k的值；
(2)若 f(1)>0，试求不等式 f(a x－1)＋f(1－ a)>0的解集；
(3) 3若 f(1)＝ ，且 g(x)＝a2x＋a 2x－4f(x)，求 g(x)在[1，＋∞)上的最小值.
2
解 (1)∵f(x)＝kax－a－x是定义域为 R 的奇函数，∴f(0)＝0，得 k＝1.
(2)由(1)知 f(x)＝ax－a－x，
又 a>0，且 a≠1，
1
∵f(1)>0，∴a－ >0，∴a>1.
a
易知 f(x)＝ax－a－x在 R 上单调递增.
∵f(a－x－1)＋f(1－ a)>0，
∴f(a－x－1)>－f(1－ a)＝f( a－1)，
a－∴ x－1> a－1，
1
a－∴ x>a2，∴－x>
1 1
，解得 x<－ .
2 2
1
－∞，－
故不等式的解集为 2 .
(3) 3由 f(1)＝ 得 a＝2，
2
由(2)可知 f(x)为[1，＋∞)上的增函数，
故 f(x)≥f(1) 3＝ ，
2
所以 g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)＝(f(x)－2)2－2≥－2(当 f(x)＝2时取等号).
5
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}
故 g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2.
6
{#{QQABJYgQggAoQBAAABhCEQV4CAGQkAGCAIoGQBAAIAABAAFABAA=}#}