沪科版2023-2024学年度上学期九年级期末模拟数学试题1（含解析)

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沪科版2023-2024九年级上期末模拟试题1
考试范围：九上-九下24.2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
如图，直线∥∥，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F. AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为【 】
A． B． 2 C． D．
如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（ ）
A． B． C． D．
下列关于图形对称性的命题，正确的是（　　）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）
A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm
在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（　　）
A．1 B．m C．m2 D．
如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，为与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0；④2a+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
1 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 　 　.（填一个值即可）
如图，已知点A(0，1)，B(0，-1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半
轴于点C，则∠BAC等于 度
如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k＝　 　．
如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 　 　．
如图，点A．B在反比函数的图象上，A．B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是__________．
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1．下列结论中：
①abc＞0；
②2a+b=0；
③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；
⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．
其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
1 、解答题（本大题共8小题，共78分）
计算：4sin60°﹣（）﹣1﹣．
如图，已知线段，垂足为a．
（1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k为常数，k≠0）的图象交于A．B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA，已知OC=2，tan∠AOC=，B（m，﹣2）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．
如图，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）联结BD，求∠DBC的正切值．
红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．
在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．
（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
①求证：△AGE≌△AFE；
②若BE=2，DF=3，求AH的长．
（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．
答案解析
1 、选择题
【考点】科学计算器的应用
【分析】根据每一次的按键顺序列出相应的数学算式，得到结果比较即可．
解：第一次按键转换的数学式子为：，即
第二次按键转换的数学式子为： ，即
第三次按键转换的数学式子为： ，即
∴
故选：
【点评】本题考查的是科学计算器的应用，根据按键顺序转换成数学式子，计算即可．
【考点】轴对称图形，中心对称图形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【考点】平行线分线段成比例定理
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ，代入求出即可．
解：∵AG=2，GB=1，BC=5，
∴.
∵直线∥∥，
∴.
故选D.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．
解：∵，F＝100，
∴，
∵产生的压强p要大于1000Pa，
∴，
∴S＜0.1，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【考点】相似三角形的应用
【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可．
解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，
解得：．
故这栋高楼的高度为36米．
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．　
【考点】二次函数的图象与性质,抛物线与x轴的交点
【分析】设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为”建立方程可求出的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，然后根据关于轴的对称点的坐标变换规律即可得．
解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，
由题意得：，解得，
则抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
则点关于轴的对称点的坐标是，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质、关于轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据题意可知:△AEO∽△ABD,从而可求得BD的长,然后根据锐角三角函数的定义可求得AD的长
解：由题平面图如图所示,
根据题意可知:△AFO∽△ACD,OF=EF=30cm
=
∴
∴CD=72cm，
∵tanα=
∴
∴AD==180cm．
故选：B．
【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
【考点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】三个点的纵坐标相同，由图象可知y=x2图象上点横坐标互为相反数，则x1+x2+x3=x3，再由反比例函数性质可求x3．
解：设点A．B在二次函数y=x2图象上，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上．因为AB两点纵坐标相同，则A．B关于y轴对称，则x1+x2=0，因为点C（x3，m）在反比例函数图象上，则x3=
∴ω=x1+x2+x3=x3=
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象的轴对称性，二次函数图象上点纵坐标相同时，对应点关于抛物线对称轴对称．
【考点】等边三角形的性质，二次函数的性质，动点问题的函数图象
【分析】当△DEF在△ABC内移动时，△ABC、△DEF重合部分的面积不变，当△DEF移出△ABC时，计算出S△DBN，得到，从而得到答案．
解：如图所示，当E和B重合时，AD＝AB﹣DB＝3﹣2＝1，
∴当△DEF移动的距离为0≤x≤1时，△DEF在△ABC内，y＝S△DEF＝＝，
当E在B的右边时，如图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M，
根据题意得AD＝x，AB＝3，
∴DB＝AB﹣AD＝3﹣x，
∵∠NDB＝60°，∠NBD＝60°，
∴△NDB是等边三角形，
∴DN＝DB＝NB＝3﹣x，
∵NM⊥DB，
∴，
∵NM2+DM2＝DN2，
∴，
∴，
∴，
∴当1≤x≤3时，y是一个关于x的二次函数，且开口向上，
∵当0≤x≤1时，，
故选：C．
【点评】本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．
【考点】勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线
【分析】由题意易得CE∥AB，然后根据相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及全等三角形的判定可排除选项．
解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴，
∴，，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴，
∵，
∴，故B错误；
∴，故D正确；
∵为与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴，故A错误；
故选D．
【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①由图象开口向上知a＞0，由y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，则该抛物线的对称轴为x=﹣=＞﹣，即 ＜1，于是得到b＞0；故①正确；②由x=﹣2时，4a﹣2b+c=0得2a﹣b=﹣，而﹣2＜c＞0，解不等式即可得到2a＞b，所以②错误．③由②知2a﹣b＜0，于是得到2a﹣b﹣1＜0，故③正确；④把（﹣2，0）代入y=ax2+bx+c得：4a﹣2b+c=0，即2b=4a+c＞0（因为b＞0），等量代换得到2a+c＜0，故④正确．
解：如图：
①由图象开口向上知a＞0，
由y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=＞﹣，即 ＜1，
由a＞0，两边都乘以a得：b＞a，
∵a＞0，对称轴x=﹣＜0，
∴b＞0；故①正确；
②由x=﹣2时，4a﹣2b+c=0得2a﹣b=﹣，而﹣2＜c＜0，∴2a﹣b＞0，所以②错误．
③当x=﹣2时，4a﹣2b+c=0，∴c=﹣4a+2b．∵c＞﹣2，
∴﹣4a+2b＞﹣2，∴4a﹣2b﹣2＜0，
∴2a﹣b﹣1＜0，
故③正确；
④∵把（﹣2，0）代入y=ax2+bx+c得：4a﹣2b+c=0，
∴即2b=4a+c＞0（因为b＞0），
∵当x=1时，a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∴6a+3c＜0，
即2a+c＜0，∴④正确；
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想，题目比较好，但是难度偏大．
1 、填空题
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
解：设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1x2，
即二元一次方程x2+3x+n＝0的根为x1x2，
由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣3，x1 x2＝n，
∵一次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x1，x2为异号，
∴n＜0，
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
【考点】点与圆的位置关系，锐角三角函数
【分析】解题的关键是正确把握坐标平面内点坐标的意义．
解：由“点A(0，1)，B(0，-1)”可得⊙A的半径为2，OA=1，
∴在Rt△AOC中，cos∠BAC=，
∴∠BAC=60°
【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．
【考点】几何变换综合题．
【分析】先根据直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半求出AB，再根据勾股定理求出OA，在Rt△AOE中求出AE，OE，最后根据点C是OA的中点求出点C的坐标，利用待定系数法求出k的值即可．
解：过点A作AE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4，
∴，
由勾股定理得，
在Rt△AOE中，∠AOB＝30°，，
∴，
由勾股定理得，
∵点C是OA的中点，
∴，，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标是，
∵反比例函数的图象经过OA的中点C，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与几何的综合题，熟知直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握勾股定理，求出点C的坐标是此题的关键．
【考点】矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质．
【分析】 当DF⊥AB'时，BF有最大值，即点E与点F重合，由勾股定理可求CE的长，可求BE＝B'E＝4，通过证明△EB'H∽△EDC，即可求解．
解：如图，过点B'作BH⊥BC于H，
∵点B关于直线AE的对称点B′，
∴AB＝AB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠AEB'，∠ABE＝∠AB'E，
当DF⊥AB'时，BF有最大值，
∴∠AB'F＝∠AB'E＝90°，
∴点E与点F重合，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEB'，
∴AD＝DE＝10，
∴CE＝＝＝6，
∴BE＝4＝B'E，
∵B'H⊥BC，DC⊥BC，
∴B'H∥CD，
∴△EB'H∽△EDC，
∴，
∴，
∴EB'＝，
∴点B′到BC的距离是，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，确定点F的位置是解题的关键．
【考点】反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可．
解：如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，
∵A．B的纵坐标分别是3和6，
代入函数关系式可得横坐标分别为4,2；
∴A（4,3），B（2,6）；
∴AC=4，BD=2，CD=3
由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC，
∴S四边形EBDC=S△AOE，
∴S△AOB=S四边形ABDC= ，
故答案为：9．
【点评】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是．
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点
【分析】结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
解：①∵对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵﹣=1，
∴b=﹣2a，2a+b=0，
故②正确；
③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；
故③正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；
故④正确；
⑤∵抛物线的对称轴是x=1，
∴y有最大值是a+b+c，
∵点A（m，n）在该抛物线上，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
故⑤正确；
本题正确的结论有：②③④⑤，4个，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质．
1 、解答题
【分析】依据特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质进行解答即可．
解：原式=4×﹣2﹣2
=2﹣2﹣2
=﹣2．
【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质是解题的关键．
【考点】平行线的性质,等边三角形的性质,作图—复杂作图,平行线分线段成比例
【分析】（1）根据，点B在射线上，过点A作；根据等边三角形性质，得，分别过点A．B，为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案；
（2）设直线与相交于点S、直线与相交于点，根据平行线和相似三角形的性质，得，从而得，即可完成证明．
解：（1）作图如下：
四边形是所求作的四边形；
（2）设直线与相交于点S，
∵，
∴，
∴
设直线与相交于点，
同理．
∵P，Q分别为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点S与重合，即三条直线相交于同一点．
【点评】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．
【考点】旋转的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；
（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．
解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB=10，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5，
由平移的性质得，CG=AE=12.5．
【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转,平行线的性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形,相似三角形的判定和性质,判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）求得A（2，3），把A（2，3）代入y2=可得反比例函数的解析式为y=，求得B（﹣3，﹣2），把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1=ax+b，可得一次函数的解析式为y=x+1．
（2）由图可得，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．
解：（1）∵OC=2，tan∠AOC=，
∴AC=3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y2=可得，k=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
把B（m，﹣2）代入反比例函数，可得m=﹣3，
∴B（﹣3，﹣2），
把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1=ax+b，可得
，
解得，
∴一次函数的解析式为y=x+1．
（2）由图可得，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到，即可求出梯形的面积；
(2) 过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求解．
解：(1)过C作CE⊥AB于E，如下图所示：
∵ABDC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，
∴∠A=∠D=∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD=CE，AE=CD=5，
∴BE=AB﹣AE=3．
∵BC=3，∴CE==6，
∴梯形ABCD的面积=×(5+8)×6=39，
故答案为：39．
(2)过C作CH⊥BD于H，如下图所示：
∵CDAB，∴∠CDB=∠ABD．
∵∠CHD=∠A=90°，
∴△CDH∽△DBA，∴，
∵BD===10，
∴，∴CH=3，
∴BH===6，
∴∠DBC的正切值===．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【考点】二次函数的应用，一次函数的应用
【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；
（2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；
（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．
解：（1）由题意，当时，，
当时，，
，
，
解得，
综上，；
（2）设该产品的月销售利润为万元，
①当时，，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，
则当时，取得最大值，最大值为；
②当时，，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为90，
因为，
所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；
（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），
，
设该产品捐款当月的月销售利润为万元，
由题意得：，
整理得：，
，
在内，随的增大而增大，
则当时，取得最大值，最大值为，
因此有，
解得．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系
【分析】（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围．
解：（1）∵的图象过点，，
∴
解得
∴
（2）由（1）得，二次函数对称轴为
∴当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,
y的最小值为
∴的最大值与最小值的差为；
（3）由题意及（1）得
整理得
即
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
∴
化简得
即
解得m≠5
∴a，b为方程的两个解
又∵
∴a=-1，b=4-m
即4-m>3
∴m<1
综上所述，m的取值范围为．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；
（2）将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2，接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可．
解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠BAG+∠BAE=45°．
∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中，
∴△GAE≌△FAE．
②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，
∴AB=AH，GE=EF=5．
设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．
解得：x=6．
∴AB=6．
∴AH=6．
（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．
∴∠NDM′=90°．
∴NM′2=ND2+DM′2．
∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠FAM′=45°．
在△AMN和△ANM′中，，
∴△AMN≌△ANM′．
∴MN=NM′．
又∵BM=DM′，
∴MN2=ND2+BM2．
【点评】 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．　
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