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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第27章
课标要求 1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑艺术上的实例了解黄金分割； 2）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比； 3）掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 4）了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明； 5）了解相似三角形的性质定理，相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方； 6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小； 7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．
内容分析 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似.本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究.本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形.此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换-位似．
学情分析 本章有很多内容需要让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼学生动手能力，并体会数学知识是从实践中产生出来的，确认数学是有用的。所以教师在课堂要给学生充裕的时间，重视对学生技能的训练与培养． 识图能力的培养:教师在教学中应当引导学生认识基本图形，并使学生会描述基本图形的对应关系，以及在复杂图形中分离出基本图形．
单元目标 （一）教学目标 1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质; 2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律. （二）教学重点、难点 教学重点:1）利用相似三角形的知识解决实际的问题； 2）位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形. 教学难点:把实际问题抽象为相似三角形、位似图形这一数学模型并求解．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 1.从实际间题引入数学内容，通过对实际问题的分析解决得出结论，认识相似图形的特征与性质，让学生充分感受到数学与现实世界的联系． 2.通过观察、测量、画图、推理等方法让学生探索得出结论，强调发现结论的过程，加强合情推理。3.逐步渗透一些逻辑思维方法，体现数学的理性特征． 4.教材中给学生留下适当的探索空间，也给教师的教学留有一定的余地，有助于学生的思维活动，有助于教师的创造性教学，也有助于教师与学生的合作． 5.强调相似三角形在现实生活中的应用． 6.加强了坐标与现实生活的联系． 7.通过用坐标来研究图形变换的内容，让学生初步体会数形间的关系． 2.本章教学中应注意的问题： 相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似图形的一些重要性质，不仅可以使学生更好地认识、描述物体的形状体会、理解图形的相似在刻画现实世界中的作用意义，而且可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学知识的能力，在判定图形的关系和证明图形性质的过程中，还可以提高学生的逻辑思维和推理能力，因此，本部分知识在中考中非常重要，相似三角形是中考的必考内容，位似图形在全国各地中考题中也经常出现． 3.本章教学建议： 1.在"用坐标来确定位置"中，首先要让学生认识到现实生活中可以利用直角坐标系来确定方位，教学中可以让学生查找城市地图中的某地点(一些地图用字母A、B、C.....和数字1、2、3.....来确定某个地点的位置，方便人们查找)，让学生体会他的实际应用.然后要求学生能根据实际问题和背景建立怡当的坐标系来描述物体的位置． 2.教材中小明通过角度和距离来表述物体的位置，实际上是极坐标方，教材中没有明确，但教学时可以告诉学生，这也是一种用坐标来表示物体位置的方法，这种方法在军事和地理中常常用到，也要求学生掌握． 3.到本章为止，我们己经学过平移、旋转、对称、相似等变换在本节中都可以让学生去体会图形经过这些变换后坐标的变化情况，这样对图形的变换有史深的认识而H初步渗透数形结合的思想.突出了以下三点:(1)图形变换的数学思想方法:(2)探索图形性质的有效工具:(3)合情推理和演绎推理的有机结合． 4.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数27.1.1图形的相似(1) 127.1.227.1图形的相似(2) 127.2.1 (1)27.2.1 相似三角形的判定（1） 127.2.1 (2)27.2.1 相似三角形的判定（2） 127.2.1(3)27.2.1 相似三角形的判定（3） 127.2.1 (4)27.2.1 相似三角形的判定（4） 127.2.227.2.2相似三角形的性质127.2.3 27.2.3 相似三角形应用举例127.3.1（1）27.3.1位似（1）127.3.1（2）27.3.1位似（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务27.1图形的相似(1) 1.理解并掌握两个图形相似的概念． 2.学会判断相似图形，在动手操作中认识相似图形． 3.联系生活实际初步认识相似图形，在观察、操作、比较、交流中，探索并发现相似图形的规律． 1.对相似图形概念的理解． 2.正确地运用相似图形的特征解决生活中实际问题．活动一：学生自主探索出相似图形的基本特征． 活动二：观察、操作、比较、交流中，探索并发现相似图形的规律.27.1图形的相似(2) 1.了解比例线段的定义． 2.掌握相似多边形的判定和相似多边形的性质． 3.学会根据相似多边形判定来识别两个多边形是否相似，会运用其性质进行相关的计算． 4.经历相似图形的认识过程，观察相似图形的关系，得到相似多边形对应边成比例，对应角相等的性质． 1.会根据相似多边形判定来识别两个多边形是否相似，会运用其性质进行相关的计算． 2.掌握相似多边形的判定和相似多边形的性质. 活动一：学生思考、交流 ． 活动二：共同探究关于相似多边形的判定． 活动三：探究巩固例题． 27.2.1 相似三角形的判定（1） 1.了解相似三角形的概念； 2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似； 3.应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题； 经历平行线分线段成比例的认识过程，得到利用平行线法判定三角形相似的方法． 1.掌握相似三角形的概念质． 2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似．活动一：学习关于相似三角形的知识，熟记相似的表示符号． 活动二：回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识． 活动三：探究巩固例题．27.2.1 相似三角形的判定（2） 1.理解并掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法． 2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． 3.经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力. 1.会“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法． 2．运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． 活动一：学生自己动手、动脑，掌握三边成比例的两个三角形相似的知识. 活动二：完成例题学习巩固知识点．27.2.1 相似三角形的判定（3） 1.理解并掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理． 2.会运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． . 1.“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法. 2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验.活动一：从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 活动二：共同探究关于两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识. 活动三：完成例题学习巩固知识点．27.2.1 相似三角形的判定（4） 1.理解并掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 2.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理． 3.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法. 2.运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题.活动一：学生观察导入中的图片，认真思考问题. 活动二：共同探究关于两角分别相等的两个三角形相似的知识. 活动三：完成例题学习巩固知识点．27.2.2相似三角形的性质1.掌握相似三角形对应高线、中线和角平分线的比与相似比之间的关系． 2.理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质． 3.能够运用相似三角形的性质解决相关问题1.掌握相似三角形的性质． 2.会运用相似三角形的性质解决相关问题．活动一：从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。 活动二：完成例题学习巩固知识点．27.2.3 相似三角形应用举例1.进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题． 2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力． 运用相似三角形解决实际问题． 2.把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，在实际问题中建立数学模型．活动一：回顾相似三角形的内容，起到以旧引新，建立新旧知识间的联的作用． 活动二：完成例题学习巩固知识点．27.3.1位似（1）1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质． 2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．1.了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质． 2.利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．活动一：学生观察，认真、积极思考，回答问题． 活动二：学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导．27.3.1位似（2）1.掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，掌握对应点的坐标变化的规律． 2.学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换． 3.学会在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形1.会在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形． 2.掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．活动一：学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导． 活动二：共同探究在平面直角坐标系中的位似图形坐标变换的规律． 活动三：完成例题学习巩固知识点．
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分课时教学设计
第8课时《 27.2.3 相似三角形应用举例 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 进一步巩固相似三角形的知识。掌握和综合运用两个三角形相似解决实际问题。综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解．
学习者分析 培养学生把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．．
教学目标 1.进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题、 2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力． ．
教学重点 综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题。．
教学难点 在实际问题中建立数学模型，灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 新知引入 【新知导入】如图，这是两棵并排的大树，如何测量右边大树的高度呢？可以运用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理或“利用镜子的反射测量高度”的原理来测量右边大树的高度吗？ 不行，因为两棵大树并排，两棵大树的影子会存在重合. 教师：如何利用相似三角形来测量有遮挡的物体的高度呢？ 给我一个支点我可以撬起整个地球!——阿基米德你知道其中的原理吗？试一试解决： 如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高____________m。 8 我们知道数学源于生活又应用于生活，那么今天我们就一起来探索相似三角形在生活中的奥秘吧！ 学生活动1： 通过探究活动理解． 从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题． 积累数学活动经验，感受过程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力和推理论证能力． 进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 解平行投影 自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。 在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影. 在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系 （教师展示PPT在同时刻和不同时刻的高度与影长） 同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体在不同的时刻影长不相等。 总结：利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？ 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。 在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等． 利用太阳光测量物体的高度需要注意：（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高． 学生活动2： 学生相互交流． 用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度. 活动意图说明： 引导学生建立模型，培养学生学以致用的能力，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，.提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解 例1 (测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度． 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性质，根据已知条件求出金字塔的高度． 解法一：∵BA∥DE， ∴∠BAO＝∠EDF. 又∵∠AOB＝∠DFE＝90°， ∴△ABO∽△DEF， ∴＝，∴BO＝＝＝134. 答：此金字塔的高度为134 m. 问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等) 解法二：用镜面反射．(如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形，解法略) ●总结：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。 物高 ：杆高 = 物影 ：杆影或 物高：物影=杆高：杆影 例2 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点R，测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m．求河的宽度PQ. 分析：设河宽PQ长为x m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有＝，即＝.再解x的方程可求出河宽． 解法一：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P， ∴△PQR∽△PST， ∴＝， 即＝，即＝， ∴PQ×90＝(PQ＋45) ×60， 解得PQ＝90， 因此河的宽度PQ为90 m. 问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？ 解法二：如图，构造相似三角形．(解法略) ●总结：利用平行线构造相似测宽度 例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ 设观察者眼晴的位置（视点）为F，观察者的水平视线为FG，∠CFK是观察点C的仰角，∠AFH是观察点A的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内.如果观察者继续再往前走，那么就看不到C点了. 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上． 由题意可知，AB⊥l，CD⊥l, ∴ AB∥CD，△AEH∽△CEK. ∴， 解得 EH＝8（m）. 由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它． 教师总结讲解：利用相似相似三角形测高 测量不能到达顶部且有遮挡物的物体的高度，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题． 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m A 2. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求AB长的等式是( ) C 选做题： 3.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. 解：由题意可得：△DEF∽△DCA， ∴ ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米， ∴ 解得：AC = 10， AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）. 答：旗杆的高度为 11.5 m. 【综合拓展类作业】 4.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮. （1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（如图所示） （2）.已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求（1）中的点C到 胜利街口的距离CM.
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是( ) A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 B 选做题： 2.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米 【综合拓展类作业】 3.拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
教学反思 本节课学习了什么内容？ 一、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)； 2.测距(不能直接测量的两点间的距离)． 二、测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形求解． 三、测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共35张PPT)
27.2.3 相似三角形应用举例
人教版 九年级 下册
教材分析
进一步巩固相似三角形的知识。掌握和综合运用两个三角形相似解决实际问题．综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解．能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题．
教学目标
教学目标：1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的
高度和宽度.
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三
角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点:综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题．
教学难点:在实际问题中建立数学模型，灵活运用三角形相似的知识解决
实际问题．
新知导入
情境引入
乐山大佛
世界上最高的树
—— 红杉
台湾最高的楼
——台北101大楼
怎样测量这些非常高大的物体的高度呢？
新知讲解
合作学习
如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m。
8
给我一个支点我可以撬起整个地球!
阿基米德:
1m
16m
0.5m
？
O
B
D
C
A
┏
┛
尝试画出影子
甲
乙
丙
如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
A
B
C
D
E
F
探究一：利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
例1:如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
怎样测出
OA 的长？
因此金字塔的高为134m.
解析：太阳光是平行光线，
因此∠BAO= ∠ EDF，
又 ∠ AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF
BO：EF=OA：FD
提炼概念
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
归纳总结：
A
F
E
B
O
┐
┐
思考1：还可以有其他测量方法吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
平面镜
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
典例精讲
探究二：利用相似三角形测量宽度
例2、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，
请根据这些数据，计算河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
PQ×90 = (PQ+45)×60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90 m.
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
P
R
Q
S
b
T
a
即 ，
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
45m
90m
60m
方法二：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝80 m，DC＝40 m，EC＝45 m，
求两岸间的距离 AB．
E
A
D
C
B
40 m
45 m
80 m
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ ， 即 ，
解得 AB =90.
因此，两岸间的距离大约为90 m.
E
A
D
C
B
40 m
45 m
80 m
∴ △ABD∽△ECD.
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳总结：
测宽方法：
例3:如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了
探究三：利用相似三角形解决视线遮挡问题
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ ，
即
解得 EH=8.
归纳概念
测量不能到达顶部且有遮挡物的物体的高度，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题．
课堂练习
必做题
1. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D. 2.2 m
A
2. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等式是( )
A． B．
C． D．
C
选做题
3. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
A
B
C
D
G
E
F
A
B
C
D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
则
解得：AC = 10，
故 AB = AC + BC
= 10 + 1.5 = 11.5 (米).
答：旗杆的高度为 11.5 米.
∴
综合拓展题
4.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（如图所示）
（2）.已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求（1）中的点C到
胜利街口的距离CM.
解：∵BA∥PQ,
∴△CMD∽△PND.
∴ ，
即
解得 CM=16(m).
作业布置
必做题
1、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是( )
B
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
选做题
2.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米
E
D
6.4
？
1.5
1.4
A
B
c
解：作DE⊥AB于E得
∴AE=8
∴AB=8+1.4=9.4米
1.2
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
综合拓展题
3.拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
1.2
1.5
甲
乙
9
12
Ａ
Ｂ
Ｃ
12
9.6
D
E
0.6
1.2
1.5
Ａ
Ｂ
12
9.6
D
E
0.6
C
解:∵太阳光是平行光线
∴BC=9.6
∴
∵9.6＞9
∴乙的采光会受影响．
∴DE=0.75
∵EC=9.6-9=0.6
∴
可以计算出甲投在乙墙壁上的影长吗？
课堂总结
相似三角形的应用举例
利用相似三角形测量高度
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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