北京市育才学校2023-2024学年高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023北京育才学校高二（上）期中
数 学
（120分钟 150满分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
2. 已知向量，，则（ ）
A. B. 14 C. D.
3. 两个不同的平面和，平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（ ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 不能确定
4. 已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切
5. 若图中的直线 的斜率分别为 ，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若椭圆上一点到一个焦点的距离为4，则点到另一个焦点的距离是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
7. “”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）
11. 圆的圆心坐标为______，半径为______．
12. 一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.
13. 点P在直线上，O为原点，则|的最小值是___________
14. 试给出一组试两条直线与互相垂直的实数的值__________．
15. 已知为椭圆 上一点，为椭圆长轴上一点， 为坐标原点．给出下列结论：
① 存在点 ，，使得 △ 为等边三角形；
② 不存在点 ，，使得 △ 为等边三角形；
③存在点 ，，使得 ；
④不存在点 ，，使得 ．
其中，所有正确结论的序号是________________．
三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16. 已知的顶点坐标为、、．
（1）求边的中线长；
（2）求边的高线所在直线方程．
17. 求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线上且过两点的圆的方程；
（2）经过三点的圆的方程．
18. 如图，长方体中，，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求与平面所成的角大小；
（3）求点到平面的距离．
19. 设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标．
20.已知圆：，直线：．
（1）当为何值时，直线与圆相交；
（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程
21. 如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1. 【答案】D
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】由可知该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角，
故选：D
2. 【答案】D
【分析】根据空间向量的加法运算求得的坐标，根据模的计算公式，即得答案.
【详解】由题意知向量，，
则，
故，
故选：D
3. 【答案】A
【分析】根据的坐标，判断二者共线，即可判断平面与平面的位置关系.
【详解】由题意知，，
则，即共线，则，
故选：A
4. 【答案】C
【详解】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论．
详解：圆，圆,，所以内切．故选C
点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：
，内含；，内切；，相交；，外切；，外离．
5. 【答案】A
【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】设直线 的倾斜角分别为，
则，
由图可知：，，
所以.
故选：A
6. 【答案】D
【分析】
利用椭圆的定义直接求解即可.
【详解】设椭圆的两个焦点分别为，，则由椭圆定义可知，
不妨设，故．
故选：D．
7. 【答案】D
【分析】先根据两直线平行求出，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，解得，
经检验当时，两直线重合，
所以，
所以“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
8. 【答案】A
【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
9. 【答案】A
【分析】首先根据题意得到过点且与垂直的直线为所求直线，再求直线方程即可.
【详解】由题知：过点且与原点距离最大的直线为过点且与垂直的直线.
因为，故所求直线为，即.
故选：A
【点睛】本题主要考查直线方程的求解，数形结合为解题的关键，属于简单题.
10. 【答案】C
【分析】确定正方体内切球半径，根据空间向量的运算化简为，结合题意得的取值范围，即可得答案.
【详解】由题意设正方体中心为O，即为正方体内切球球心，
则O为的中点，因为正方体的棱长是2，故，
则内切球半径为1；
则
，
由于点在正方体表面上运动，故，
即当P位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取最小值，
则，
即的取值范围为，
故选：C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）
11. 【答案】 ①. ②.
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.
【详解】由题意知圆即圆，
故该圆的圆心为，半径为，
故答案为：；
12. 【答案】
【分析】
根据已知可知：，再代入离心率公式即可.
【详解】由题知：，即.
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.
13. 【答案】
【详解】解：因为点P在直线上，则点P到原点距离的最小值即为原点到直线的距离公式可知为
14. 【答案】（满足且不为零的实数的值均符合）
【分析】由直线相互垂直可得满足的等式关系，求符合条件的一组的值即可.
【详解】解：两条直线与互相垂直
则有，即
故答案为：（满足且不为零的实数的值均符合）
15. 【答案】①④
【分析】①②设，根据在椭圆上求参数a，由在长轴上有判断正误；③④假设、存在，利用垂直关系的坐标表示及在椭圆上得到一元二次方程，由方程求参数m，结合确定存在性.
【详解】设代入椭圆方程得，由且．故①对，②错；
令，且，若 成立，
则，整理得 ．
又 在椭圆 上，联立 整理得：，
易知，则，
因为，所以，故③错，④对．
故答案为：①④
三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据中线的定义，结合中点坐标公式和两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可.
【小问1详解】
设边的中点为，因为、，
所以点的坐标为，即，
所以边的中线长
【小问2详解】
因为，所以边的高线所在直线的斜率为，
因此边的高线所在直线方程为.
17. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据 M，N 两点和圆坐标关系代入圆的方程，求解未知数即可；
（2）将A,B,C 三点坐标代入圆方程求解未知数即可；
【小问1详解】
设圆的一般方程为，
其中,圆心坐标为,
因为圆心在直线上且过两点，
所以，
解得，
所以圆的一般方程为，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
设圆的一般方程为，
其中,
因为经过三点，
所以，
解得，
所以圆的一般方程为，
所以圆的标准方程为；
18. 【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【分析】（1）利用三角形中位线定理，给合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理，结合线面角定义进行求解即可；
（3）建立空间直角坐标系，利用空间点到面距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
设，显然是中点，连接，
因为点为的中点，
所以，而平面，平面，
所以直线平面；
【小问2详解】
因为，
所以矩形是正方形，因此，
又因为平面，平面，
所以，而平面，
所以平面，
所以是与平面所成的角，
因为，，点为的中点．
所以，，
在直角三角形中，，
所以与平面所成的角大小为；
【小问3详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，
，
则有，
，
点到平面的距离.
19. 【答案】（1）
（2）或或或
【分析】（1）根据椭圆定义，结合勾股定理进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为点在椭圆上，
所以，
因为，，．
所以，
所以，即椭圆的方程为；
【小问2详解】
设，因为的面积为，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
所以点的坐标为或或或.
20. 【答案】（1）
（2）或
【分析】（1）先求出圆心及半径，再根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离小于半径，即可得解；
（2）根据圆的弦长及弦长公式求出圆心到直线的距离，进而可得出答案.
【小问1详解】
将圆化为标准方程得，
则圆心，半径，
当直线与圆相交时，
圆心到直线的距离，解得，
所以当时，直线与圆相交；
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，
则，即，解得，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
21. 【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；1
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的一个法向量，确定平面的一个法向量，根据空间角的向量求法，即可求得二面角的余弦值；
（3）假设线段上存在点，设其坐标，利用可求得t的值，即可得结论，并求得的值.
【小问1详解】
由题意知梯形与平行四边形所在平面互相垂直，
且平面平面，，平面，
故平面；
【小问2详解】
由于平面，平面，故,
而，，
故以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
平面的一个法向量可取为，
则，
由图可知二面角为锐角，故其余弦值为；
【小问3详解】
假设线段上存在点，使得直线平面，
又，设，则，
则，即，
即，故，
即线段上存在点，即为的中点，使得直线平面，则.