2023北京丰台高二（上）期中数学（B卷）（教师版）（含答案）

2023北京丰台高二（上）期中
数 学（B卷）
练习 时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）直线的倾斜角为
（A） （B） （C） （D）
（2）已知向量，，且，则
（A） 　　　 （B） （C） （D）
（3）已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（5） 圆截轴所得弦的长度为
（A） （B） （C） （D）
（6）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
（7）如图，在平行六面体中，若，则有序实数组
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知直线：，：，若 ，则实数
（A） （B） （C）或 （D）或
（9）已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是
（A） （B）
（C） （D）
（10）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.
（11）以点为圆心且半径为的圆的标准方程是______.
（12）已知点，，，则______.
（13）已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为______.
（14）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离. 当变化时，的最大值为______.
（15）在长方体中，，，点是棱上的动点，给出下列4个结论：
①；
②；
③若为中点，则点到直线的距离为；
④存在点，使得平面．
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（16）（本小题14分）
在△中，，，.
（Ⅰ）求边所在直线的方程；
（Ⅱ）求边上的中线所在直线的方程.
（17）（本小题14分）
已知向量，， .
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（19）（本小题14分）
已知圆：.
（Ⅰ）求圆的圆心坐标以及半径；
（Ⅱ）求经过点的圆的切线方程；
（Ⅲ）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围.
（20）（本小题14分）
赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求这座圆拱桥的拱圆的方程；
（Ⅱ）若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
（21）（本小题15分）
如图，在直三棱柱中，，，．
，分别为棱，的中点，与交于点．
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）求直线到平面的距离；
（III）在线段上是否存在点，使得平面？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
选择题（每小题4分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A D B D C A B D
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（每小题5分，共25分）
（11）； （12）；
（13）（答案不唯一）； （14）；
（15）②④．
（注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．)
三．解答题（共85分）
（16）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为，，
所以边所在直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以边所在直线的方程为：，
即． ……………6分
（Ⅱ）设边上的中点为，则直线即为边上的中线．
因为，，
所以，又因为
所以直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以直线的方程为：，
即． …………14 分
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，即，． …………4分
（Ⅱ）因为向量，，
所以，
所以 ……………9分
（III）因为，，不能作为空间向量的一组基底
所以向量与向量，共面，故存在唯一的数对，
使得，
即，
，解得． ……………14分
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）证明：在底面中，连接交于点，可得为中点，连接．
因为是的中位线，
所以，
因为平面,
又因为平面,
所以平面． ……………4分
选①：平面平面．
（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，所以．
又底面是正方形，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系
则，，．
所以，．
设平面的法向量为，
则　即
令，则，．于是．
又因为平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为． ………14分
选②：．
（Ⅱ）因为，，又底面是正方形
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，．
设平面的法向量为，
则　即
令，则，．于是．
又因为平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为． ………14分
（19）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为圆：，整理得
所以圆心的坐标为，半径． ……………4分
（Ⅱ） ①当切线斜率不存在时，切线的方程为，符合题意；
②当切线斜率存在时，设：，
即.
设圆心到切线的距离为，则．
整理可得：，
解得：
所以切线的方程为，即.
综合①②，切线的方程为或.……10分
（III）圆与圆的圆心距为，
设圆的半径为，圆的半径为，
若圆与圆：有公共点，
则，即，
解得，
故． ……………14分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，
因为该拱圆过，，，
所以，解得．
所以拱圆的一般方程为，
即． ……………6分
（Ⅱ）当时，，
得
所以该景区游船可以从桥下通过． ……………14分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）在直三棱柱中，
底面，所以，
又因为，
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则　即
令，则，．于是．
所以．
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为． ………6分
（Ⅱ）在侧面中，连接交于点，可知为中点，连接．
因为是的中位线，
所以，
又因为平面,
平面,
所以平面．
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．
又因为，所以，
设点到平面的距离为，则，……10分
所以直线到平面的距离为．
（III）线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面，证明如下：
设，
因为，
所以，
所以
．
由（Ⅰ）知平面的一个法向量为，
因为平面，
所以，即，
解得：，
所以线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面． ……………15分