2023北京丰台高二（上）期中数学（A卷）（教师版）（含答案）

2023北京丰台高二（上）期中
数 学（A卷）
考试时间：120分钟
第I卷（选择题共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线的倾斜角为
（A） （B） （C） （D）
2. 已知圆，则圆心与半径分别为
（A）， （B），
（C）， （D），
3. 如图，在平行六面体中，设，，，则与向量 相等的是
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列选项中能使成立的是
（A）， （B），
（C）， （D），
6. 已知直线，，若 ，则实数
（A） （B） （C）或 （D）或
7. 若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为
（A） （B）或 （C） （D）或
8. 已知圆关于直线对称，则实数
（A） （B） （C） （D）或
9. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为
（A） （B）
（C） （D）
10. 已知圆与圆，过动点分别作
圆，圆的切线， (，分别为切点），若，
则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为______.
12. 已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，， 则 ______.
13. 已知，，三点共线，则______.
14. 已知圆上存在两个点到点的距离均为，则实数n的一个取值为 ．
15.已知正方体的棱长为，是空间中任意一点．给出下列四个结论：
①若点在线段上运动，则总有；
②若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值；
③若点在线段上运动，则直线与平面所成角为定值；
④若点满足，则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为.
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题13分）
已知圆.
（Ⅰ）求经过点的圆的切线方程；
（Ⅱ）求直线被圆截得的弦长.
（本小题13分）
如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点.
条件①：；
条件②：平面平面.
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（本小题15分）
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且半径为.
（Ⅰ）若圆心也在直线上，求圆的方程；
（Ⅱ）已知点，若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取
值范围.
（本小题15分）
如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.
（本小题15分）
在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”.
（Ⅰ）已知，，求；
（Ⅱ）已知直线.
（i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值；
（ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值.
（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
第I卷（选择题 共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B B C D C D A
第II卷（非选择题 共110分）
二．填空题（每小题5分，共25分）
11. 12. 13.
14.（答案不唯一） 15. ①②④
三．解答题（共85分）
16.（本小题13分）
解：（Ⅰ）当切线斜率不存在时，其方程为，
圆心到直线的距离为，
则此时直线与圆相切，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
即，
则圆心到切线的距离，解得，
所以此时切线的方程为.
综上：切线的方程为或. ………………6分
（Ⅱ）由题可知圆的圆心为，半径为.
设圆心到直线的距离为，则.
所以直线被圆所截得的弦长为：. ………………13分
17.（本小题13分）
证明：(Ⅰ) 因为直三棱柱，
所以平面，
因为平面，
所以.
因为，
所以
因为是的中点，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面. ………………4分
（Ⅱ）因为直三棱柱，
所以平面，
所以，，
因为，
所以，，两两垂直，以为原点，，，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，.
所以，，，
设平面的一个法向量为．
所以 即
令，则，.
所以．
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为. ………………13分
18.（本小题14分）
选①：.
（Ⅰ）证明：因为平行四边形，
所以，
因为，，
所以在△中，.
所以，
所以.
又，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为，
所以. ………………6分
选②：平面平面.
证明：因为平面平面，平面平面，，平面.
所以平面，
因为平面，
所以. ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BA，BD，BP两两垂直，以为原点，，， 为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则，.
所以．
因为点在直线上，设，
所以，
故点到平面的距离为，
得.
所以
所以，
所以. ………………14分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）设圆心，由题意得，
解得，所以圆心，
因为圆的半径为1，
所以圆的方程为：. ………………6分
（Ⅱ）设，由已知，，
得，
整理得，
所以点既在圆上又在直线上，
即：圆和直线有公共点，
所以，
所以，
所以的取值范围为：. ………………15分
20.（本小题15分）
证明：(Ⅰ) 因为平面平面，
平面平面，
，
平面,
所以平面，
因为平面，
所以，
因为四边形是正方形，
所以.
因为，平面，平面，
所以平面. ………………4分
（Ⅱ）因为，，两两垂直，以为原点，，，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
所以，.
则，，，
，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则，.
所以．
因为平面，所以为平面的一个法向量，，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值． ………………9分
（Ⅲ）线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下：
设，
因为，
所以，
所以.
由（Ⅱ）知平面的一个法向量为，
因为平面，
所以，即，
解得：，
所以线段上存在点，点为中点，满足平面.………………15分
21.（15分）
解：(Ⅰ) . ………………4分
（Ⅱ）（i）直线与轴的交点，与轴的交点，设直线上任意一点，.
当点在线段的延长线上时，；
当点在线段的延长线上时，；
当点在线段上时，.
因为，，
所以.
综上，当点与点重合时,坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为. …………9分
（ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示.
过作直线的垂线，垂足为，则，
所以.
当取最小值时，取得最小值.
过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为，
当且仅当与重合时，取到最小值.
易知，
所以的最小值为，
即的最小值为. ……………15分