2023北京一六六中高二（上）期中数学（教师版）（含解析）

2023北京一六六中高二（上）期中
数 学
（考试时长：120分钟）
考查目标
知识：统计、概率、空间向量与立体几何、直线和圆的方程
能力：空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力，分析问题和解决问题的能力
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 45° B. 135° C. 60° D. 120°
2. 在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A. B. C. D.
5. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312
7. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. B. C. D.
8. 为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①估计样本的中位数为元；②如果个税起征点调整至元，估计有的当地职工会被征税；③根据此次调查，为使以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调整至元其中正确结论的个数有（ ）
A. B. C. D.
9. 已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为
A. B. C. D.
10. 已知点在圆上，点N在圆上，则下列说法错误的是
A. 的取值范围为
B. 取值范围为
C. 的取值范围为
D. 若，则实数的取值范围为
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）
11. 能说明“直线与圆有两个不同的交点”是真命题的一个的值为______.
12. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
13. 已知直线过点，点，则点到直线的距离是_________．
14. 已知直线l过点（1，1），过点P（-1，3）作直线m⊥l，垂足为M，则点M到点Q（2，4）距离的取值范围为______．
15. 在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.
①存在点P，使得平面平面；
②存在点P，使得平面；
③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；
④对任意的点P，的面积都不等于.
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，N是的中点，设，
（1）用为基向量表示出向量；
（2）求的长．
17. 已知的顶点，AB边上的高所在的直线的方程为，角A的平分线所在直线的方程为．
（1）求直线AB的方程；
（2）求点A的坐标；求直线的方程．
18. 正四棱柱中，为中点，为下底面正方形的中心．求：
（1）异面直线与所成角的余弦值；
（2）直线与平面成角；
（3）点到平面的距离．
19. 为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为（单位：克），其频率分布直方图如图所示：
（1）用分层抽样的方法从样本里质量为，的水果中抽取6个，求质量在的水果数量；
（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取2个，求至少有1个水果质量在的概率；
（3）果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如下表所示，
质量（单位：克）
等级规格 二等 一等 特等
价格（元/个） 4 7 10
试估计果园该种水果的销售收入．
20. 在四棱锥中，底面为中点，底面是直角梯形，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在，求的值；若不存在，请述明理由．
21. 设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．
（1）当时，若，，求和的值；
（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 【答案】B
【分析】根据直线方程，可得斜率k，根据，即可求得答案.
【详解】由直线，可得
所以直线的斜率为k=-1，设其倾斜角为α，（0°≤α＜180°），
则tanα=-1，解得α=135°．
故选：B.
2. 【答案】A
【分析】利用空间向量的运算法则得到，得到答案.
【详解】
，故.
，
故选：A
3. 【答案】A
【分析】根据中点公式计算出圆心坐标，根据两点间的距离公式计算出圆的半径，从而可得圆的标准方程.
【详解】的中点坐标为，圆的半径为，
所以圆的方程为.
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.属于基础题.
4. 【答案】C
【分析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
5. 【答案】A
【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.
【详解】若直线与直线平行，
则，解得或，
经检验或时两直线平行．
故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“”
故选：A
6. 【答案】A
【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．
考点：次独立重复试验．
7. 【答案】C
【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.
【详解】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
8. 【答案】C
【分析】由图可得各个区间内的频率，然后可逐一判断.
【详解】由图可得，月收入在区间内的频率为，月收入在区间内的频率为，
月收入在区间内的频率为，月收入在区间内的频率为，
月收入在区间内的频率为，月收入在区间内的频率为，
所以中位数为，故①正确；
如果个税起征点调整至元，估计有的当地职工会被征税，故②错误；
根据此次调查，为使以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调整至元，故③正确；
所以正确结论的个数为2，
故选：C
9. 【答案】C
【详解】解：如图，取B1C1中点O，则MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，
∵PM，则OP＝1，∴点P在以O为圆心，1以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上．
可得O到A1N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，
作OH⊥A1N于H，
△A1ON的面积为2×2，
∴，可得OH，∴PQ长度的最小值为．
故答案为;C .
点睛：这个题目考查了立体中面面垂直的性质的应用，线面垂直的应用，以及数形结合的应用，较好的考查了学生的空间想像力．一般处理立体的小题，都会将空间中的位置关系转化为平面关系，或者建系来处理．
10. 【答案】B
【详解】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，
∴∠MON≥90°，
∴≤0，
又OM≤+1，ON≤+1，
∴当OM=+1，ON=+1时，
取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；
设M（1+cosα，1+sinα），
N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），
则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），
∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，
∴0≤≤2，故B错误；
∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|=2，
∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤≤2+2，故C正确；
∵﹣1≤|OM|≤+1，-1≤|ON|≤+1，
∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确．
故选B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）
11. 【答案】0
【分析】
根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到，求得的取值范围，即可求解.
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
若直线与圆有两个不同的交点，
则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即，解得，
所以命题为真命题的一个的值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
12. 【答案】0．98.
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为．
【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
13. 【答案】
【分析】求出直线的方向向量及，进而求出，再根据点到直线的距离为即可得解.
【详解】解：直线的方向向量，
，
则，
又，所以，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
14. 【答案】
【分析】先根据垂直关系得到点M的轨迹为一个圆，然后用|CQ|减去圆的半径得|MQ|的最小值，加上半径得|MQ|的最大值．
【详解】
直线过定点设为A，则有A（1,1），设M（x，y），
因为直线，则，所以，，
即，化简为：，
所以，点M的轨迹为以C（0,2）为圆心为半径的圆，
∵|CQ|2，
∴|CQ||MQ|≤|CQ|，即|MQ|≤3．
故答案为［，3］.
【点睛】一般和圆有关的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．
15. 【答案】①②④
【分析】当为直线与平面的交点时，根据面面平行的判定定理即可判断①正确；当为直线与平面的交点时，根据线面垂直的判定定理即可判断②；计算出的条件即可判断③；求出△的面积的最小值即可判断④.
【详解】对于①，如图，因为，
所以平面平面，
当直线交平面于点时，有平面平面，故①正确；
对于②，如图，设正方体的棱长为2，则，，
则，
有，，所以，，
又平面，所以平面，
当直线交平面于点时，有平面，故②正确；
对于③，因为设（其中），
则△在平面的正投影面积为，
又△在平面上的正投影图形的面积与在平面的正投影图形面积相等，
所以，
若，则，解得或，
因为，所以，故存在点，使得；故③错误；
对于④，由于固定不变，只要找上的点到的距离最短即可，
取中点，连接，
由②的分析可证得平面，由平面得；
又平面，平面，所以，
所以为直线与的公垂线，此时△的面积最小；
因为在正方体中，易知，
又，所以，
因此，；
所以对任意点，△的面积都不等于,故④正确.
故答案为：①②④
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据空间向量的线性运算可得解；
（2）利用空间向量的数量积及运算律可得解.
【小问1详解】
是的中点，
.
【小问2详解】
在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且与，的夹角都是，
则，，，，
.
所以的长为.
17. 【答案】（1）；
（2）；．
【分析】（1）利用直线垂直的条件求出直线的斜率，然后根据点斜式可得直线的方程；
（2）利用直线及的方程可得交点的坐标；由题可得点关于直线的对称点为，进而即得．
【小问1详解】
因为边上的高所在的直线的方程为，
所以直线上的高的斜率，直线的斜率为，又，
所以直线的方程为，即；
【小问2详解】
因为角的平分线所在直线的方程为，
由，解得，
即；
设点关于直线：的对称点为，
则，解得，
所以在直线上，又，
所以直线的方程为，整理得．
18. 【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成角即可；
（2）用向量法求线面角即可；
（3）用向量法求点面距即可.
【小问1详解】
在正四棱柱中，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
因为，，为中点，为下底面正方形的中心，
所以，，，，，，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
【小问2详解】
由（1），，，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，
，设直线与平面所成角为，则
，又，
，
所以直线与平面所成角为.
【小问3详解】
由（2）可得，，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
19. 【答案】（1）个
（2）
（3）
【分析】（1）根据分层抽样的知识求得正确答案.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
（3）先求得各等级的频率，再计算出销售收入.
【小问1详解】
的频率为；的频率为；
所以质量在的水果数量为.
【小问2详解】
质量在的水果数量为，记为，
在的水果数量为，记为，
从中任取两个，基本事件为：，共个，
至少有1个水果质量在为，共个，
故至少有1个水果质量在的概率为.
【小问3详解】
二等品的频率为，
一等品的频率为，
特等品的频率为，
所以预计销售收入为元.
20. 【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，且
【分析】（1）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知，这条平行线是过直线的平面到平面的交线，由于是中点，，因此辅助线作法易知，只要取中点，就是要找的平行线；
（2）建立空间直角坐标系，通过证明以及结合判定定理即可得结果；
（3）设，，所以，求出两平面，的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得．
【小问1详解】
取的中点，连结，因为为中点，所以，
且，在梯形中，，，
所以，，四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则
，，
所以，，
又由平面，平面，可得，
因为面，面，，
所以平面．
【小问3详解】
平面的法向量为，
，设，
所以，
设平面的法向量为，
，，
由，，得
，
令，所以，
所以，
注意到，解得．
所以在线段上存在一点，使得二面角为，
此时
21. 【答案】（1），
（2）B=；理由见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）根据所给定义及集合的运算性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为，，所以
，
．
【小问2详解】
解：设；
；
；
；
．
则
对于中的不同元素，经验证，
所以中至多1个元素属于B，
所以集合B中至多5个元素．
取
满足条件．此时集合B=
所以集合B中至多有5个元素．