2023北京房山高二（上）期中数学（教师版）（含解析）

2023北京房山高二（上）期中
数 学
第一部分（选择题共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知，，则线段的中点坐标为（ ）
A. （1，4） B. （2，1） C. （2，8） D. （4，2）
2. 如图，平行六面体中，为中点．设，，，用基底表示向量，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4. 在棱长为2的正方体中，（ ）
A. B. C. 2 D. 4
5. 如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（ ）
A. 是直线与平面所成角
B. 是二面角的一个平面角
C. 线段的长是点A到直线的距离
D. 线段的长是点A到平面的距离
6. 已知直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A. 或2 B. C. 2 D.
7. 在同一平面直角坐标中，表示：与：的直线可能正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 长方体中，，为的中点，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 设为直线上的动点，过点做圆：的切线，则切线长的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 已知，，则直线的斜率__________．
12. 已知，，，则外接圆的方程为____________．
13. 已知直线与平面所成角为，，是直线上两点，且，则线段在平面内的射影的长等于____________．
14. 如图，长方体中，，，则点到点的距离等于____________；点到直线的距离等于____________．
15. 已知圆：和直线：，则圆心到直线的距离等于_____________；若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，写出一个符合要求的实数的值，______________．
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是等边三角形，为的中点，且底面，点为棱上一点．给出下面四个结论：
①对任意点，都有；
②存在点，使平面；
③二面角的正切值为；
④平面平面．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 已知三条直线：，：，：．
（1）求直线，的交点的坐标；
（2）求过点且与直线平行的直线方程；
（3）求过点且与直线垂直的直线方程．
18. 已知圆的圆心为点，半径为2．
（1）写出圆的标准方程；
（2）若直线：与圆交于A，B两点，求线段的长．
19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求点到平面的距离．
20. 如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．
21. 已知圆：和直线：．
（1）写出圆的圆心和半径；
（2）若在圆上存在两点A，B关于直线对称，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．
参考答案
第一部分（选择题共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 【答案】A
【分析】用中点坐标公式即可求解.
【详解】设线段的中点坐标为，则，
即，则线段的中点坐标为.
故选：A.
2. 【答案】B
【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.
【详解】.
故选：B
3. 【答案】C
【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解
【详解】连接，，如图，
因为正方体中，
所以就是与所成的角，
在中，.
∴.
故选：C
4. 【答案】D
【分析】根据向量数量积定义计算即可.
【详解】
在棱长为2的正方体中,
易知，
因为，与的夹角为，
所以与的夹角为，
.
故选：D
5. 【答案】B
【分析】根据线面垂直即可求解AD，根据平面，即可得，进而判断C，结合二面角的定义即可判断B.
【详解】对于AD，由于平面，所以是直线与平面所成角，线段的长是点到平面的距离，故AD正确，
对于B，平面，平面,所以,又，
平面，所以平面，
平面,故,
又，平面,平面,
故是二面角的一个平面角，故B错误，
对于C，由于，所以线段的长是点A到直线的距离，C正确,
故选：B
6. 【答案】D
【分析】根据两直线平行，即可列式求解.
【详解】因为，所以，
解得：.
故选：D
7. 【答案】C
【分析】结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，即可判断.
【详解】对于A：由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故A错误．
对于B：由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故B错误．
对于C：由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，故C正确．
对于D：由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故D错误．
故选：C．
8. 【答案】A
【分析】连接，设，表示出，，，利用勾股定理计算可得.
【详解】如图连接，设，则，
，，
因为，所以，即，解得（负值舍去）.
故选：A
9. 【答案】B
【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可.
【详解】圆心为，半径为，设切点为，
要使得切线长最小，则最小，此时，
所以，所以，
故选：B
10. 【答案】D
【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.
【详解】设，因为点，，，
所以即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆上存在点满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 【答案】2
【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.
【详解】根据题意，，
故答案为：2.
12. 【答案】
【分析】首先设外接圆的方程为，从而得到，再解方程组即可.
【详解】设外接圆的方程为，
则，
所以外接圆的方程为：.
故答案为：
13. 【答案】
【分析】依题意可得线段在平面内的射影的长等于.
【详解】因为直线与平面所成角为，，是直线上两点，且，
则线段在平面内的射影的长等于.
故答案为：
14. 【答案】 ①. ②. ##
【分析】以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式可求点到点的距离；连接，作垂直，垂足为，求出向量在向量上的投影，由勾股定理即可求点到直线的距离.
【详解】如图，以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由，，则，，所以，
所以点到点的距离等于.
连接，作垂直，垂足为，由，，所以，，所以，
又，所以点到直线的距离.
故答案为：；.
15. 【答案】 ①. ②. （答案不唯一）.
【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆上有且仅有两个点到直线的距离为转化为半径与圆心到直线的距离之间的关系即可求解.
【详解】圆心到直线的距离为；
因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为，所以，解得.
故答案为：；（答案不唯一）.
16. 【答案】②③④
【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.
【详解】
对于①，若点与点C重合，显然不满足，所以①错；
对于②，若点为线段中点，取线段中点E，连接，
则且，
所以且，则四边形为平行四边形，
得，因为平面，平面
所以平面，所以②正确；
对于③，因为为的中点，且底面，
过作于，
则即为二面角的平面角，
根据边长可求得，，
所以，所以③正确；
对于④，因为底面，平面，
所以平面平面，所以④正确；
故答案为：②③④
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）联立直线方程，即可求解；
（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；
（3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；
【小问1详解】
联立，解得，
故交点坐标为；
【小问2详解】
直线的方程可化为：
所以
因为所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为
所以所求直线方程为
故所求直线方程为；
【小问3详解】
由（II）知
因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为
所以所求直线方程为
故所求直线方程为．
18. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据圆的标准方程定义可得解；
（2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.
【小问1详解】
因为圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
圆心到直线的距离，
，
.
19. 【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【分析】（1）根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；
（2）首先建立空间直角坐标系，由（1）可知向量是平面的法向量，利用向量法求线面角的大小；
（3）根据（2）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.
【小问1详解】
因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，
因为，且点是的中点，所以，
且，平面，
所以平面；
【小问2详解】
以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
，，
由（1）可知，向量是平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
所以,则，
所以直线与平面所成角的大小为；
【小问3详解】
因为，则，
由（2）可知，直线与平面所成角的大小为，
所以点到平面的距离为.
20. 【答案】（1）见解析 （2）
（3）相交，
【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；
（3）利用平面的性质，即可判断直线与平面的位置关系，并利用图形求解.
【小问1详解】
连结交于点，连结，
因为点分别是的中点，所以，
且平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为，，
所以，且平面，
所以如图，以点为原点，以向量为轴的方向向量建立空间直角坐标系，
，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以平面的法向量为，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为；
【小问3详解】
如图，延长交于点，连结并延长，交的延长线于点，
因为点是的中点，所以，
所以，即，
则
21. 【答案】（1）圆心为，半径为
（2）或
【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；
（2）推出直线即为的垂直平分线，过圆心，从而得到，直线的斜率为，再结合图形，得到当过点和过原点时，满足要求，得到答案.
【小问1详解】
变形为，
故圆的圆心为，半径为；
【小问2详解】
由垂径定理可知，线段的垂直平分线一定过圆心，
又A，B关于直线对称，故直线即为的垂直平分线，
所以直线过点，将其代入中得，，
解得，
故直线的斜率为，
又以线段为直径的圆经过原点，圆也经过原点，
故当过点时满足要求，此时直线的方程为，
即，
当当过原点时，也满足要求，此时直线的方程为，
即，
综上，直线的方程为或.