北京市第五十五中学2023-2024学年高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023北京五十五中高二（上）期中
数 学
本试卷共4页，共150分，调研时长100分钟
第一部分（选择题 共50分）
一.选择题：
1. 已知直线的倾斜角为（ ）度
A. 45 B. 135 C. 60 D. 90
2. 已知向量，，且，那么实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 在两个袋中都装有写着数字0，1，2，3，4，5的六张卡片，若从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和大于7的概率为（　　）
A. B.
C. D.
4. 在数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. 1 D.
5. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）.
顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上
手机支付人数 3 12 14 13 27 9 0
其他支付方式人数 0 0 2 9 5 5 1
A. B. C. D.
7. 圆上的点到直线距离的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
8. 已知是双曲线上一点，为左、右焦点，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 设点M为抛物线上的动点，点M在y轴上的投影为点N，点，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A. 的最小值为2
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题：
11. 两条直线与之间的距离是______.
12. 已知空间向量，，若，则实数_____．
13. 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．
14. 若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为________．
15. 等差数列中，若，则通项________.
16. 已知点是曲线（其中a，b为常数）上的一点，设M，N是直线上任意两个不同的点，且.则下列结论正确的是______.
①当时，方程表示椭圆；
②当时，方程表示双曲线；
③当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有6个；
④当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有8个.
三、解答题：
17. 等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式，并计算；
（2）若，求；
（3）若取到最小值，求.
18. 在四棱锥中，底面是正方形，为棱的中点，，且，请求解下列问题.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
19. 已知圆的方程为，直线过点.
（1）求过点P且与圆相切的直线的方程；
（2）从下列两个条件中任选一个补充在问题中并作答：
若圆与直线交于，两点，______，求直线的方程；
条件①：；条件②：是等腰直角三角形.
（3）若圆与直线交于，两点，求面积的最大值.
20. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过点斜率为的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
21. 对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有：
（i ）；
（ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.
（1）设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数；
（2）设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值；
（3）设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值.
参考答案
一.选择题：
1. 【答案】A
【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，再求出倾斜角作答.
【详解】直线的斜率为1，所以直线的倾斜角为45度.
故选：A
2. 【答案】B
【分析】根据平行关系可知，由向量坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】，，，解得：.
故选：B.
3. 【答案】D
【分析】先求样本空间，然后列举出所有数字之和大于7的样本点，由古典概型概率公式可得.
【详解】记从两个袋中取出的卡片上数字分别为x，y，
则样本空间，．
其中和等于8的有，共3个；和等于9的有，共2个；和等于10的有，只有1个．
故取出的两张卡片上数字之和大于7的概率为.
故选：D
4. 【答案】A
【分析】由依次算出、、即可.
【详解】因为，，所以，，
故选：A
【点睛】本题考查的是根据数列的递推公式计算数列的前几项，较简单.
5. 【答案】C
【分析】根据双曲线焦点坐标公式求解即可
【详解】双曲线的焦点在轴上，坐标为，即
故选：C
6. 【答案】D
【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用手机支付的概率.
【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），
所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：D.
7. 【答案】A
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心和半径，利用点到直线的距离公式及圆上的点到直线距离的最值问题即可求解.
【详解】圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即，
故选：A..
8. 【答案】B
【分析】化简得到或，故当时，或；当时，，得到答案.
【详解】是双曲线上一点，为左、右焦点，且，
则或，
当时，或；当时，.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：.
【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
9. 【答案】A
【分析】过点作的垂线，垂足为，延长交抛物线的准线与点，利用抛物线的定义，结合，即可求解.
【详解】由抛物线方程，可得其准线方程为，焦点坐标为，
过点作的垂线，垂足为，延长交抛物线的准线与点，
则，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
10. 【答案】ABD
【分析】由公垂线的性质判断A；由线面平行的性质判断B；举反例判断C；设，，由等边三角形三边相等，判断D．
【详解】对于A：
因为是正方体，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以，，即是与的公垂线段，
因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，
所以当分别与重合时，最短为2，故A正确；
对于B：
因为是正方体，
所以平面平面，且平面，
所以平面，
可知，当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，
由可知，当点在上运动时，到的距离不变，
所以的面积不变，
所以，所以B正确；
对于C：
当分别与重合时，；
当为中点，与重合时，，所以错误；
对于D：如图以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
，
，
，
因为为等边三角形，
由，
得，得，即，
由，得，
则，即，解得或，
即或，故D正确；
故选：ABD．
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题：
11. 【答案】
【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果.
【详解】由平行直线间距离公式可得：之间的距离.
故答案为：.
12. 【答案】1
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：1
13. 【答案】
【分析】根据椭圆的性质可知，点到焦点距离的最大值为，最小值为，代入条件即可求解.
【详解】依题意，由图象的性质可知，
点到焦点距离的最大值为，最小值为，
所以，化简得，即离心率，
故答案为：.
14. 【答案】
【分析】根据双曲线的焦距等于实轴长的倍，得到a，c的关系，再由求解.
【详解】因为双曲线的焦距等于实轴长的倍，
所以，即，
又因为 ，
所以C的渐近线方程为
故答案为：
15. 【答案】
【分析】当时，，当时，根据，即可求得，综合即可得答案.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
又，满足上式，所以，
故答案为：
16. 【答案】②③④
【分析】对①②，根据方程表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断；
对③④，求出点P到直线的距离d的取值范围，对点P是否为直角顶点进行分类讨论，确定d，t的等量关系，综合可得出结论.
【详解】方程中当时可表示圆，当时，表示双曲线，故①错误，②正确；
在③④中：椭圆方程为，椭圆与直线均关于原点对称，
设点，则点到直线的距离为
对③：时，
(1)若为直角顶点，如图1，则，，满足为等腰直角三角形的点有四个，
图1
(2)若不是直角顶点，如图2，则，，满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个，
图2
故时，使得是等腰直角三角形的点有6个，③正确；
对④：时，
(1)若为直角顶点，如图1,则，，满足为等腰直角三角形的点有四个..
(2)若不是直角顶点，如图3,则，，满足是等腰直角三角形的非直角顶点有四个，
图3
故时，使得是等腰直角三角形的点有8个，④正确；
故答案为：②③④.
【点睛】椭圆的参数方程是，对于有关椭圆上点的横纵坐标问题的题目可以转化为三角函数问题求解，比如求的最大值，求点到直线的距离范围等问题都可以使用椭圆的参数方程来解决.
三、解答题：
17. 【答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程，解方程得到，然后写通项即可；
（2）根据等差数列求和公式的基本量计算列式求解即可；
（3）借助二次函数的性质求最值即可.
【小问1详解】
设的公差为，则，解得，
所以，；
【小问2详解】
由（1）知，，得，
所以，即，解得（负值舍去），故；
【小问3详解】
由（2）知，，
所以当时，取得最小值.
18. 【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量中夹角的计算公式即可求解；
（3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案.
【小问1详解】
因为，，，平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为底面为正方形，平面，
所以，，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系，
因为，所以，
可得，.
因为平面，所以为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，则，
令，则，则，
设平面与平面的夹角为，所以.
即平面与平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
由（2）知，平面的法向量为，，
所以点到平面的距离为.
19. 【答案】（1）或
（2）若选条件①，直线的方程为或
若选条件②，直线的方程为或
（3）面积的最大值为
【分析】（1）由圆心到直线距离等于半径，求圆的切线方程；
（2）通过已知条件，由圆心到直线的距离解出直线斜率，得到直线方程.
（3）圆心到直线的距离，的面积表示为的函数，利用基本不等式求面积的最大值.
【小问1详解】
圆：，圆心为，半径，
直线过点，当直线斜率不存在，直线方程为，满足与圆相切；
当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，即，
由直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，
此时直线方程为，即.
所以过点P且与圆相切的直线的方程为或.
【小问2详解】
圆与直线交于，两点，由（1）可知直线斜率存在，
设直线方程为，的中点为，则，
若选条件①：， 则，
则圆心到直线的距离，解得或，
所以直线的方程为或.
若选条件②：是等腰直角三角形，则，
则圆心到直线的距离，解得或，
所以直线的方程为或.
【小问3详解】
圆心到直线的距离，依题意，
的面积为，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
20. 【答案】（1）；（2），证明详见解析.
【分析】（1）由条件列式，利用待定系数法求解椭圆方程；（2）首先直线方程与椭圆方程联立，得根与系数的关系，将条件转化为，代入坐标，利用根与系数的关系化简求定点.
【详解】（1）由条件可知 ，解得：，，
所以椭圆的方程是；
（2）设直线，，，，
联立 ，得，
，，
，，
即
，
即，
，得，
即存在定点.
【点睛】思路点睛：定点问题解决步骤：
（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；
（2）韦达定理列出两根和及两根积；
（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；
（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.
21. 【答案】（1）30；2是数列的4阶系数．
（2）26 （3）26
【分析】（1）根据阶系数的定义进行判断；
（2）根据4阶系数的定义列出相应的等量关系，进行求解；
（3）根据阶系数的定义建立方程，构造函数，根据函数性质得到不等式组，进行求解．
【小问1详解】
因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且，
得．
数列通项公式为，所以当时，
,
所以2是数列的4阶系数．
【小问2详解】
因为数列的阶系数为3，所以当时，存在，使成立．
设等差数列的前项和为，则,
令，则,
所以，,
设等差数列的前项和为，，
则,
令，则,
所以，
当时，，
当时，，
则，解得．
【小问3详解】
设数列为等差数列，满足，2均为数列的阶系数，，
则存在，使
成立．
设数列的公差为，构造函数．
由已知得
，
所以，函数至少有三个零点，，，
由函数可知为偶数，且满足，
得，
所以，解得，
构造等差数列为：，，，，38，
可知当时命题成立，即的最大值为26．
【点睛】本题主要考查数列的综合运用，根据阶系数的定义建立方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．