2023北京昌平一中高二（上）期中数学（含解析）

2023北京昌平一中高二（上）期中
数 学
考场号： 座位号： 姓名：
本试卷共3页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离
3. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于
A. B. C. D.
4. 若直线与圆 相切，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面平面，．下列结论中正确的是（ ）
A. 若直线平面，则 B. 若平面平面，则
C. 若直线直线，则 D. 若平面直线，则
6. “”是“直线与直线平行”的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知直线， 则下述论断正确的是（ ）
A. 直线不可能经过坐标原点 B. 直线的斜率可能为0
C. 直线的倾斜角不可能是 D. 直线恒过定点
8. 在正三棱锥中，，，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
9. 若圆上存在点， 直线上存在点，使得 则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 棱长为1的正方体 中，若点P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是（ ）
A. 平面平面 B. 四面体的体积是定值
C. 可能是钝角三角形 D. 直线与所成的角可能为
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 设平面的法向量分别为 若 则 ________.
12. 在空间直角坐标系中，已知点，则直线与所成角的大小是___．
13. 设直线过点，其倾斜角的余弦值为，则直线的方程为________________.
14. 在空间直角坐标系中，若点，且，则的值为__________.
15. 在平行六面体中，所有棱长均为1，且， 则线段的长度为____________
16. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线G：就是其中之一．给出下列四个结论：
①曲线G 有且仅有四条对称轴；
②曲线G上任意两点之间的距离的最大值为6；
③曲线G恰好经过9个整点(即横坐标、纵坐标均为整数的点)；
④曲线G所围成的区域的面积为．
其中，所有正确结论的序号是_____________．
三、解答题共5小题，每小题14分，共70分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知的三个顶点分别是.
（1）求边AB所在直线的方程，以及这条边上的高所在直线的方程；
（2）求的面积.
18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件① 条件② 条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；条件②：；条件③：平面平面.
19. 已知圆 内有一点，过点P作直线交圆于两点.
（1）当直线经过圆心时，求直线的方程；
（2）当点平分弦时，求直线的方程；
（3）当弦长时，求直线的方程.
20. 如图， 平面，.
（1）求证:平面;
（2）求二面角的余弦值;
（3）若点到平面的距离为 求三棱锥的体积.
21. 在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 .
（1）填空：(直接写出结论)
①若， 则 ；
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ；
③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ；
（2）设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标；
（3）对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件：
①；
②
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】B
【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角
【详解】解：设直线的倾斜角为，
由直线可知其斜率为，
所以，
因为，
所以，
故选：B
【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题.
2. 【答案】A
【分析】根据给定条件，求出两圆圆心、半径及圆心距，再判断两圆位置即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
显然，
所以圆与圆相交.
故选：A
3. 【答案】B
【详解】＝－＝ (＋)－＝ (b＋c)－a＝－a＋b＋c.
4. 【答案】C
【分析】直线与圆相切，则有圆心到直线距离等于半径，列方程求实数的值.
【详解】圆 圆心坐标为，半径为1，
直线与圆 相切，则有圆心到直线距离等于半径，
即，解得.
故选：C
5. 【答案】D
【分析】
A，利用线面平行的判定定理；B，面面垂直没有传递性；C，利用面面垂直的性质定理；D，利用面面垂直的判定定理；
【详解】A，若，，则或，故A错误；
B，若，，则或与相交，故B错误；
C，若，，，必须，利用面面垂直的性质定理可知，故C错误；
D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线，平面直线的位置关系的判断，熟练掌握平行和垂直位置关系的判定和性质是解题的关键，属于基础题.
6. 【答案】C
【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项.
解：当m=2时，直线2x+3y+4=0和2x+3y-6=0平行，
当直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y-6=0平行时，6-m（m+1）=0，
整理得m2+m-6=0，
解得m=2或-3，
当m=-3时，两直线重合，故舍去；
故“m=2”是“直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y-6=0平行”充分必要条件．
故选：C．
7. 【答案】D
【分析】当时，经过坐标原点；若，由斜率判断B；当，斜率不存在，从而判断C；将点代入直线方程判断D.
【详解】当时，经过坐标原点，故A错误；
若，直线的斜率存在，且斜率，不可能为0，故B错误；
若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角是，故C错误；
将点代入直线方程得：，即直线恒过定点，故D正确；
故选：D
8. 【答案】A
【分析】
根据正三棱锥的特点可知，点在底面的投影为底面的中心，所以与的夹角即为与平面的夹角，然后通过题目所给的棱长，解三角形求解即可.
【详解】如图，过点作平面，则点为正三角形的中心，连接并延长，交于点，则点为的中点.
根据直线与平面夹角的概念可知与平面的夹角的平面角为，
因为，则，所以，
又因为，所以，故角.
故选：A.
【点睛】利用定义法求解直线与平面间的夹角问题时，要注意找到斜线在面内的投影，斜线与斜线在平面内投影的夹角即为线面夹角.
9. 【答案】C
【分析】由判断出直线和圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由于，即是圆的直径，因此直线和圆有公共点，
于是圆心到直线的距离，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
10. 【答案】D
【分析】通过线面垂直证明面面垂直判断选项A；利用等体积法，由底面积和高都为定值，得四面体体积为定值，判断选项B；利用余弦定理得到可能为钝角，判断选项C；利用线线角的范围判断选项D.
【详解】在正方体中，为线段上的动点（不含端点），
，，，，平面，平面，
平面，平面平面，故A正确；
连接，
因为，平面，平面，所以平面，
因此四面体的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，
所以四面体的体积是定值，故B正确；
因为正方体的棱长为1，所以，
若是上靠近的一个四等分点，则，
所以，
此时，
因为，此时为钝角，是钝角三角形，故C正确；
过点作，交于，
正方体中平面，则平面，
平面，，直线与所成的角为，
设，则，有，，
中，，
而，故D错误.
故选：D.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 【答案】
【分析】由面面平行得到法向量共线，再利用向量的共线定理即可解决.
【详解】因为所以，可得
又
可得，则.
故答案为：.
12. 【答案】
【分析】
利用空间向量求夹角公式直接求解.
【详解】
又空间中两直线夹角范围为，故
所以直线与所成角的大小是
故答案为：
13. 【答案】
【分析】根据三角函数同角的三角函数关系求得直线的斜率，根据直线过的点可得直线点斜式方程，化为一般式，即得答案.
【详解】设直线l的倾斜角为，
则，
即直线的斜率为，
由直线过点，得直线方程为，即，
故答案为：
14. 【答案】
【分析】先利用空间向量的线性运算求出点的坐标，然后利用向量模的计算公式即可求出结果.
【详解】设点，因为，，
所以，
则，解得，即，
又，所以，所以.
故答案为：.
15. 【答案】
【分析】利用，然后平方转化为向量的数量积计算；
【详解】
.
∴.
故答案为：
16. 【答案】①③④
【分析】先根据题意画出曲线G，根据圆的性质可得曲线G 有且仅有轴，轴，直线，直线四条对称轴，进而即可判断①；由图象可知当曲线G上的两点在直线，直线上时，其之间的距离的最大值，进而即可可判断②；分别令，，，可得到9个整点的坐标，再进而说明当时，不存在这样的点，即可判断③；根据图象可得曲线G由四个半径为的半圆所围成的区域，再根据即可判断④正确．
【详解】由，
当，时，，
则其图象为以为圆心，为半径在第一象限的半圆弧及点，，；
当，时，，
则其图象为以为圆心，为半径在第二象限的半圆弧及点；
当，时，，
则其图象为以为圆心，为半径在第三象限的半圆弧；
当，时，，
则其图象为以为圆心，为半径在第四象限的半圆弧及点；
则曲线G如下图，
对于①，根据圆的性质可得曲线G 有且仅有轴，轴，直线，直线四条对称轴，故①正确；
对于②，由图象可知当曲线G上的两点在直线，直线上时，
其之间的距离的最大值，且最大值为，故②错误；
对于③，
令，则，解得或，可得点，，；
令，则，显然无整数解；
令，则，解得或，可得点，，，，，；
令，，显然不成立，
所以曲线G恰好经过9个整点，故③正确；
对于④，根据图象可得曲线G由四个半径为的半圆所围成的区域，
所以其面积为，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将曲线G：分四种情况：①，；②，；③，；④，，再画出图象即可求解．
三、解答题共5小题，每小题14分，共70分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 【答案】（1），；
（2）.
【分析】（1）求出直线的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线及边上的高所在直线的方程.
（2）求出，并利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.
【小问1详解】
依题意，直线的斜率为，
所以边所在直线的方程为，即，
边上的高所在直线的斜率为1，方程为，即.
【小问2详解】
由两点间的距离公式得，
点到直线的距离，
所以的面积为.
18. 【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）.
【分析】选择①②：（1）根据勾股定理可得，再由，利用线面垂直的判定定理可得平面；选择①③：（1）根据勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据
【详解】解：选择①②：
（1）因为，，，
所以.
又因为，，
所以平面.
选择①③：（1）因为，，，
所以.
又因为平面平面，
平面平面，
所以平面.
（2）由（1）知，.
因为四边形是正方形，所以.
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
，，.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，所以.
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】思路点睛：
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
19. 【答案】（1）
（2）
（3）或
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；
（3）根据题意，先利用弦长和半径求出圆心到直线的距离，再对斜率进行分类假设直线方程，求圆心到直线的距离，从而得直线方程.
【小问1详解】
圆心，则直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即.
【小问2详解】
当弦AB被点P平分时，，则直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即．
【小问3详解】
圆C的半径，设圆心到l的距离d，则弦长，解得.
当直线l斜率不存在时，则直线l的方程为，，满足条件.
当直线l斜率存在时，设斜率为，则直线l的方程为，整理得，
，整理得，解得，
故直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程为或.
20. 【答案】（1）详见解析；
（2）
（3）
【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面ADE，平面ADE，再利用面面平行的判定定理和性质定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面BDE的一个法向量为，易知平面BDC的一个法向量为，由求解；
（3）设，求得平面BDF的一个法向量为，由点E平面BDF的距离为，求得h，再由等体积法求解.
【小问1详解】
证明：因为平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE，同理可证平面ADE，
又，所以平面平面ADE，又平面BCF，
所以平面；
【小问2详解】
建立如图所示空间直角坐标系：
则，所以，
设平面BDE的一个法向量为，则，即，
令，则，所以，易知平面BDC的一个法向量为，
则，
易知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为
【小问3详解】
设，则，设平面BDF的一个法向量为，
则，即，令，则，所以，
则点E到平面BDF的距离为，即 ，解得 ，
所以.
21. 【答案】（1） 5；；6
（2）最小值为，点B的坐标为
（3）
【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设是轨迹上任意一点，根据定义列出式子，化简即可得出答案；③根据定义，化简得出.分情况去绝对值，作出函数的图象，进而得出答案；
（2）设，则，得出.然后分情况讨论去掉绝对值，得出表达式，进而逐段求解，即可得出最小值；
（3）分当，时，当，时，当，时等情况，分别讨论得出满足条件的点，即可得出答案.
【小问1详解】
①根据定义可得，；
②设是轨迹上任意一点，
由已知可得，
根据定义可得，.
所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是；
③设曲线G上任意一点，
由已知可得，，
所以有，
整理可得，.
（ⅰ）当时，该式可化为，
即.
当且时，为；
当且时，为；
（ⅱ）当时，该式可化为，
整理可得，即；
（ⅲ）当时，该式可化为，
整理可得.
当且时，为；
当且时，为；
作出曲线满足的图象
所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为.
故答案为：5；；6.
【小问2详解】
设，则，所以，
所以，.
当时，有；
当时，有；
当时，有.
综上所述，当时，有最小值，此时.
所以，的最小值为，取得最小值时点B的坐标为.
【小问3详解】
（ⅰ）当，时，
由条件②可得，，
即有.
因为，所以.
由条件①可得，，
所以有.
又，
所以有，所以.
因此，所求的点为；
（ⅱ）当，时，
由（ⅰ）同理可得，所求的点为；
（ⅲ）当，时，不妨设.
①若，
，，，
所以，.
当且仅当与同时成立，
所以有，且，
从而由条件②可得，，
此时所求的点的全体为；
②若，
由条件①可得，，且，
从而由条件②可得，，
此时所求的点的全体为.
综上所述，所有符合条件的点的集合为.
【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后，根据未知量的范围，分类讨论，去掉绝对值，化简求解.