北京市第十五中学2023-2024学年高二（上）期中数学试卷（含答案）

2023北京十五中高二（上）期中
数 学
2023.11
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间为120分钟。请将答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷 （选择题，共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；每小题只有一个选项是正确的；
请将答案填涂在答题纸上)
1．已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为（ ）
A．－2 B．3 C． 2 D．不存在
2．直线l经过点P(1，1)，且与直线平行，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
4．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．(0，3)，(0，－3) B．(4，0)，(－4，0)
C．(0，5)，(0，－5) D．(0，4)，(0，－4)
5．若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．0
6．焦点在 y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆经过三点，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
9．已知直线与曲线有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
①存在点Q，使得 ②不存在点Q，使得平面
③三棱锥的体积是定值 ④不存在点Q，使得PQ与AD所成角为60°
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分；请将答案填入答题纸的指定位置)
11．以(－1，2)为圆心且与x轴相切的圆的方程为_______________．
12．直线与圆交于A，B两点，则_________．
13．若直线与直线平行，则a=_________．
14．已知点A(2，0)，B(－2，0)，点P在直线上，则最小值等于__．
15．已知椭圆的两个焦点分别为，，过椭圆上顶点A与左焦点的直线与椭圆的另一个交点为B，若是直角，则椭圆的离心率是________．
三、解答题(本大题共5小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；请将答案写在答题纸的指定位置上)
16．(本小题14分)
已知三角形的顶点为.
（Ⅰ）求边上的中线所在直线方程；
（Ⅱ）求边上的高线所在直线方程.
17．(本小题14分)
已知直线经过点，圆.
（Ⅰ）若圆关于直线对称，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程.
8． (本小题15分)
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，的中点为，平面.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
19． (本小题16分)
如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，E、F分别为棱PD，PB的中点，平面PAD与平面PBC的交线是l．
（Ⅰ）求证：∥直线；
（Ⅱ）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
20．(本小题16分)
已知点P(1，3)，圆．
（Ⅰ）求圆C过点P的切线方程；
（Ⅱ）为圆与轴正半轴的交点，过点作直线l与圆交于两点，设，的斜率分别为，求证：为定值．
参考答案
第Ⅰ卷 （选择题，共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；每小题只有一个选项是正确的；
请将答案填涂在答题纸上)
1．（ A ）
2．（ C ）
3．（ B ）
4．（ D ）
5．（ C ）
6．（ D ）
7．（ B ）
8．（ D ）
9．（ A ）
10．（ A ）
第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分；请将答案填入答题纸的指定位置)
11．
(或写成 )
12．
13．－2
14． 8
15．
三、解答题(本大题共5小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；请将答案写在答题纸的指定位置上)
16．解：（Ⅰ）BC的中点坐标为，................................................3分
因为，则边BC上的中线所在直线的方程为；..................................6分
（Ⅱ）边BC的斜率为，................................................................................8分
则其上的高的斜率为，........................................................................................10分
又因为直线过，
则边BC上的高所在直线的方程为，............................................12分
即.............................................................................................................14分
(直线方程也可以写成斜截式：)
17．解：（Ⅰ）由..........................................2分
可得圆心，半径，
因为圆关于直线l对称，所以直线l过圆心，.............................................3分
又直线l过点，所以直线l斜率为，..........................................5分
由点斜式方程可得，即.................................................7分
(直线方程也可以写成斜截式：)
（Ⅱ）由题意知，直线l斜率为，则由点斜式方程可得，
即，..........................................................................................................9分
因为直线l与直线关于点对称，所以，....................................10分
又因为点关于点对称的点，直线过点，..........................12分
(也可以用直线l上其他的点求其对称点)
则由点斜式方程可得，即.............................................14分
(直线方程也可以写成斜截式：)
18．解：（Ⅰ）四边形为正方形，则，...................................................1分
因为平面，所以，.......................................................................2分
因为，；.......................................................................................................3分
所以平面；......................................................................................................4分
（Ⅱ）如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，.......................................6分
则，........................7分
，，
设面的一个法向量为，
则，令，则，..........................................9分
设直线与平面所成角为，
，.....................................................................11分
，因此直线与平面所成角的正弦值为...............................12分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.....................................................................................13分
设点到平面的距离为，
所以....................................................................................................15分
19．解：（Ⅰ）因为//，平面，平面，
所以//平面，............................................................................................................2分
又因为平面，平面平面直线l，.........................................3分
所以∥......................................................................................................................4分
（Ⅱ）取的中点，连接，
由题意可得：//，且，
则为平行四边形，可得//，
且平面PAD，则平面PAD，
由平面PAD，则，
又因为△PAD为等边三角形，则为的中点，可得，
，平面，则平面，....................................6分
如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，............7分
则，
可得，...........................................................................8分
设平面的法向量，则，
令，则，即，.........................................................10分
由题意可知：平面PAD的法向量，.............................................................11分
可得，
所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值...............................................12分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：，.....................................................................13分
设，，则，
可得，解得，
即，可得，..........................................15分
若∥平面AEF，则，可得，解得，
所以存在点，使得∥平面AEF，此时...................................................16分
20．解：（Ⅰ）圆，圆心为，半径为，
当直线l斜率不存在时，直线l与圆C相切；此时方程为..................................2分
当直线l斜率存在时，设斜率为k，
则直线l方程为，即，..................................................3分
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离与圆的半径相等，
即，得，.................................................................................................5分
此时，切线方程为，.................................................................................6分
综上，切线方程为或.........................................................................7分
（Ⅱ）由题意知，过点的直线l斜率存在，
故可设方程为，即，
设，且，
由题意的斜率，的斜率，...................................................9分
则......................11分
联立，整理得,................................13分
则，即.
由韦达定理知，，.....................................................14分
则，
，
故，
故为定值．............................................................................................................16分