北京市第三十五中学2023-2024学年高二（上）期中数学试卷（含答案）

2023北京三十五中高二（上）期中
数 学
2023.11
行政班 教学班 姓名 学号
试卷说明：试卷分值 150 ，考试时间 120分钟.
I卷
一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分。每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）
1．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．若，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
3．圆的半径为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
4．椭圆的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．正方体的棱长为，则棱到面的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 直线截圆得到的弦长为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知平面，直线，如果，且，，，则 是的（ ）
充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 圆与直线的位置关系为（ ） A．相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交
已知圆的方程为，圆的方程为. 如果这两个圆 有且只有一个公共点，那么的所有取值构成的集合是（ ） A． B． C． D．
10. 在空间直角坐标系中，已知，，其中， 则的最大值为（ ）
A. 3 B. C. D. 4
II卷
二．填空题（共5个小题，每题5分，共25分，请将正确答案填在答题卡相应的题号处.）
11. 已知两条直线和互相垂直，则等于__________.
12. 已知正三角形的边长为4，则以点为焦点，经过点的椭圆标准方程为________________.
13. 点关于直线的对称点为，则点的坐标为__________.
14. 已知，，若，则的取值范围是__________.
15. 已知曲线，下列说法正确的有__________.
① 曲线关于轴对称；
② 存在，使得曲线与坐标轴的交点个数为3；
③ 曲线围成的区域面积是关于的增函数；
④ 当时，直线与曲线有且仅有2个交点.
三．解答题（共6个小题，共85分，请将详细解答过程写在答题卡相应的位置.）
16. 已知两定点M(1,3)、N(3,1)，动点P满足条件_____________，求动点P的轨迹方程.请从下列条件中任选一个补充到横线上，并在此条件下完成题目.
条件①：直线PM与直线PN垂直；
条件②：点P到M、N两点距离平方之和为20；
条件③：直线PM与直线PN斜率之积为4.
（注：如果选择的条件不符合要求，计0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分）
17. 在平面直角坐标系中，已知，线段的中点为.
（Ⅰ）求过点与直线平行的直线方程；
（Ⅱ）求△的面积.
18. 如图，四边形为正方形，，，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程；
（Ⅲ）直线经过点，且与圆相切，求直线的方程.
20. 如图：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=，∠ACB=90°，M是AA1的中点，N是BC1的中点.
（Ⅰ）求证：MN∥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求：二面角B-C1M-A1的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由.
21. 对任意正整数，记集合， .
，， 若对任意都有，则记．
（Ⅰ）写出集合和；
（Ⅱ）证明：对任意，存在，使得；
（Ⅲ）设集合．求证：中的元素个数是完全平方数．
参考答案
I卷
一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分。每小题只有一个正确选项）
1-5．DAABC 6-10. BBDCD
II卷
二．填空题（共5个小题，每题5分，共25分，请将正确答案填在答题卡相应的题号处.）
11. -1 12. 或 13. (-3, -4)
14. [-4, -1] 15. ①③④
三．解答题（共6个小题，共85分，请将详细解答过程写在答题卡相应的位置.）
16．(10分)
解1 选择条件①
设点P的坐标为（x，y）
∵直线PM与直线PN垂直
法一：当时， 则
即
化简得
当时，此时易知，点P的坐标为（1，1），满足上述方程
当时，此时易知，点P的坐标为（3，3），满足上述方程
经检验：点P的轨迹方程为（M，N除外）
法二：，，
则
化简得
解2 选择条件②
设点P的坐标为（x，y）
∵P到两定点的距离平方和为20
∴PM +PN =20 即
化简得
经检验所求轨迹方程为
解3 选择条件③
设点P的坐标为（x，y）
∵直线PM与直线PN斜率之积为4
∴ 则
即
化简得
经检验所求轨迹方程为
17．(13分)
（Ⅰ）∵，
∴的中点坐标，又直线的斜率，
∴过点和直线平行的直线方程为，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的斜率，
直线的方程为，即，
∴点A到直线的距离，
又B、C两点间距离，
∴的面积
18. (14分)
证明：（Ⅰ）∵ ，//，∴，
∵，，
∴平面.
（Ⅱ）∵平面，
平面，平面，
∴，.
∵四边形为正方形，
∴.
∴BA、BC、BP两两垂直
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
， ，
设平面的法向量为，
则 即
令，则，.于是.
平面的法向量为
设直线与平面所成的角为，
∴.
∴直线与平面所成角的正弦值为
19. (14分)
（Ⅰ）设圆的圆心坐标为，
依题意，有，
即，解得，
所以圆的方程为.
（Ⅱ）依题意，圆的圆心到直线的距离为，
设直线方程为，
即，则，解得，
∴直线的方程为或.
（Ⅲ）圆心 (2，0) 半径r=2
∵直线过点与圆相切
当直线斜率不存在时，即直线x=4，则圆心到直线的距离d=2=r
此时直线与圆相切，符合题意
当直线斜率存在时，设直线：即
则圆心到直线的距离
解得，
∴直线的方程为.
综上，直线的方程为或
20. (20分)
证明：（Ⅰ）取B1C1中点D，连接DN、DA1
∵D、N分别为C1B1、C1B ∴DN//B1B且DN=1/2B1B
∵B1BA1A且M为A1A中点 ∴DNA1M
∴四边形DNMA1为平行四边形
∴MN// A1 D
∵A1 D平面A1 B1 C1 MN平面A1 B1 C1
∴MN//平面A1 B1 C1
（Ⅱ）∵直三棱柱ABC- A1 B1 C1 ∴CC1⊥平面ABC 又CB、CA平面ABC
∴CC1⊥CB、 CC1⊥CA
∵∠ACB=90° 即CB⊥CA
∴CC1、CB、CA两两垂直，如图建立空间直角坐标系
则C(0,0,0) B(2,0,0) A(0,2,0) A1() C1()
∴M() N()
则
易知平面A1C1M的法向量为
设平面BC1M的法向量为
则 即
令 则
设二面角B-C1M- A1的平面角为
则
由图知为钝角 ∴
（Ⅲ）设，
∵
∴
∴
设平面MBC的法向量为
则 即
令 则
∴P点到平面MBC的距离为
解得 又 ∴
21. (14分)
（Ⅰ），
（Ⅱ）任取，令，则，同时且，则，所以对任意，存在，使得；
（Ⅲ）设方程：①，②
是方程①的解，是方程②的解；
若，，，
即是一个满足条件的解对，
令，则，则是方程①的解，
即当是满足条件的解对时，是方程①的一对解对；
反之是方程①的解时，
令，则是满足条件的解对.
即满足条件的解对与方程①的两解组成对
是一一对应的关系.
所以满足条件解对个数，即中的元素个数是完全平方数．