2023北京一六六中高二3月月考数学（含解析）

2023北京一六六中高二3月月考
数 学
（时长：120分钟）
考查目标
知识： 1、集合的运算；2、复数的概念；3、等差等比数列的概念和性质及其应用 4、立体几何和空间向量；5、概率统计及其应用；6解三角形 能力： 1、推理论证能力；2、运算求解能力；3、数据处理能力； 4、空间想象能力；5、数学建模能力
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. ， C. ，1， D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（ ）
A. 78 B. 24 C. 21 D. 18
6. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲 乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在数列中，，若为等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
9. 6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，如果不放回地依次抽取2道题目，则在第1次抽到理科题目的条件下，第2次抽到理科题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 展开式中项的系数是（ ）
A. B. C. D.
11. 某射手射击所得环数的分布列下表：已知的数学期望，则的值为（ ）
7 8 9 10
0.1 0.3
A. B. C. D.
12. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
13. 在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（，单位：m）与制动距离（，单位：m）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度（单位：km/h）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述，与的函数关系的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
14. 2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金山银山”这一科学论新．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）（其中，，）
A. 2559万元 B. 2969万元 C. 3005万元 D. 3040万元
15. 某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25]
男性人数 15 22 14 9
女性人数 5 11 17 7
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
16. 函数的定义域为______________．
17. 的展开式中，各项系数之和为1，则实数_______．（用数字填写答案）
18. 记为等差数列的前n项和．若，则__________．
19. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的是______.
① ②
③ ④
20. 设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是______.
①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则
③若数列对任意的，恒成立，则
④若对任意的，均有，则恒成立
三、解答题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
21. 在锐角中，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求.
22. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，并求直线与平面所成的角的正弦值.
条件①：；条件②：；
23. 非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求a的值；
（2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）
24. 已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
25. 对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列．
（1）首项为1，公比为的等比数列是否为数列？请说明理由；
（2）设是数列的前项和，若数列是数列，那么数列是否为数列？若是，请说明理由；若不是，请举出一个例子；
（3）若数列，都是数列，求证：数列是数列．
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由集合交集的定义，分析两个集合的公共元素可得答案.
【详解】解：根据题意，集合，，
则,，
故选：B.
2. 【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为复数对应的点的坐标为，则
所以
故选:A
3. 【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 【答案】B
【解析】
【分析】根据反例或基本初等函数的性质可得正确的选项.
【详解】对于A，设，则，
故在定义域内不是减函数，故A错误.
对于B，设，其定义域为且，
故为奇函数，而为上的增函数，
故为上的减函数，故B正确.
对于C，设，因为，故在定义域内不是减函数，故C错误.
对于D， 的定义域为，故该函数不是奇函数，故D错误.
故选：B.
5. 【答案】D
【解析】
【分析】根据由题意得多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，得到多人多足有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车、安排在剩下的3个位置即可.
【详解】解：由题意得多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，
则多人多足有3种安排方法，
将踢毽、跳绳、推火车、安排在剩下的3个位置，有种安排方法，
所以共有种安排方法，
故选：D
6. 【答案】D
【解析】
【分析】根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小
【详解】解：由题意
由频率分布直方图得：
甲地区：
的频率为，
的频率为
∴甲地区用户满意度评分的中位数
乙地区：
的频率为，
的频率为
∴甲地区用户满意度评分的中位数
∴
由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，
∴
故选：D.
7. 【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
8. 【答案】A
【解析】
【分析】利用等差中项求解即可．
【详解】解：由为等差数列得，解得.
故选：A
9. 【答案】B
【解析】
【分析】设第一次抽到理科题目为事件A，第二次抽到理科题目为事件B，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，不放回地抽取两次，
设第一次抽到理科题目为事件A，第二次抽到理科题目为事件B，
则，，所以.
故选：B
10. 【答案】C
【解析】
【分析】先确定的展开式的通项，再判断项的组成，即可求其系数.
【详解】∵的展开式的通项是，由中的项与中的项，项与项相乘均可得项，
∴所求系数为.
故选：.
11. 【答案】C
【解析】
【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望列出方程组，能求出的值．
【详解】解：的数学期望，
由射手射击所得环数的分布列，得，
解得，．
故选：．
12. 【答案】A
【解析】
【分析】由题意可求得，圆心到直线的距离，点到直线的距离，再由求解即可.
【详解】解：在中，令，则，令，则，
即有，
所以，
又因为圆的圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离，
所以.
故选：A.
13. 【答案】B
【解析】
【分析】设，，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.
【详解】设，.
由图象知，过点，，，，，，，，，，，，，，.
作出散点图，如图1.
由图1可得，与呈现线性关系，可选择用.
过点，，，，，，，，，，，，，，.
作出散点图，如图2.
由图2可得，与呈现非线性关系，比较之下，可选择用.
故选：B.
14. 【答案】B
【解析】
【分析】前7年投入资金可看成首项为160，公差为20的等差数列，后4年投入资金可看成首项为260，公比为1.1的等比数列，分别求和，即可求出所求．
【详解】2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列，
则2020年投入资金万元，
年共7年投资总额为，
从2021年开始每年投入资金比上一年增加，
则从2021年到2024年投入资金成首项为，公比为1.1，项数为4的等比数列，
故从2021年到2024年投入总资金为，
故到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为万元．
故选：
15. 【答案】C
【解析】
【分析】由条件求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，由此可得，再由求其最大值，并确定对应的的值即可.
【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，
则，其中，，
当时，由，
得，化简得，
解得，又，∴，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.
故选：C.
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
16. 【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】因为函数
则，解得且
所以函数的定义域为
故答案为:
17. 【答案】
【解析】
【分析】通过给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和，即可求出．
【详解】解：令，得各项系数之和为，解得．
故答案为：．
18. 【答案】
【解析】
【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
19. 【答案】②③
【解析】
【分析】根据已知条件写出随机变量的取值，并求出随机变量对应的概率，利用离散型随机变量的均值和方差公式即可求解.
【详解】由题意可知，的所有取值为，则
，
由对称性可知，
,
，
所以
.
故答案为：②③.
20. 【答案】①②④
【解析】
【分析】①当时，分和 讨论判断；②由时，存在，当时，判断；③举例判断；④由对任意的，均有，得到，再分和判断.
【详解】①当时，若，则数列有最大项为 ，若 ，则存在，有 ，所以数列有最大项为，故正确；
②当时，存在，当时，，此时，故数列无最大项，所以若数列有最大项，则，故正确；
③若， 恒成立，则，故错误；
④若对任意的，均有，则，若，则，若，则设（为不大于的最大整数），，则，故不成立，故正确；
故答案为：①②④
三、解答题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
21. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可；
（2）结合（1）利用正弦定理即可.
【小问1详解】
∵，由正弦定理可得：
在锐角中，，
故，
则，易知，故，
又，所以.
【小问2详解】
由上可知，又，
故，
由正弦定理得，
故.
22. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的中位线定理及直棱柱的定义，利用平行四边形的判定定理及性质定理，结合线面平行的判定定理即可求解；
（2）选择条件①，根据已知条件及线面垂直性质定理及判定定理，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量及平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解；
选择条件②，根据已知条件及线面垂直性质定理及判定定理，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量及平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解；
【小问1详解】
取的中点为，连接,
因为分别是的中点，
所以且.
因为是的中点，
所以
在直三棱柱中，
所以且，
所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以,
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
选择条件①：；
在直三棱柱中，
所以平面,
又因为平面，
所以,
因为，
所以,平面,
所以平面，
又因为平面，
所以,
在直三棱柱中，
所以
所以，
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
所以
设为平面的一个法向量，则
即，
令，则，，
设直线与平面所成的角为，则
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
选择条件②：；
取的中点为,连接,
在直三棱柱中，,分别是，的中点，
所以平面,
又因为平面，
所以,
因为，
所以,平面,
所以平面，
又因为平面，
所以,
因为分别是的中点，
所以,
所以，
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
所以
设为平面的一个法向量，则
即，
令，则，，
设直线与平面所成的角为，则
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
23. 【答案】（1）
（2）分布列详见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为求得.
（2）根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.
（3）根据平均数、中位数的求法求得，并比较出两者的大小关系.
【小问1详解】
，
解得.
【小问2详解】
不超过40岁的人的频率为，
所以，的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
【小问3详解】
岁.
，
所以.
24. 【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率为和，由求解；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由直线的方程为，令，得到，再结合韦达定理，判断即可.
【小问1详解】
解：根据题意，
解得.
所以椭圆C的方程为：. ...
（2）
【小问2详解】
由（1）知，.
根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.
由，得.
根据题意，恒成立，设
则.
直线的方程为，
令，得，所以.
因为，
则直线的斜率分别为，
.
又，
，
，
.
所以，
所以三点共线.
25. 【答案】（1）是，理由见解析
（2）是，理由见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列的定义，首项为1，公比为的等比数列，
验证即可；
（2）首项写出两个命题，根据数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；
（3）数列，都是数列，则有，，下面只需证明．
【小问1详解】
设满足题设的等比数列为，则，于是，，
因此．
故首项为1，公比为的等比数列是数列．
【小问2详解】
若数列是数列，则数列是数列，
因为数列是数列，
所以存在正数，对任意的，有，
即．
于是，
所以数列是数列．
【小问3详解】
若数列是数列，则存在正数,，
对任意的，有，，
注意到
，
同理：，
记，，
则有
，
因此
，
故数列是数列．
【点睛】考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，综合性较强，属难题．对于新定义问题的求解，关键是理解新定义，将新定义问题转化为熟悉的问题来进行求解.