2.3.2 平面与平面垂直的判定(湖南省邵阳市武冈市)
文档属性
| 名称 | 2.3.2 平面与平面垂直的判定(湖南省邵阳市武冈市) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 18.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2008-12-11 19:56:00 | ||
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文档简介
2.3.2 平面与平面垂直的判定
教学目的：
1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角:
3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。
教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定
教学难点：二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
二、研探新知
1、二面角的有关概念及其记法与表示
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其形状，然后引导学生用数学思维思考，并将它与角进行类比，归纳出二面角的概念及记法与表示.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）。这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β。有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q。如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α―l―β或P―l―Q。
2、二面角的度量
提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二面角的大小呢？
师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）,在其棱上取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线，通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
在二面角α―l―β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，“OB⊥L”；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角时叫直二面角。
（4）二面角的平面角的范围是:
3、两个平面互相垂直
观察教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.引导出两个平面互相垂直的概念.
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
两个平面互相垂直的画法及其表示:
两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。
4、两个平面垂直的判定
教师指出：判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．
两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
求证：α⊥β．
分析：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．
让学生独自写出证明过程．
证明：设a∩β=CD，则B∈CD．
∴AB⊥CD．
在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．
∴α⊥β．
特别指出：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．
三、应用举例，强化所学
例1、如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。
教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有
PA⊥α，BC在α内，
所以，PA⊥BC，
因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，
所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
所以，BC⊥平面PAC，
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC。
四、运用反馈，深化巩固
1.指导完成课本P.69的探究问题
2.指导完成课本P.69的练习
五、小结归纳，整体认识
1.比较角与二面角之间的关系
角 二面角
图形
定义 从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面
表示 ∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-β
2.二面角的度量；
3.两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
六、课后巩固，拓展思维
1、课后作业：P.73习题2.3 A组1,2,3,4.
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？
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教学目的：
1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角:
3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。
教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定
教学难点：二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
二、研探新知
1、二面角的有关概念及其记法与表示
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其形状，然后引导学生用数学思维思考，并将它与角进行类比，归纳出二面角的概念及记法与表示.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）。这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β。有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q。如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α―l―β或P―l―Q。
2、二面角的度量
提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二面角的大小呢？
师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）,在其棱上取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线，通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
在二面角α―l―β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，“OB⊥L”；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角时叫直二面角。
（4）二面角的平面角的范围是:
3、两个平面互相垂直
观察教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.引导出两个平面互相垂直的概念.
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
两个平面互相垂直的画法及其表示:
两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。
4、两个平面垂直的判定
教师指出：判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．
两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
求证：α⊥β．
分析：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．
让学生独自写出证明过程．
证明：设a∩β=CD，则B∈CD．
∴AB⊥CD．
在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．
∴α⊥β．
特别指出：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．
三、应用举例，强化所学
例1、如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。
教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有
PA⊥α，BC在α内，
所以，PA⊥BC，
因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，
所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
所以，BC⊥平面PAC，
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC。
四、运用反馈，深化巩固
1.指导完成课本P.69的探究问题
2.指导完成课本P.69的练习
五、小结归纳，整体认识
1.比较角与二面角之间的关系
角 二面角
图形
定义 从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面
表示 ∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-β
2.二面角的度量；
3.两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
六、课后巩固，拓展思维
1、课后作业：P.73习题2.3 A组1,2,3,4.
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？
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