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第10讲 对数
一．对数的概念
1.如果(，且)，那么数x叫做以 为底 的对数，记作，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
2.对数的基本性质
①当，且时，．
②负数和0没有对数，即.
③特殊值：1的对数是0，即 ；底数的对数是1，即log a a＝ ．
二．常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数
自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数
三．对数的运算性质(a>0且a≠1，b>0，M>0，N>0)
(1)loga(M·N)＝ .
(2)loga＝ .
(3)logaMn＝ .
(4) .
(5) a＝ .
四．换底公式
logab＝ .(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)
【注意】logab·logba＝ .
【当堂达标基础练】
1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
2．若log3x＝3，则x＝( )
A．1 B．3
C．9 D．27
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<0 B．0
C．04．已知3a＝2，则log38－2log36＝( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
5．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )
①logax2＝2logax；
②logax2＝2loga|x|；
③loga(xy)＝logax＋logay；
④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④ B．①③ C．①④ D．②③
6．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080. 则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
8．已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为( )
A．1 B．4
C．1或4 D.或4
9．(多选)已知，，则的值不可能是( )
A． B． C． D．
10．(多选)若，，且，则( )
A． B．
C． D．
11．若logab·log3a＝4，则b＝________.
12．计算：log2·log3·log5＝________.
13．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于________．
14．计算：
(1)； (2)lg －lg ＋lg －log92·log43.
(3) (4)
15．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
16．解下列不等式：
(1)； (2)；
17．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；
(2)计算的值；
(3)因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注：）
【当堂达标提升练】
一、单选题
1．已知f(ex)＝x，则f(3)＝( )
A．log3 e B．ln 3
C．e3 D．3e
2．方程2log3x＝的解是( )
A．9 B.
C. D.
3．log5(log3(log2x))＝0，则x等于( )
A. B.
C. D.
4．下列各式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若log25x＝，则x＝±5.
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．3log34－27－lg 0.01＋ln e3等于( )
A．14 B．0
C．1 D．6
6．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0
C．x D．y
7.(多选)若，，则( )
A． B．
C． D．
8．使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是 .
9．计算23＋log23＋32－log39＝ .
10．若log x＝m，log y＝m＋2，求的值．
11．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1，求 · y的值．
12．已知且.
(1)求的解析式；
(2)解关于x的不等式：.
13．已知，求的值．
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第10讲 对数
【当堂达标基础练】
一、单选题
1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
【答案】B
2．若log3x＝3，则x＝( )
A．1 B．3
C．9 D．27
【答案】D
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<0 B．0C．0【答案】B
4．已知3a＝2，则log38－2log36＝( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
【答案】A
5．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；
③loga(xy)＝logax＋logay；
④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④ B．①③ C．①④ D．②③
【答案】B
6．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
【答案】A
7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080. 则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【答案】D
8．已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为( )
A．1 B．4
C．1或4 D.或4
【答案】B
9．(多选)已知，，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
10．(多选)若，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
11．若logab·log3a＝4，则b＝________.
【答案】81
12．计算：log2·log3·log5＝________.
【答案】－12
13．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于________．
【答案】100
14．计算：
(1)； (2)lg －lg ＋lg －log92·log43.
(3) (4)
[解] (1)原式＝＝＝1.
(2)法一：原式＝lg ＋lg －×＝lg－×＝lg 1－＝－.
法二：原式＝(lg 1－lg 2)－(lg 5－lg 8)＋(lg 5－lg 4)－×＝－lg 2＋lg 8－lg 4－×＝－(lg 2＋lg 4)＋lg 8－＝－lg(2×4)＋lg 8－＝－.
（3）
;
（4）
.
15．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
[解] (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2，
又＝logk4＝logk2，∴－＝.
16．解下列不等式：
(1)； (2)；
【答案】(1) (2)
（1）
由题且，且，得且，
，则，由，
，
化简得，
则或，解得或，
故不等式解集为.
（2）
由题，
则或，解得.
故不等式解集为.
17．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；
(2)计算的值；
(3)因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注：）
【答案】(1)答案见解析 (2) (3)位数为6689．
（1）方法一：设，所以，
所以，
所以．
方法二：设，所以，所以，
所以，所以，
所以．
方法三：因为，，
所以，所以．
（2）
方法一：．
方法二：根据换底公式可得
．
（3）
方法一：设，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以的位数为6689．
方法二：设，所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以N的位数为6689，即的位数为6689．
【当堂达标提升练】
一、单选题
1．已知f(ex)＝x，则f(3)＝( )
A．log3 e B．ln 3
C．e3 D．3e
【答案】B
2．方程2log3x＝的解是( )
A．9 B.
C. D.
【答案】D
3．log5(log3(log2x))＝0，则x等于( )
A. B.
C. D.
【答案】C
4．下列各式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若log25x＝，则x＝±5.
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
5．3log34－27－lg 0.01＋ln e3等于( )
A．14 B．0
C．1 D．6
【答案】B
6．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0
C．x D．y
【答案】B
7.(多选)若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
8．使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________．
【答案】(1,2)∪(2，＋∞)
9．计算23＋log23＋32－log39＝________.
【答案】25
10．若log x＝m，log y＝m＋2，求的值．
[解] ∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4，∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
11．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1，求 · y的值．
[解] ∵log2(log3(log4 x))＝0，∴log3(log4 x)＝1，
∴log4 x＝3，∴x＝43＝64.由log4(log2 y)＝1，知log2 y＝4，∴y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
12．已知且.
(1)求的解析式；
(2)解关于x的不等式：.
【答案】(1)(2)
(1)由，得
，解得.所以的解析式为.
(2)由（2）知，，所以，
由，得，即，
令，则，解得或
所以，即，解得.所以不等式的解集为.
13．已知，求的值．
【答案】-1
【详解】由可得： ，
故
.
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