【精品解析】2023~2024学年中考数学重难点突破之圆动点相关题型

2023~2024学年中考数学重难点突破之圆动点相关题型
一、线圆最值（定弦定角）
1．（2023九上·期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP长的最小值为　 　
2．（2023八下·芜湖期末）如图，正方形中，，E为边上一动点，连接，过点B作于F，连接，则的最小值为　 　．
3．（2023·凤岗模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线BD的中点，点F为BC所在直线上方一点，连接BF、CF、EF，若∠BFC＝30°，则EF长的最大值为　 　．
4．（2023·临潼模拟）如图所示，为矩形中边上的一点，已知，，若点在矩形内部，且，则的最小值为　 　．
5．（2023·庐江模拟）如图，，，点，分别在，的另一边上运动，并保持2，点在边上，，点是的中点，若点为上任意一点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·南山模拟）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为　 　．
7．（2023·庐江模拟）如图，分别是半圆O的直径和弦，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．3
8．（2021·安徽模拟）如图，直角 中， ，AC=8， ，点 是 内部一动点，总满足∠APC=150°，连接 ，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·东平模拟）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （　　）
A．2－3 B．2－2 C．5 D．3
10．（2020·定远模拟）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，且 ，点E为射线 上一动点，连接 ．将 沿直线 折叠，使点C落在点P处，连接 ， ，则 的面积最小值为（　　）
A．3 B．6 C． D．12
11．（2023·东平模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是
A． B．3 C． D．
12．（2023·天河模拟）如图，矩形中，，，点、分别是线段，上的动点，且，过作的垂线，垂足为．
（1）当时，　 　
（2）当在上运动时，的最小值为　 　．
13．（2023·惠山模拟）如图，抛物线与x轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上一点，点C是线段上一点，连接并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由．
二、瓜豆原理（种瓜得瓜，种豆得豆）
14．（2023·南山模拟）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（　　）
A． B． C． D．
15．（2023九下·黄石港月考）如图，四边形ABCD为正方形，P是以边AD为直径的⊙O上一动点，连接BP，以BP为边作等边三角形BPQ，连接OQ，若AB＝2，则线段OQ的最大值为　 　．
16．（2023九上·杭州期中）如图，点O在线段AB上，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连结MB，以MB为一边作等边△MBC，连结AC，则AC长度的最小值为（　　）
A．22 B．22 C．42 D．42
17．（2023·徐汇模拟）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是　 　．
18．（2023·增城模拟）在四边形中，，；
（1）如图1，已知，直接写出的度数；
（2）如图2，已知，，，连接，求的长度；
（3）如图3，已知，，请判断四边形的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．
19．（2022九上·莲都期中）如图，抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．4
20．（2020九上·槐荫期末）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则 的面积的最大值为（　　）
A．4 ＋4 B．4 C．4 ＋8 D．6
三、阿氏圆（相似构造）
21．（2023·南漳模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，，D是AB中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
22．（2020·黄石模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3， ，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P是⊙O上的一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．3
23．（2023·乌鲁木齐模拟）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，以AB为直径作圆，圆心为O，连接OP、PC，当O、P、C三点共线时，OC最短..
∵AB=6，
∴圆O的半径等于3.
∵AB⊥AC，
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠ABP=90°.
∴∠APB=180°-90°=90°.
∵OP恒为3，∴此时CP最短.
在Rt△ABC中，OC===5.
∴CP=5-3=2.
∴CP的长的最小值为2.
故答案为：2
【分析】先证点P在以AB为直径的圆上，当O、P、C三点共线时，OC最短，然后利用勾股定理求出OC的长，接着结合圆的性质可得出OP的长，进而得到PC=OC-OP.
2．【答案】2
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的应用；正方形的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】
以BC中点O为圆心，BO的长为半径作圆，连接AO，交圆于点F，连接CF并延长交AB于点E，连接BF，则BF⊥CE.
由AO-FO≥AF可知，此时AO-FO=AF的值最小，∵AB=AD=4，∴FO=BO=2，∴AO=，∴AF的最小值为AO-FO=.
【分析】本题考查最小值问题，由两边之差大于第三边可知，当AF、FO、AO三条线段在同一条直线上时，AF最小值为AO-FO，因BF⊥CE，由圆周角定理得出F点的位置，再由勾股定理即可解决AF的最小值.
3．【答案】2+2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的综合题；三角形的综合
【解析】【解答】解：作△BFC的外接圆，圆心为O，连接OF，OB，OC，过点O作OH⊥BC交于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，，
∵∠BFC=30°，
∴∠BOC=2∠BFC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=4，
当点F是过点E的直径的端点时，EF取最大值，此时，OE⊥BC于点H．
又∵OE⊥BC，
∵BH=2，∠BOH=30°，
∴．
∵∠EBC=45°，∠EHB=90°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴HE=BH=2，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线平分对角可得BC=AB=4，∠ABC=90°，∠EBC=45°；作△BC的外接圆，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠BOC=2∠BFC=60°，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△BOC是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得OB=OC=BC=4；根据圆中最长的弦是直径，可推得当点F是过点E的直径的端点时，EF取最大值，此时，OE⊥BC于点H；根据等边三角形底边上的高，顶角的角平分线，底边上的中线三线合一可得BH=2，∠BOH=30°，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OH的值，根据有一个角是45度的直角三角形是等腰直角三角形，等腰直角三角形的两直角边相等可得HE=BH=2，即可求得EF的值.
4．【答案】
【知识点】圆的综合题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，连接PB′；以CD为一边向矩形外作等边△CDN，作△CDN的外接圆⊙O，连接OB′交⊙O于点M′，交AD于点P′，连接OM；过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接OD，如图：
∵点B与点B′关于AD对称，
∴PB′=PB，
∵△CDN是等边三角形，
∴∠DNC=60°，
∵∠DMC=120°，∠DNC=60°，
∴点M在劣弧上运动，
则OM=OM′，
∵BP+PM=B′P+PM+OM-OM′≥OB′-OM′=B′M′，
即BP+PM的最小值为B′M′的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵⊙O是△CDN的外接圆，△CDN是等边三角形，且OF⊥AB，
∴，，
∴OD=2OE，
在Rt△DOE中，OD2=DE2+OE2，
即，
解得：OE=1，
∴OD=2；
在Rt△OFB′中，
∵OF=EF+OE=BC+OE=4+1=5，
，
∴，
∴，
即BP+PM的最小值为，
故答案为：．
【分析】作点B关于AD的对称点B′，连接PB′，判断出点B′，P，M在一条直线上时，BP+PM最小，根据圆O是△CDN和△CDM的外接圆，即圆O是四边形CMDN的外接圆，根据顶点在同圆上的四边形对角互补可得点M在劣弧上运动，连接OB′交⊙O于点M′，推出BP+PM最小值就是B′M′的长，过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出OE，OB′的值，进而求出BP+PM的最小值．
5．【答案】D
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】如图，延长，，交于点，作点关于的对称点，
连接，，交于点，交于点，则，
，
，
，是的中点，连接，
，
点在以为圆心，半径为1的圆位于的内部的弧上运动，
，
当、、、四点在同一条直线上时，最小，
即最小，
点、关于对称，
垂直平分，
，，
，
，，
，
的最小值为．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出AB垂直平分，再求出OA=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
6．【答案】
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点在的外接圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为．
故答案为：．
【分析】先求出，再利用锐角三角函数求出OF的值，最后求解即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆-动点问题
【解析】【解答】解：取中点M，连接，，，
∵是半的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：A．
【分析】取中点M，连接，，，先求出，再结合，可得，从而得解。
8．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．
∵∠APC=150°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC=OA=OP=8，∠ACO=60°
在Rt△COH中，∠OCH=90°-60°=30°，
∴OH= OC=4，CH= OH= ，
∵BC= ，
∴BH= ，
∴OB= ，
∵PB≥OB-OP，
∴BP≥ ，
∴BP的最小值为 ，
故答案为：B．
【分析】作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．想办法求出OB，OP，可得结论．
9．【答案】B
【知识点】四边形-动点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCF=∠ABE=90°，又，
∴，
∴△BCF∽△ABE，
∴∠BAE=∠FBC，又∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠FBC=90°，
∴∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，
即此时CP最短，
∴BG=2，
∴CG==，
∴此时CP=，
故答案为：B．
【分析】先证出点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，即此时CP最短，再利用勾股定理求出CG的长，最后求出CP=即可。
10．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：根据折叠可知，FP=FC=2，
∴在折叠的过程中，FP的长度不变为2，
∴点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动，
则过点F作FD⊥AB于D，FD与⊙F的交点为P，则此时△APB的面积最小．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AB= ，
∵∠DAF=∠CAB，∠ADF=∠ACB=90°，
∴△ADF∽△ACB，
∴ ，∴ ，∴DF=3.2．
∴DP=DF-PF=3.2-2=1.2，
∴此时△APB的面积= ×AB×DP= ×10×1.2=6．
即△APB面积的最小值为6．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动，则过点F作FD⊥AB于D，FD与⊙F的交点为P，则此时△APB的面积最小，结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理求出此时AB，PD的长即可得出结果．
11．【答案】D
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，
根据折叠可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
故答案为：D．
【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，先利用勾股定理求出，再求出的最小值即可。
12．【答案】（1）45
（2）1
【知识点】矩形的判定与性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）过点F作FM⊥BC于M，如图，
则∠BME=∠EMF= 90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B= 90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴EM=AB=2，BM=AE=，
∵AE = CF，
∴CF=BM=，
∵AE = CF，
∴CF=BM=，
∴MF=BC-BM-CF=，
∴ME = MF，
∵FM⊥BC，
∴∠BFE= 45°，
故答案为：45°；
（2）连接BD交EF于点O，如图，
由矩形性质知：AD∥CB，AD= BC=， AE= CF，
∴∠DEF=∠BFE，AD- AE= BC- CF，
∴DE= BF，
∴∠EOD =∠FOB，
∴△DOE≌△BOF (ASA)，
∴ OD=OB，
由勾股定理得，
∴OD=2，BD=4，
∵DH⊥EF，设OD的中点为M，
∴MH=1，
即点H在以点M为圆心，以1为半径的圆上运动，
由于点E在AD边上运动，
∴当点E与点A重合时，即EF与AC重合时，CH的值最小，
∵AC= BD= 4，
，
即CH的最小值为1；
故答案为：1.
【分析】（1）过点F作FM⊥BC于M，由条件可得四边形ABME是矩形，由题意可得MF= EM，从而问题解决；
（2）连接BD交EF于点O，可证明△DOE≌△BOF，易得OD = 12，BD= 2，由DH⊥EF知，MH = 2，即点H在以OD中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，CH的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值.
13．【答案】（1）解：把点A的坐标代入函数解析式中， ，
解得： ，
故所求的解析式为 ；
（2）解：∵点B在抛物线 ，
∴ ，
即 ；
设直线 解析式为为 ，
则有 ，
解得： ，
∴直线 解析式为为 ；
过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图，
设 ，则 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ；
∵点D在抛物线 上，
∴ ，
解得： ，
则点D的坐标为 ；
（3）解：存在；
如图，作 的外接圆 ，连接 ，过M作 轴于N，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， 垂直平分 ，
∴ ，
∴M的坐标为 ， 的半径 ；
设点P的坐标为 ，
则 ，
即 ，
由于 ，
∴方程整理得： ，
解得： ，
点P的坐标为 或 ．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法，将点A（5，0）代入y=-x2+bx中，求出b得到表达式即可．
（2）先将点B的坐标代入抛物线的解析式求出m的值，用待定系数法求出直线AB的解析式，过C，D作OA的垂线，根据对应线段成比例用m表示出D点坐标，代入抛物线的解析式求出m的值，最后得出点D的坐标．
（3）作△OPA的外接圆，利用45°圆周角对应90°圆心角得出M点的坐标，设出P点坐标，根据PA=r列出方程，求出P点坐标．
14．【答案】A
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG，
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF，
∴∠EGB=∠FGC，
在△EGB和△FGC中，
∴△EGB≌△FGC(SAS)，
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE=m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m
∴BC= ，
∴AD=m，
∴
故答案为：∶A．
【分析】结合图形，利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接、，以为边向上作等边三角形，连接，
四边形是正方形，，
，，
是的直径，
，
，
、都是等边三角形，
，，，
，
，
，
当、、三点在同一直线时，有最大值，
此时，，
故答案为：.
【分析】本题是圆的综合题，确定点Q的运动轨迹是解题关键，以OB为边作等边三角形，利用手拉手旋转全等模型可以得到EQ的长度是定值，以此可以确定点Q的运动轨迹是圆，进而可知当O、E、Q三点在同一直线的时候，OQ有最大值
16．【答案】B
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，则OB＝BP＝OP＝6，∠OBP＝60°，连接OP，PC，OM，如图：
，
∵∠MBC＝∠OBP＝60°，
∴∠OBM＝∠PBC，
在△OBM和△PBC中，
，
∴△OBM≌△PBC（SAS），
∴OM＝PC＝2，
∴如上图所示，点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，
连接AP并延长，交⊙P于点C′，则AC的最大值为AC′．
过P作PH⊥AB于H，
∴PH＝PB＝3，BH＝，
∵AH＝AB-BH＝5，
∴AP＝，
∴AC′＝AP-PC′＝2-2，
故AC长度的最大值为2-2，
故选：A．
【分析】作辅助线：以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，则OB＝BP＝OP＝6，∠OBP＝60°，连接OP，PC，OM，连接AP并延长，交⊙P于点C′，过P作PH⊥AB于H，如图，根据全等三角形的判定SAS证得△OBM≌△PBC，根据全等三角形的性质得到OM＝PC＝2，从而确定点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，由圆外的点到圆上的点的最小距离得AC的最小值为AC′，根据勾股定理求得AP，又PC’为圆P的半径等于2，根据AC′＝AP-PC′即可求得AC长度的最小值．
17．【答案】
【知识点】线段的中点；圆-动点问题
【解析】【解答】解：∵A(8，0)，点B(0，6)，
∴OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，
连接AB，AC，取AB的中点D，则D的坐标(4，3)；连接DP，
∵DP分别是AB、BC的中点，
∴DP= AC = x5=，
∴点D是定点，DP=，
即点P的运动轨迹是以点D为中心，DP为半径的圆，
∵DP1=DP2=，
∴点D坐标(4，3)，
∴OP的取值范围是OD-DP1 ≤ OP≤OD+DP2，
即，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，再求出点D是定点，DP=，最后计算求解即可。
18．【答案】（1）解：=270°
（2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到．
∴，，，．
∵，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
由（2）同理可证为等边三角形，
∴，
∴当面积最大时，四边形的面积最小．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴点A在定圆上运动，如图，则当O、A、B共线时，的面积最大，此时，设交于K，
∴．
∵，
∴．
在上取点F，使得，如图，则是等腰直角三角形．
设，则，
∴，
解得：，
∴．
∵，
∴，即四边形的面积最小值为．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：(1)∵，，，
∴；
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，计算求解即可；
（2）根据旋转的性质先求出 ，，，，再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）先求出 当面积最大时，四边形的面积最小，再求出，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
19．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2-4＝0，解得x1＝4，x2＝-4，则A（-4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是.
故答案为：C.
【分析】连接BP， 利用y＝x2-4求出A、B的坐标，利用三角形中位线定理可得OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，由勾股定理求出BC的长，利用BP'=BC+CP'即可求解.
20．【答案】A
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，
∵ ，
∴ ，即
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，
要使 面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，
∵ 是边长为4的等边三角形，
∴点M到BC的距离是 ，
∴点D到BC的最大距离是 ，
∴ 的面积最大值是 ．
故答案为：A．
【分析】 以BC为边作等边△BCM，连接DM，则△DCM≌△CAB，根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动到BC的中垂线与圆的交点时，CB边上的高取最大值，根据三角形的面积即可得到结论。
21．【答案】D
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：固定BP，则=2，∴A点的运动轨迹为阿氏圆O，设OP=a，则AO=2a，OB=4a，∵∠ABC=90°，=2，∴C点的运动轨迹为阿氏圆O ，∴∠OBO =90°，∴O B=2a，O C=a，∴当PC最小时，的值最大，∴=。故选D.
【分析】根据阿氏圆的定义，固定BP，分别确定A点、C点的运动轨迹为阿氏圆，于是可知当PC最小时，的值最大，PC=PO -O C时最小，结合题意求解即可.
22．【答案】D
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AG⊥BD于G点，
∵∠BAD=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点C到BD的距离为 ，
∵BD是圆的切线，
∴圆的半径为 ，
过点P作PE⊥BD于点E，
∴∠AGT=∠PET，
∵∠ATG=∠PTE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
要使 最大，则 最大，即PE最大，
∵点P是圆上动点，BD是圆的切线，
∴PE最大为圆的直径，
即PE最大值为：3，
∴ 最大值为 ，
故答案为：D.
【分析】如图，过点A作AG⊥BD于G点，利用矩形的性质结合勾股定理求出BD，由此提高等面积法求得AG= ，从而得分析出圆的半径为 ，紧接着过点P作PE⊥BD于点E，提高证明 利用相似三角形性质得出 ，据此根据题意分析出要使 最大，则 最大，即PE最大，最后进一步分析求解即可.
23．【答案】2
【知识点】正方形的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：根据条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，连接OC、OM如图1：
∵正方形ABCD中AB=，M为中点，
∴CM=BM=，
∵∠MPC＝45°
∴半径为1
作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2：
根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，
∴，∠NOP=∠AOP
∴△OPN∽△OAP
∴即PN=PA
∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN）
连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：
∵CN=OC+CN=1+=，
∴NG=CG=，
∴BG=，
根据勾股定理可得，BN=，
∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=.
故答案为：.
【分析】由条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，连接OC、OM，易得△COM是等腰直角三角形，得CO=1，连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，判断出△OPN∽△OAP，得PN=PA，将3BP＋2EF转化为3（BP+PN），连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，然后由勾股定理算出BN即可解决问题.
1 / 12023~2024学年中考数学重难点突破之圆动点相关题型
一、线圆最值（定弦定角）
1．（2023九上·期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP长的最小值为　 　
【答案】2
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，以AB为直径作圆，圆心为O，连接OP、PC，当O、P、C三点共线时，OC最短..
∵AB=6，
∴圆O的半径等于3.
∵AB⊥AC，
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠ABP=90°.
∴∠APB=180°-90°=90°.
∵OP恒为3，∴此时CP最短.
在Rt△ABC中，OC===5.
∴CP=5-3=2.
∴CP的长的最小值为2.
故答案为：2
【分析】先证点P在以AB为直径的圆上，当O、P、C三点共线时，OC最短，然后利用勾股定理求出OC的长，接着结合圆的性质可得出OP的长，进而得到PC=OC-OP.
2．（2023八下·芜湖期末）如图，正方形中，，E为边上一动点，连接，过点B作于F，连接，则的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的应用；正方形的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】
以BC中点O为圆心，BO的长为半径作圆，连接AO，交圆于点F，连接CF并延长交AB于点E，连接BF，则BF⊥CE.
由AO-FO≥AF可知，此时AO-FO=AF的值最小，∵AB=AD=4，∴FO=BO=2，∴AO=，∴AF的最小值为AO-FO=.
【分析】本题考查最小值问题，由两边之差大于第三边可知，当AF、FO、AO三条线段在同一条直线上时，AF最小值为AO-FO，因BF⊥CE，由圆周角定理得出F点的位置，再由勾股定理即可解决AF的最小值.
3．（2023·凤岗模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线BD的中点，点F为BC所在直线上方一点，连接BF、CF、EF，若∠BFC＝30°，则EF长的最大值为　 　．
【答案】2+2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的综合题；三角形的综合
【解析】【解答】解：作△BFC的外接圆，圆心为O，连接OF，OB，OC，过点O作OH⊥BC交于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，，
∵∠BFC=30°，
∴∠BOC=2∠BFC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=4，
当点F是过点E的直径的端点时，EF取最大值，此时，OE⊥BC于点H．
又∵OE⊥BC，
∵BH=2，∠BOH=30°，
∴．
∵∠EBC=45°，∠EHB=90°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴HE=BH=2，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线平分对角可得BC=AB=4，∠ABC=90°，∠EBC=45°；作△BC的外接圆，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠BOC=2∠BFC=60°，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△BOC是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得OB=OC=BC=4；根据圆中最长的弦是直径，可推得当点F是过点E的直径的端点时，EF取最大值，此时，OE⊥BC于点H；根据等边三角形底边上的高，顶角的角平分线，底边上的中线三线合一可得BH=2，∠BOH=30°，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OH的值，根据有一个角是45度的直角三角形是等腰直角三角形，等腰直角三角形的两直角边相等可得HE=BH=2，即可求得EF的值.
4．（2023·临潼模拟）如图所示，为矩形中边上的一点，已知，，若点在矩形内部，且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】圆的综合题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，连接PB′；以CD为一边向矩形外作等边△CDN，作△CDN的外接圆⊙O，连接OB′交⊙O于点M′，交AD于点P′，连接OM；过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接OD，如图：
∵点B与点B′关于AD对称，
∴PB′=PB，
∵△CDN是等边三角形，
∴∠DNC=60°，
∵∠DMC=120°，∠DNC=60°，
∴点M在劣弧上运动，
则OM=OM′，
∵BP+PM=B′P+PM+OM-OM′≥OB′-OM′=B′M′，
即BP+PM的最小值为B′M′的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵⊙O是△CDN的外接圆，△CDN是等边三角形，且OF⊥AB，
∴，，
∴OD=2OE，
在Rt△DOE中，OD2=DE2+OE2，
即，
解得：OE=1，
∴OD=2；
在Rt△OFB′中，
∵OF=EF+OE=BC+OE=4+1=5，
，
∴，
∴，
即BP+PM的最小值为，
故答案为：．
【分析】作点B关于AD的对称点B′，连接PB′，判断出点B′，P，M在一条直线上时，BP+PM最小，根据圆O是△CDN和△CDM的外接圆，即圆O是四边形CMDN的外接圆，根据顶点在同圆上的四边形对角互补可得点M在劣弧上运动，连接OB′交⊙O于点M′，推出BP+PM最小值就是B′M′的长，过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出OE，OB′的值，进而求出BP+PM的最小值．
5．（2023·庐江模拟）如图，，，点，分别在，的另一边上运动，并保持2，点在边上，，点是的中点，若点为上任意一点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】如图，延长，，交于点，作点关于的对称点，
连接，，交于点，交于点，则，
，
，
，是的中点，连接，
，
点在以为圆心，半径为1的圆位于的内部的弧上运动，
，
当、、、四点在同一条直线上时，最小，
即最小，
点、关于对称，
垂直平分，
，，
，
，，
，
的最小值为．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出AB垂直平分，再求出OA=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
6．（2023·南山模拟）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点在的外接圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为．
故答案为：．
【分析】先求出，再利用锐角三角函数求出OF的值，最后求解即可。
7．（2023·庐江模拟）如图，分别是半圆O的直径和弦，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆-动点问题
【解析】【解答】解：取中点M，连接，，，
∵是半的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：A．
【分析】取中点M，连接，，，先求出，再结合，可得，从而得解。
8．（2021·安徽模拟）如图，直角 中， ，AC=8， ，点 是 内部一动点，总满足∠APC=150°，连接 ，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．
∵∠APC=150°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC=OA=OP=8，∠ACO=60°
在Rt△COH中，∠OCH=90°-60°=30°，
∴OH= OC=4，CH= OH= ，
∵BC= ，
∴BH= ，
∴OB= ，
∵PB≥OB-OP，
∴BP≥ ，
∴BP的最小值为 ，
故答案为：B．
【分析】作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．想办法求出OB，OP，可得结论．
9．（2022·东平模拟）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （　　）
A．2－3 B．2－2 C．5 D．3
【答案】B
【知识点】四边形-动点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCF=∠ABE=90°，又，
∴，
∴△BCF∽△ABE，
∴∠BAE=∠FBC，又∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠FBC=90°，
∴∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，
即此时CP最短，
∴BG=2，
∴CG==，
∴此时CP=，
故答案为：B．
【分析】先证出点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，即此时CP最短，再利用勾股定理求出CG的长，最后求出CP=即可。
10．（2020·定远模拟）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，且 ，点E为射线 上一动点，连接 ．将 沿直线 折叠，使点C落在点P处，连接 ， ，则 的面积最小值为（　　）
A．3 B．6 C． D．12
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：根据折叠可知，FP=FC=2，
∴在折叠的过程中，FP的长度不变为2，
∴点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动，
则过点F作FD⊥AB于D，FD与⊙F的交点为P，则此时△APB的面积最小．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AB= ，
∵∠DAF=∠CAB，∠ADF=∠ACB=90°，
∴△ADF∽△ACB，
∴ ，∴ ，∴DF=3.2．
∴DP=DF-PF=3.2-2=1.2，
∴此时△APB的面积= ×AB×DP= ×10×1.2=6．
即△APB面积的最小值为6．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动，则过点F作FD⊥AB于D，FD与⊙F的交点为P，则此时△APB的面积最小，结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理求出此时AB，PD的长即可得出结果．
11．（2023·东平模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，
根据折叠可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
故答案为：D．
【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，先利用勾股定理求出，再求出的最小值即可。
12．（2023·天河模拟）如图，矩形中，，，点、分别是线段，上的动点，且，过作的垂线，垂足为．
（1）当时，　 　
（2）当在上运动时，的最小值为　 　．
【答案】（1）45
（2）1
【知识点】矩形的判定与性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）过点F作FM⊥BC于M，如图，
则∠BME=∠EMF= 90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B= 90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴EM=AB=2，BM=AE=，
∵AE = CF，
∴CF=BM=，
∵AE = CF，
∴CF=BM=，
∴MF=BC-BM-CF=，
∴ME = MF，
∵FM⊥BC，
∴∠BFE= 45°，
故答案为：45°；
（2）连接BD交EF于点O，如图，
由矩形性质知：AD∥CB，AD= BC=， AE= CF，
∴∠DEF=∠BFE，AD- AE= BC- CF，
∴DE= BF，
∴∠EOD =∠FOB，
∴△DOE≌△BOF (ASA)，
∴ OD=OB，
由勾股定理得，
∴OD=2，BD=4，
∵DH⊥EF，设OD的中点为M，
∴MH=1，
即点H在以点M为圆心，以1为半径的圆上运动，
由于点E在AD边上运动，
∴当点E与点A重合时，即EF与AC重合时，CH的值最小，
∵AC= BD= 4，
，
即CH的最小值为1；
故答案为：1.
【分析】（1）过点F作FM⊥BC于M，由条件可得四边形ABME是矩形，由题意可得MF= EM，从而问题解决；
（2）连接BD交EF于点O，可证明△DOE≌△BOF，易得OD = 12，BD= 2，由DH⊥EF知，MH = 2，即点H在以OD中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，CH的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值.
13．（2023·惠山模拟）如图，抛物线与x轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上一点，点C是线段上一点，连接并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：把点A的坐标代入函数解析式中， ，
解得： ，
故所求的解析式为 ；
（2）解：∵点B在抛物线 ，
∴ ，
即 ；
设直线 解析式为为 ，
则有 ，
解得： ，
∴直线 解析式为为 ；
过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图，
设 ，则 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ；
∵点D在抛物线 上，
∴ ，
解得： ，
则点D的坐标为 ；
（3）解：存在；
如图，作 的外接圆 ，连接 ，过M作 轴于N，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， 垂直平分 ，
∴ ，
∴M的坐标为 ， 的半径 ；
设点P的坐标为 ，
则 ，
即 ，
由于 ，
∴方程整理得： ，
解得： ，
点P的坐标为 或 ．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法，将点A（5，0）代入y=-x2+bx中，求出b得到表达式即可．
（2）先将点B的坐标代入抛物线的解析式求出m的值，用待定系数法求出直线AB的解析式，过C，D作OA的垂线，根据对应线段成比例用m表示出D点坐标，代入抛物线的解析式求出m的值，最后得出点D的坐标．
（3）作△OPA的外接圆，利用45°圆周角对应90°圆心角得出M点的坐标，设出P点坐标，根据PA=r列出方程，求出P点坐标．
二、瓜豆原理（种瓜得瓜，种豆得豆）
14．（2023·南山模拟）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG，
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF，
∴∠EGB=∠FGC，
在△EGB和△FGC中，
∴△EGB≌△FGC(SAS)，
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE=m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m
∴BC= ，
∴AD=m，
∴
故答案为：∶A．
【分析】结合图形，利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
15．（2023九下·黄石港月考）如图，四边形ABCD为正方形，P是以边AD为直径的⊙O上一动点，连接BP，以BP为边作等边三角形BPQ，连接OQ，若AB＝2，则线段OQ的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接、，以为边向上作等边三角形，连接，
四边形是正方形，，
，，
是的直径，
，
，
、都是等边三角形，
，，，
，
，
，
当、、三点在同一直线时，有最大值，
此时，，
故答案为：.
【分析】本题是圆的综合题，确定点Q的运动轨迹是解题关键，以OB为边作等边三角形，利用手拉手旋转全等模型可以得到EQ的长度是定值，以此可以确定点Q的运动轨迹是圆，进而可知当O、E、Q三点在同一直线的时候，OQ有最大值
16．（2023九上·杭州期中）如图，点O在线段AB上，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连结MB，以MB为一边作等边△MBC，连结AC，则AC长度的最小值为（　　）
A．22 B．22 C．42 D．42
【答案】B
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，则OB＝BP＝OP＝6，∠OBP＝60°，连接OP，PC，OM，如图：
，
∵∠MBC＝∠OBP＝60°，
∴∠OBM＝∠PBC，
在△OBM和△PBC中，
，
∴△OBM≌△PBC（SAS），
∴OM＝PC＝2，
∴如上图所示，点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，
连接AP并延长，交⊙P于点C′，则AC的最大值为AC′．
过P作PH⊥AB于H，
∴PH＝PB＝3，BH＝，
∵AH＝AB-BH＝5，
∴AP＝，
∴AC′＝AP-PC′＝2-2，
故AC长度的最大值为2-2，
故选：A．
【分析】作辅助线：以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，则OB＝BP＝OP＝6，∠OBP＝60°，连接OP，PC，OM，连接AP并延长，交⊙P于点C′，过P作PH⊥AB于H，如图，根据全等三角形的判定SAS证得△OBM≌△PBC，根据全等三角形的性质得到OM＝PC＝2，从而确定点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，由圆外的点到圆上的点的最小距离得AC的最小值为AC′，根据勾股定理求得AP，又PC’为圆P的半径等于2，根据AC′＝AP-PC′即可求得AC长度的最小值．
17．（2023·徐汇模拟）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】线段的中点；圆-动点问题
【解析】【解答】解：∵A(8，0)，点B(0，6)，
∴OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，
连接AB，AC，取AB的中点D，则D的坐标(4，3)；连接DP，
∵DP分别是AB、BC的中点，
∴DP= AC = x5=，
∴点D是定点，DP=，
即点P的运动轨迹是以点D为中心，DP为半径的圆，
∵DP1=DP2=，
∴点D坐标(4，3)，
∴OP的取值范围是OD-DP1 ≤ OP≤OD+DP2，
即，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，再求出点D是定点，DP=，最后计算求解即可。
18．（2023·增城模拟）在四边形中，，；
（1）如图1，已知，直接写出的度数；
（2）如图2，已知，，，连接，求的长度；
（3）如图3，已知，，请判断四边形的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）解：=270°
（2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到．
∴，，，．
∵，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
由（2）同理可证为等边三角形，
∴，
∴当面积最大时，四边形的面积最小．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴点A在定圆上运动，如图，则当O、A、B共线时，的面积最大，此时，设交于K，
∴．
∵，
∴．
在上取点F，使得，如图，则是等腰直角三角形．
设，则，
∴，
解得：，
∴．
∵，
∴，即四边形的面积最小值为．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：(1)∵，，，
∴；
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，计算求解即可；
（2）根据旋转的性质先求出 ，，，，再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）先求出 当面积最大时，四边形的面积最小，再求出，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
19．（2022九上·莲都期中）如图，抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2-4＝0，解得x1＝4，x2＝-4，则A（-4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是.
故答案为：C.
【分析】连接BP， 利用y＝x2-4求出A、B的坐标，利用三角形中位线定理可得OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，由勾股定理求出BC的长，利用BP'=BC+CP'即可求解.
20．（2020九上·槐荫期末）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则 的面积的最大值为（　　）
A．4 ＋4 B．4 C．4 ＋8 D．6
【答案】A
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，
∵ ，
∴ ，即
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，
要使 面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，
∵ 是边长为4的等边三角形，
∴点M到BC的距离是 ，
∴点D到BC的最大距离是 ，
∴ 的面积最大值是 ．
故答案为：A．
【分析】 以BC为边作等边△BCM，连接DM，则△DCM≌△CAB，根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动到BC的中垂线与圆的交点时，CB边上的高取最大值，根据三角形的面积即可得到结论。
三、阿氏圆（相似构造）
21．（2023·南漳模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，，D是AB中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：固定BP，则=2，∴A点的运动轨迹为阿氏圆O，设OP=a，则AO=2a，OB=4a，∵∠ABC=90°，=2，∴C点的运动轨迹为阿氏圆O ，∴∠OBO =90°，∴O B=2a，O C=a，∴当PC最小时，的值最大，∴=。故选D.
【分析】根据阿氏圆的定义，固定BP，分别确定A点、C点的运动轨迹为阿氏圆，于是可知当PC最小时，的值最大，PC=PO -O C时最小，结合题意求解即可.
22．（2020·黄石模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3， ，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P是⊙O上的一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AG⊥BD于G点，
∵∠BAD=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点C到BD的距离为 ，
∵BD是圆的切线，
∴圆的半径为 ，
过点P作PE⊥BD于点E，
∴∠AGT=∠PET，
∵∠ATG=∠PTE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
要使 最大，则 最大，即PE最大，
∵点P是圆上动点，BD是圆的切线，
∴PE最大为圆的直径，
即PE最大值为：3，
∴ 最大值为 ，
故答案为：D.
【分析】如图，过点A作AG⊥BD于G点，利用矩形的性质结合勾股定理求出BD，由此提高等面积法求得AG= ，从而得分析出圆的半径为 ，紧接着过点P作PE⊥BD于点E，提高证明 利用相似三角形性质得出 ，据此根据题意分析出要使 最大，则 最大，即PE最大，最后进一步分析求解即可.
23．（2023·乌鲁木齐模拟）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为　 　.
【答案】2
【知识点】正方形的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：根据条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，连接OC、OM如图1：
∵正方形ABCD中AB=，M为中点，
∴CM=BM=，
∵∠MPC＝45°
∴半径为1
作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2：
根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，
∴，∠NOP=∠AOP
∴△OPN∽△OAP
∴即PN=PA
∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN）
连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：
∵CN=OC+CN=1+=，
∴NG=CG=，
∴BG=，
根据勾股定理可得，BN=，
∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=.
故答案为：.
【分析】由条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，连接OC、OM，易得△COM是等腰直角三角形，得CO=1，连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，判断出△OPN∽△OAP，得PN=PA，将3BP＋2EF转化为3（BP+PN），连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，然后由勾股定理算出BN即可解决问题.
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