2023~2024学年沪科版九年级下册之圆章节培优习题
一、单选题
1．（2023·蜀山模拟）如图，正方形和等边三角形均内接于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是直径，
∴，
在中，，
∵是等边三角形，
∴
在中，，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接AC，CE，先求出，，再求出即可。
2．（2023·长丰模拟）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ）．
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；圆周角定理
【解析】【解答】连接BC，连接OD交AC点H
∵AB⊥AC，
∴∠A＝90°，
∴BC为⊙O的直径，
在Rt△BAC中，∠A＝90°，则，
∴
∵D是的中点
∴OD⊥AC，
∴AH=CH=AC=4
在Rt△OHC中，由勾股定理得OH＝3
∴DH＝OD-OH＝2，
在Rt△DHC中，由勾股定理得CD=
故答案为：A
【分析】连接OD交AC点H，由圆周角定理可得BC为⊙O的直径，在Rt△BAC中运用勾股定理可得
，从而可以得到半径为5，然后由点D是的中点可得OD⊥AC，进而得到AH=CH=AC=4，在Rt△OHC中运用勾股定理可得OH的长，进而得到DH＝OD-OH＝2，最后在Rt△DHC中，运用勾股定理即可求得CD的长．
3．（2023·合肥模拟）如图，点P是外的一点，PA、PC是的切线，切点分别为A，C，AB是的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则△PAC是等边三角形
D．若△PAC是等边三角形，则
【答案】B
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解析：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．选项A不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，选项C不符合题意；
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，选项D不符合题意；
条件不足，无法得到，选项B符合题意；
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
4．（2023·瑶海模拟）如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：
根据垂直定理，E为AP中点，F为PB中点
则EF为三角形ABP中位线，
则
故答案为C
【分析】圆中半径垂直弦长则垂点为弦中点。
5．（2023·庐江模拟）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A：连接OC，OA=OC， 点是的中点 ，则 ，故A正确
B：点E时弧AD的中点
OM是三角形ABD的中位线
故B错误
C：连接AD交OE， 点是的中点 ，所以
因为，所以
故C正确
D： 点D是弧AC的中点
故D正确
故答案为B
【分析】A：等腰三角形角平分线垂直第三边
B：利用三角形中位线性质，判断OE与BD大小关系
C：同旁内角互补，两直线平行
D：证明三角形相似，对应边的比相等即可得出答案。
二、填空题
6．（2023·长丰模拟）如图，内接于圆O．若，，，则的弧长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵∠A＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°-∠A-∠ABC＝45°，
连接OA，OB，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，AB=
∵
∴OA＝1，
∴的弧长=
故答案为：
【分析】根据三角形内角和求出∠C的度数，连接OA，OB，得到∠AOB＝2∠C＝90°，证得△AOB是等腰直角三角形，求出OA＝1，根据弧长公式计算可得
7．（2023·安徽模拟）如图，四边形内接于，，，，则劣弧的长度为 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连结，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为．
【分析】连结，先求出，，再利用弧长公式求解即可。
8．（2023·合肥模拟）如图，已知是半圆的直径，弦，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD，连接OC，过点C作CF⊥AB，
∵CD∥AB，CD=8，AB=10，∴CE=CD=4，OC=OB=5，四边形OECF是矩形，
∴OF=CE=4，OE=CF，
∴OE==3，∴CF=3，BF=OB-OF=1，
∴BC==；
故答案为：.
【分析】过点O作OE⊥CD，连接OC，过点C作CF⊥AB，可得四边形OECF是矩形，CE=CD=4，可得OF=CE=4，OE=CF，利用勾股定理求出CF=OE=3，即求BF=1，再根据勾股定理求出BC即可.
9．（2023·包河模拟） 如图，直线与半径为的相切于点，点在上，连接、，且，弦，则的长为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：连接OE、OC，
∵，
∴∠COE=2∠EDC=60°，
∵直线与半径为的相切于点，
∴OC⊥AB，
∵EF//AB，
∴OC⊥EF，
∴△EOM为直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据圆周角的定理求出∠COE=2∠EDC=60°，再根据切线的性质求出OC⊥AB，最后根据锐角三角函数等计算求解即可。
10．（2023·合肥模拟）如图，在半径为1的上顺次取点A，B，C，D，E，连接，若，，则扇形与扇形的面积之和为 （结果保留）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵，
∴∠BOE=2∠BAE=110°，
∵，
∴∠BOC+∠EOD=∠BOE-∠COD=60°，
∴扇形OBC的面积+扇形OED的面积=.
故答案为：.
【分析】先求出∠BOC+∠EOD=∠BOE-∠COD=60°，再利用扇形面积公式求解即可。
三、解答题
11．（2023·无为模拟）如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，与弦BC交于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求AE的长．
【答案】（1）证明：连接BE，如图所示
∵点是的内心
∴DA平分，BE平分
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BE，根据弧和圆周角的关系及角的运算和等量代换可得，再利用等角对等边的关系可得；
（2）先证出，可得，再将数据代入求出，最后利用线段的和差求出即可。
12．（2022·武汉）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接.
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
证明：∵平分，平分，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∵为直径，∴.
∴是等腰直角三角形.
另解：计算也可以得证.
（2）解：连接，，，交于点.
∵，
∴.
∵，
∴垂直平分.
∵是等腰直角三角形，，
∴.
∵，∴.
设，则.
在和中，.
解得，.
∴.
∴.
另解：分别延长，相交于点.则为等腰三角形，先计算，，，再根据面积相等求得.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念以及同弧所对的圆周角相等可得∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠EBC，由外角的性质可得∠BED=∠BAE+∠ABE，根据角的和差关系可得∠DBE=∠DBC+∠CBE，推出∠BED=∠DBE，则BD=ED，由直径所对的圆周角等于90°可得∠ADB=90°，据此可判断出△BDE的形状；
（2）连接OC、CD、OD、OD交BC于点F，根据角平分线的概念以及圆周角定理可得∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD，则BD=DC，推出OD垂直平分BC，根据等腰直角三角形的性质可得BD，设OF=t，则DF=5-t，利用勾股定理可得t，进而可得BF、BC.
13．（2023·安徽模拟）点P在外，点A，C在上，连接分别交于点B，D
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若，求证：．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，过点O分别作于M，于N．
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先求出 ，再根据∠P=30°计算求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
14．（2023·安徽模拟）如图1，为的直径，为弦，过圆心O作于D，点E为延长线上一点，是的切线．
（1）求证：；
（2）如图2，取弧的中点P，连接，若，，求弦的长．
【答案】（1）证明：连结，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连结交于F，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∵Р为弧的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，先求出，再结合，即可得到；
（2）连结交于F，先求出AC的长，再利用线段的和差求出，最后利用勾股定理求出即可。
15．（2023·蜀山模拟）已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
（1）判断与的关系，并说明理由；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴与相切；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，先求出，再结合OC是圆的半径，即可得到与相切；
（2）连接交于H，连接，先求出，，再证出，可得，最后将数据代入求出即可。
16．（2023·包河模拟）已知：如图，四边形是的内接四边形，直径交边于点，、的延长线相交于点连接，若．
（1）求证：；
（2）若，，求半径．
【答案】（1）证明：连接，
与是同弦所对圆周角，
，
，
，
为的直径，为圆周上一点，
，
，
，
，即；
（2）解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
连接，由垂径定理得，
，
在中，，
设半径为，则有，
解得，，
半径为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意先求出， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据圆内接四边形求出 ， 再利用锐角三角函数求出 ， 最后利用垂径定理以及勾股定理等计算求解即可。
17．（2023·滁州模拟）如图，是的直径，点，在上，且，连接，交于点，连接，，．
（1）若，求的度数；
（2）用尺规作图作出的角平分线交于点保留作图痕迹，并求证：．
【答案】（1）解：连接，
是圆直径，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，
，
，
平分，
，
，
即，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）本题主要考察圆周角定理，连接AD，由AB是⊙O的直径，可知∠ADB=90°，由可知，AD=DB，即∠ABD=∠BAD=45°，由∠AOC=120°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知∠ADC=60°，根据三角形内角和可求出∠AED的度数，由∠BEC与∠AED是对顶角，即可求出∠BEC的度数.
（2）本题考察角平分线的作法，根据角平分线的作法作出∠ABC的角平分线，由，可知 ∠DBA=∠DCB，由角平分线可知，∠ABF=∠CBF，然后证明∠DBF=∠DFB，由等角对等边可知BD=FD.
18．（2023·合肥模拟）已知与矩形的三边相切，边的切点为，与交于，两点，为的直径，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：如图：连接 ，
∵ 边的切点为 ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，
设圆的半径为r，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴
∴ ．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接 ，由矩形的性质及切线的性质可得∠D=∠OHD=90°，可证OH∥AD，利用平行线的性质可得 ， 根据等边对等角可得 ，即得 ；
（2）利用（1）结论先求出， 设圆的半径为r，连接 ， 根据圆周角定理及直角三角形的性质可得 ，利用勾股定理求出EH=r， 同理 ， 从而得出，继而得出比值.
19．（2023·庐江模拟）已知，如图，四边形内接于，直线与相切，切点为，连接．
（1）求证：；
（2）若，点是劣弧的中点，，求．
【答案】（1）证明：连接 并延长交 于 ，连接 ．
与 相切，切点为 ，
，
是直径，
，
，
，
，
．
（2）解：过 作 交 延长线于 ．
，
．
四边形 是圆内接四边形，
，
由①知 ，
，
，
设 ， ，
中， ，
点 是劣弧 的中点，
，
，
，
中， ．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【分析】（1）圆内过直径 的三角形为直角三角形，过圆心到切点的直线垂直切线，进行角之间的转换即可求出答案。
（2）进行角之间的转换，构造直角三角形，运用锐角三角函数，求出边长即可得到答案。
20．（2023九下·荆州月考）如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点P.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求与的值.
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴.
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理可得∠BOD=∠COD=90°，根据平行线的性质可得∠ODP=∠BOD=90°，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC=90°，由勾股定理可得BC，根据平行线的性质可得∠PDC=∠BCD，由圆周角定理可得∠BCD=∠BAD，则∠BAD=∠PDC，根据同角的补角相等可得∠ABD=∠PCD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△DCP，然后根据相似三角形的性质进行计算.
21．（2023·蜀山模拟）如图，是的直径，弦于点E，过点D作的切线交的延长线于点F．
（1）如图1，若，求（用含代数式表示）：
（2）如图2，取的中点G，连接，若，，求的半径．
【答案】（1）解：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
由（1）得：∵ ，
∴ ，
∵O、G分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设半径 为r，则 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为2．
【知识点】切线的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）圆中运用圆的切线性质以及弧长定理即可求出答案。
（2）三角形中位线性质以及直角三角形中三角函数即可求出答案。
1 / 12023~2024学年沪科版九年级下册之圆章节培优习题
一、单选题
1．（2023·蜀山模拟）如图，正方形和等边三角形均内接于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·长丰模拟）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ）．
A． B． C．3 D．4
3．（2023·合肥模拟）如图，点P是外的一点，PA、PC是的切线，切点分别为A，C，AB是的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则△PAC是等边三角形
D．若△PAC是等边三角形，则
4．（2023·瑶海模拟）如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．（2023·庐江模拟）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023·长丰模拟）如图，内接于圆O．若，，，则的弧长为 ．
7．（2023·安徽模拟）如图，四边形内接于，，，，则劣弧的长度为 ．
8．（2023·合肥模拟）如图，已知是半圆的直径，弦，，，则的长为 ．
9．（2023·包河模拟） 如图，直线与半径为的相切于点，点在上，连接、，且，弦，则的长为 ．
10．（2023·合肥模拟）如图，在半径为1的上顺次取点A，B，C，D，E，连接，若，，则扇形与扇形的面积之和为 （结果保留）
三、解答题
11．（2023·无为模拟）如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，与弦BC交于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求AE的长．
12．（2022·武汉）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接.
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长.
13．（2023·安徽模拟）点P在外，点A，C在上，连接分别交于点B，D
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若，求证：．
14．（2023·安徽模拟）如图1，为的直径，为弦，过圆心O作于D，点E为延长线上一点，是的切线．
（1）求证：；
（2）如图2，取弧的中点P，连接，若，，求弦的长．
15．（2023·蜀山模拟）已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
（1）判断与的关系，并说明理由；
（2）若，求的值．
16．（2023·包河模拟）已知：如图，四边形是的内接四边形，直径交边于点，、的延长线相交于点连接，若．
（1）求证：；
（2）若，，求半径．
17．（2023·滁州模拟）如图，是的直径，点，在上，且，连接，交于点，连接，，．
（1）若，求的度数；
（2）用尺规作图作出的角平分线交于点保留作图痕迹，并求证：．
18．（2023·合肥模拟）已知与矩形的三边相切，边的切点为，与交于，两点，为的直径，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
19．（2023·庐江模拟）已知，如图，四边形内接于，直线与相切，切点为，连接．
（1）求证：；
（2）若，点是劣弧的中点，，求．
20．（2023九下·荆州月考）如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点P.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求与的值.
21．（2023·蜀山模拟）如图，是的直径，弦于点E，过点D作的切线交的延长线于点F．
（1）如图1，若，求（用含代数式表示）：
（2）如图2，取的中点G，连接，若，，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是直径，
∴，
在中，，
∵是等边三角形，
∴
在中，，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接AC，CE，先求出，，再求出即可。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；圆周角定理
【解析】【解答】连接BC，连接OD交AC点H
∵AB⊥AC，
∴∠A＝90°，
∴BC为⊙O的直径，
在Rt△BAC中，∠A＝90°，则，
∴
∵D是的中点
∴OD⊥AC，
∴AH=CH=AC=4
在Rt△OHC中，由勾股定理得OH＝3
∴DH＝OD-OH＝2，
在Rt△DHC中，由勾股定理得CD=
故答案为：A
【分析】连接OD交AC点H，由圆周角定理可得BC为⊙O的直径，在Rt△BAC中运用勾股定理可得
，从而可以得到半径为5，然后由点D是的中点可得OD⊥AC，进而得到AH=CH=AC=4，在Rt△OHC中运用勾股定理可得OH的长，进而得到DH＝OD-OH＝2，最后在Rt△DHC中，运用勾股定理即可求得CD的长．
3．【答案】B
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解析：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．选项A不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，选项C不符合题意；
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，选项D不符合题意；
条件不足，无法得到，选项B符合题意；
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：
根据垂直定理，E为AP中点，F为PB中点
则EF为三角形ABP中位线，
则
故答案为C
【分析】圆中半径垂直弦长则垂点为弦中点。
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A：连接OC，OA=OC， 点是的中点 ，则 ，故A正确
B：点E时弧AD的中点
OM是三角形ABD的中位线
故B错误
C：连接AD交OE， 点是的中点 ，所以
因为，所以
故C正确
D： 点D是弧AC的中点
故D正确
故答案为B
【分析】A：等腰三角形角平分线垂直第三边
B：利用三角形中位线性质，判断OE与BD大小关系
C：同旁内角互补，两直线平行
D：证明三角形相似，对应边的比相等即可得出答案。
6．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵∠A＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°-∠A-∠ABC＝45°，
连接OA，OB，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，AB=
∵
∴OA＝1，
∴的弧长=
故答案为：
【分析】根据三角形内角和求出∠C的度数，连接OA，OB，得到∠AOB＝2∠C＝90°，证得△AOB是等腰直角三角形，求出OA＝1，根据弧长公式计算可得
7．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连结，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为．
【分析】连结，先求出，，再利用弧长公式求解即可。
8．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD，连接OC，过点C作CF⊥AB，
∵CD∥AB，CD=8，AB=10，∴CE=CD=4，OC=OB=5，四边形OECF是矩形，
∴OF=CE=4，OE=CF，
∴OE==3，∴CF=3，BF=OB-OF=1，
∴BC==；
故答案为：.
【分析】过点O作OE⊥CD，连接OC，过点C作CF⊥AB，可得四边形OECF是矩形，CE=CD=4，可得OF=CE=4，OE=CF，利用勾股定理求出CF=OE=3，即求BF=1，再根据勾股定理求出BC即可.
9．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：连接OE、OC，
∵，
∴∠COE=2∠EDC=60°，
∵直线与半径为的相切于点，
∴OC⊥AB，
∵EF//AB，
∴OC⊥EF，
∴△EOM为直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据圆周角的定理求出∠COE=2∠EDC=60°，再根据切线的性质求出OC⊥AB，最后根据锐角三角函数等计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵，
∴∠BOE=2∠BAE=110°，
∵，
∴∠BOC+∠EOD=∠BOE-∠COD=60°，
∴扇形OBC的面积+扇形OED的面积=.
故答案为：.
【分析】先求出∠BOC+∠EOD=∠BOE-∠COD=60°，再利用扇形面积公式求解即可。
11．【答案】（1）证明：连接BE，如图所示
∵点是的内心
∴DA平分，BE平分
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BE，根据弧和圆周角的关系及角的运算和等量代换可得，再利用等角对等边的关系可得；
（2）先证出，可得，再将数据代入求出，最后利用线段的和差求出即可。
12．【答案】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
证明：∵平分，平分，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∵为直径，∴.
∴是等腰直角三角形.
另解：计算也可以得证.
（2）解：连接，，，交于点.
∵，
∴.
∵，
∴垂直平分.
∵是等腰直角三角形，，
∴.
∵，∴.
设，则.
在和中，.
解得，.
∴.
∴.
另解：分别延长，相交于点.则为等腰三角形，先计算，，，再根据面积相等求得.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念以及同弧所对的圆周角相等可得∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠EBC，由外角的性质可得∠BED=∠BAE+∠ABE，根据角的和差关系可得∠DBE=∠DBC+∠CBE，推出∠BED=∠DBE，则BD=ED，由直径所对的圆周角等于90°可得∠ADB=90°，据此可判断出△BDE的形状；
（2）连接OC、CD、OD、OD交BC于点F，根据角平分线的概念以及圆周角定理可得∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD，则BD=DC，推出OD垂直平分BC，根据等腰直角三角形的性质可得BD，设OF=t，则DF=5-t，利用勾股定理可得t，进而可得BF、BC.
13．【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，过点O分别作于M，于N．
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先求出 ，再根据∠P=30°计算求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
14．【答案】（1）证明：连结，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连结交于F，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∵Р为弧的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，先求出，再结合，即可得到；
（2）连结交于F，先求出AC的长，再利用线段的和差求出，最后利用勾股定理求出即可。
15．【答案】（1）解：与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴与相切；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，先求出，再结合OC是圆的半径，即可得到与相切；
（2）连接交于H，连接，先求出，，再证出，可得，最后将数据代入求出即可。
16．【答案】（1）证明：连接，
与是同弦所对圆周角，
，
，
，
为的直径，为圆周上一点，
，
，
，
，即；
（2）解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
连接，由垂径定理得，
，
在中，，
设半径为，则有，
解得，，
半径为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意先求出， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据圆内接四边形求出 ， 再利用锐角三角函数求出 ， 最后利用垂径定理以及勾股定理等计算求解即可。
17．【答案】（1）解：连接，
是圆直径，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，
，
，
平分，
，
，
即，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）本题主要考察圆周角定理，连接AD，由AB是⊙O的直径，可知∠ADB=90°，由可知，AD=DB，即∠ABD=∠BAD=45°，由∠AOC=120°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知∠ADC=60°，根据三角形内角和可求出∠AED的度数，由∠BEC与∠AED是对顶角，即可求出∠BEC的度数.
（2）本题考察角平分线的作法，根据角平分线的作法作出∠ABC的角平分线，由，可知 ∠DBA=∠DCB，由角平分线可知，∠ABF=∠CBF，然后证明∠DBF=∠DFB，由等角对等边可知BD=FD.
18．【答案】（1）证明：如图：连接 ，
∵ 边的切点为 ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，
设圆的半径为r，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴
∴ ．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接 ，由矩形的性质及切线的性质可得∠D=∠OHD=90°，可证OH∥AD，利用平行线的性质可得 ， 根据等边对等角可得 ，即得 ；
（2）利用（1）结论先求出， 设圆的半径为r，连接 ， 根据圆周角定理及直角三角形的性质可得 ，利用勾股定理求出EH=r， 同理 ， 从而得出，继而得出比值.
19．【答案】（1）证明：连接 并延长交 于 ，连接 ．
与 相切，切点为 ，
，
是直径，
，
，
，
，
．
（2）解：过 作 交 延长线于 ．
，
．
四边形 是圆内接四边形，
，
由①知 ，
，
，
设 ， ，
中， ，
点 是劣弧 的中点，
，
，
，
中， ．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【分析】（1）圆内过直径 的三角形为直角三角形，过圆心到切点的直线垂直切线，进行角之间的转换即可求出答案。
（2）进行角之间的转换，构造直角三角形，运用锐角三角函数，求出边长即可得到答案。
20．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴.
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理可得∠BOD=∠COD=90°，根据平行线的性质可得∠ODP=∠BOD=90°，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC=90°，由勾股定理可得BC，根据平行线的性质可得∠PDC=∠BCD，由圆周角定理可得∠BCD=∠BAD，则∠BAD=∠PDC，根据同角的补角相等可得∠ABD=∠PCD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△DCP，然后根据相似三角形的性质进行计算.
21．【答案】（1）解：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
由（1）得：∵ ，
∴ ，
∵O、G分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设半径 为r，则 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为2．
【知识点】切线的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）圆中运用圆的切线性质以及弧长定理即可求出答案。
（2）三角形中位线性质以及直角三角形中三角函数即可求出答案。
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