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2023-2024学年度第一学期上海市九年级数学期末模拟热身卷
选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以下条件不能推得的是（ ）
A． B．
C． D．
5． 已知 ，下列说法中，不正确的是（ ）
A． B．与方向相同 C． D．
6． 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(-1，0)， 对称轴为直线x=2，下列结论：
①抛物线与x轴的另一个交点是(5，0)； ②4a-2b+c>0：
③4a+b=0； ④当x>-1时，y的值随x值的增大而增大。
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．如图，已知和的相似比是，且的面积是3，则的面积等于 ．
已知点为线段的黄金分割点，．若，则的长为 ．
若将二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，
所得二次函数的表达式是 .
平面直角坐标系内有一点，那么与x轴正半轴的夹角为， ．
如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ．
二次函数图像上部分点的坐标满足如表：
x … …
y … …
那么m的值为 ．
如图，在中，，，，则的长为 ．
如图，平分，，如果 ，那么 ．
如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，
则小辰上升了 米．
如图，、分别是的两条中线，设，，
那么向量用向量，表示为 ．
17 .定义：等腰三角形的底边与底边上的高的长度的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．
若等腰的周长为，则它的“特征值” ．
如图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，
过点P作交边于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．
如果直线，那么的长为 ．
解答题（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19．计算： ．
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．
求抛物线的表达式；
P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，
如果，求点P的坐标．
21．如图，在四边形中，平分，，．
(1)求证：且求出的值；
(2)如果，求四边形的面积．
无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，
测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．
已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，
从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：___________度，___________度；
(2)求楼的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面的高度．
23．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G， ．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）连接DG，求证：．
24．已知抛物线经过点和．
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点坐标C．
(2)求的值．
(3)若原抛物线经过平移后经过点和点，若的中点恰好在轴上，
且且点在点的右侧，求平移后抛物线的表达式．
已知的余切值为2，，点D是线段上一动点（点D不与点A、B重合），
以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，
连接，并延长交射线于点P．
(1)连接，求证：；
(2)如图1，当点P在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长；
(3)连接，当为等腰三角形时，求线段的长．
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2023-2024学年度第一学期上海市九年级数学期末模拟热身卷解析
选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查比例的性质，根据，设，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴；
故选A．
2．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是二次函数，故本选项符合题意；
C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数．
3．在中，，，，下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【详解】解，，，
.
A.，故此选项正确；
B. ，故此选项错误；
C. ，故此选项错误；
D. ，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
4．如图，以下条件不能推得的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定；
根据相似三角形的判定定理逐项判断能否得出即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，所以A选项不符合题意；
∵，
∴，
由A可知，所以B选项不符合题意；
∵，
∴，
由A、B可知，所以C选项不符合题意；
由不能推出，
则不能确定，
∴不能推得，所以D选项符合题意．
故选：D．
5．已知 ，下列说法中，不正确的是（ ）
A． B．与方向相同 C． D．
【答案】A
【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：A、，故该选项说法错误，符合题意；
B、因为，所以与方向相同，故该选项说法正确，不符合题意；
C、因为，所以，故该选项说法正确，不符合题意；
D、因为，所以，故该选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
6．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(-1，0)， 对称轴为直线x=2，下列结论：①抛物线与x轴的另一个交点是(5，0)； ②4a-2b+c>0：③4a+b=0；④当x>-1时，y的值随x值的增大而增大。其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质以及图象分别进行判断即可.
【详解】解：∵①二次函数的对称轴为x=2，图象与x轴左侧的交点为（-1,0），
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5,0）,故①正确；
②将x=-2代入二次函数，4a-2b+c＞0，故②正确；
③当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小，故③错误.
故答案为：B.
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及图象,掌握二次函数的性质是解题的关键.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．如图，已知和的相似比是，且的面积是3，则的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵和的相似比是，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
8．已知点为线段的黄金分割点，．若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】利用黄金比例列出方程解答即可．
【详解】解：点为线段的黄金分割点，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解答本题的关键．
若将二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，
所得二次函数的表达式是 .
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，直接利用函数图象平移法则，左加右减，上加下减，得出答案．
【详解】解：将二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，
即，
故答案为：．
10．平面直角坐标系内有一点，那么与x轴正半轴的夹角为， ．
【答案】2
【分析】过点P作轴于点A，由P点的坐标得、的长，根据正切函数的定义得结论．
【详解】解：过点P作轴于点A，如图：
∵点，
∴，，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．
11．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数有最高点，得出抛物线开口向下，即k+1＜0，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴k+1＜0，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．
12．二次函数图像上部分点的坐标满足如表：
x … …
y … …
那么m的值为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【详解】解：、时的函数值相等都是，
函数图像的对称轴为直线
和也关于直线对称，
当和时的函数值也相等，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
13．如图，在中，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过A作AD垂直于BC，在中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】解：过A作，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，即，
根据勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
14．如图，平分，，如果 ，那么 ．
【答案】4
【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可得，得到，由可得，证明可得，求出的长即可得到答案．
【详解】解：平分，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，
则小辰上升了 米．
【答案】100
【分析】根据坡比的定义得到，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：根据题意得，所以∠A=30°，
所以:（m）．
故答案为：.
16．如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为 ．
【答案】/
【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解．
【详解】解：如图，连接
∵、分别是的两条中线，
∴，是的中位线
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则是解题的关键．
17．定义：等腰三角形的底边与底边上的高的长度的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰的周长为，则它的“特征值” ．
【答案】/0.45
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当等腰三角形的腰长时，当等腰三角形的底边长时，然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长时，
等腰的周长为100，
而，
此种情况不存在，
当等腰三角形的底边长时，
等腰的周长为100，
它的腰长，
它的底边上的高；
它的“特征值”；
故答案为：．
如图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，
过点P作交边于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．
如果直线，那么的长为 ．
【答案】
【分析】如图，设．证明，根据，构建方程求解．
【详解】解：如图，设．
∵， ，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
在在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验是分式方程的解，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查直解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19．计算： ．
【答案】
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，如果，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得出，求出直线的解析式为，设，则，可得出，解方程可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为．
将代入得：，
解得，
抛物线的解析式为，即；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，
，
．
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
，
整理得，
解得，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，在四边形中，平分，，．
(1)求证：且求出的值；
(2)如果，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)246
【分析】（1）先利用两角对应相等判断，再利用直角三角形的边角间关系和相似三角形的性质得结论；
（2）利用直角三角形的边角间关系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面积公式得结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴＝；
（2）∵，
∴＝，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
＝
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．
已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，
从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：___________度，___________度；
(2)求楼的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面的高度．
【答案】(1)75；60
(2)米
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；
（2）在中，求出DE的长度再根据计算即可；
（3）作于点G，交于点F，证明即可．
【详解】（1）过点A作于点E，
由题意得：
∴
（2）由题意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米．
（3）作于点G，交于点F，
则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
23．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G， ．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）连接DG，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【分析】（1）由及∠AFG=∠EFA，证得△FAG∽△FEA，结合AE∥BC，证得∠EBC =∠FAG，从证得结论；
（2）由（1）的结论得到，证得△CDG ∽△CAB，结合AE∥BC，证得，继而证得结论.
【详解】（1）∵，
∴．
又∵∠AFG=∠EFA，
∴△FAG∽△FEA．
∴∠FAG=∠E．
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC．
∴∠EBC =∠FAG．
又∵∠ACD=∠BCG，
∴△CAD ∽△CBG．
（2）∵△CAD ∽△CBG，
∴．
又∵∠DCG=∠ACB，
∴△CDG ∽△CAB，
∴．
∵AE∥BC，
∴．
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用比例的性质以及中间比是解题的关键.
24．已知抛物线经过点和．
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点坐标C．
(2)求的值．
(3)若原抛物线经过平移后经过点和点，若的中点恰好在轴上，且且点在点的右侧，求平移后抛物线的表达式．
【答案】(1)；；
(2)3
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握待定系数法求函数解析式，掌握勾股定理及三角函数．
（1）通过待定系数法求函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式求点坐标．
（2）由点，，坐标可得三角形为直角三角形，进而求解．
（3）由中点在轴上可得点纵坐标，由可得的值，从而可得，坐标，进而求解．
【详解】（1）抛物线经过点和，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
，
顶点坐标为；
（2）连接，，，如图所示：
，，，
，
，
，
，
，
；
（3）中点在轴上，
，
，即点坐标为，
，点在点右侧，且点坐标为，
，
解得，
，坐标为，，
设抛物线平移后解析式解析式为，
将，代入得，
解得，
．
25．已知的余切值为2，，点D是线段上一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，连接，并延长交射线于点P．
(1)连接，求证：；
(2)如图1，当点P在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长；
(3)连接，当为等腰三角形时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】（1）连接，根据余切的定义，设，则，，再根据余切的定义即可得证；
（2）设，则，，先根据正切的定义可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质即可得；
（3）设正方形的边长为，则，分三种情况：、、，先根据余切的定义求出的值，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵的余切值为2，
∴，
设，则，
∴，
，
∴．
（2）解：由（1）可知，设，则，
∴，
∵的正切值为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
，
∴，
，即，
解得．
（3）解：设正方形的边长为，则，
由题意，分三种情况：
①如图，当时，为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，即，
解得；
②如图，当时，为等腰三角形，
∴，
，
，
，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
，即，
解得；
③如图，当时，为等腰三角形，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得，
，
∴，
，即，
解得，
综上，当为等腰三角形时，线段的长为或或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、正切、余切，正确求出与正方形边长的关系是解题关键．
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