2023-2024学年宁夏石嘴山重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年宁夏石嘴山重点中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线的实轴长为，焦点为，，则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
2.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
3.已知椭圆的一个焦点为圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
5.顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线方程是( )
A. B. C. D.
6.已知向量，向量，满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线，圆：，若直线与圆相切，则( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知平面内的两个向量，，且若为平面的法向量，则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于双曲线：与双曲线：，下列说法正确的是( )
A. 它们有相同的渐近线 B. 它们有相同的顶点
C. 它们的离心率不相等 D. 它们的焦距相等
10.下列说法错误的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
11.如图所示，棱长为的正方体中，，分别在，上，且，则( )
A.
B.
C.
D. 与是异面直线
12.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，且，则______．
14.直线：与椭圆有公共点，则的取值范围是 ．
15.倾斜角为且在轴上的截距为的直线被圆所截得的弦长为，则 ______ ．
16.设为抛物线：的焦点，点在抛物线上，点，且，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线经过两直线：与：的交点，且与直线垂直．
求直线的方程；
若点到直线的距离为，求实数的值．
18.本小题分
已知：，，，，，求：
，，；
与所成角的余弦值．
19.本小题分
求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：
与椭圆有相同的焦点，且一条渐近线方程为的双曲线．
已知直线被抛物线截得弦长为，求该抛物线方程．
20.本小题分
如图，已知一艘我海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为问：这艘外籍轮船能否被我海监船监测到？若能，持续时间多长？要求用坐标法
21.本小题分
如图，已知平面，为矩形，，，分别为，的中点．
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值．
若是上的动点，当的面积最小时，求到平面的距离．
22.本小题分
已知椭圆的离心率为点在上，为坐标原点．
求的方程；
已知直线：，与有两个交点，，线段的中点为．
证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．
若，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可设双曲线方程为，
且，，则，．
双曲线的标准方程为．
故选：．
由题意可设双曲线方程为并求得与的值，再由隐含条件求得，则双曲线方程可求．
本题考查双曲线标准方程的求法，是基础的计算题．
2.【答案】
【解析】解：圆：的圆心，
半径，
圆：的圆心，
半径，
，
圆与圆相交．
故选：．
由圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，知，由此得到圆与圆相交．
本题考查圆与圆的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3.【答案】
【解析】解：由圆的方程可得圆心，
由题意可得，，可得，
进而可得，
所以椭圆的左顶点．
故选：．
由圆的方程可得圆心的坐标，由题意可得椭圆中，的值，进而可得的值，可得左顶点的坐标．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据顶点在原点，对称轴为轴，可设抛物线方程为：．
顶点到准线的距离为，
，
，
所求抛物线方程为．
故选：．
根据顶点在原点，对称轴为轴，可设抛物线方程为：，利用顶点到准线的距离为，即可求得抛物线方程．
本题考查抛物线的标准方程，解题的关键是定型与定量，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量平行的判断，涉及空间向量的坐标表示，属于基础题．
根据题意，设，有，求出、的值，计算可得答案．
【解答】
解：向量，向量，
若，设，，
则有，则，则有，，
则，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：圆：的圆心，半径，
因为直线与圆 相切，
所以，所以，
解得或．
故选：．
由题意可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的值．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：平面内的两个向量，，
，为平面的法向量，
，
，
解得，．
则，的值分别为，．
故选：．
先利用向量坐标运算法则求出，再由平面的法向量的性质列方程组，能求出，的值．
本题考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：双曲线：的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为．
双曲线：，即：，它的顶点坐标，
渐近线方程：，离心率为：，焦距为．
所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等．
故选：．
求解两个双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率，焦距判断选项即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系，直线的两点式的使用条件和直线截距相等的直线方程的应用判定、、、的结论．
【解答】
解：对于：当时，“直线与直线互相垂直”，
当直线与直线互相垂直时，解得或，
故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A错误．
对于：直线的倾斜角，则，
所以倾斜角的取值范围是，故B正确；
对于：过，且，两点的所有直线的方程为，故C错误．
对于：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为：
：经过原点的直线为，
设在坐标轴上的截距为，设直线方程为，
所以，解得，故，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由题建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
对于，，，，，故A正确；
对于，，，故B错误；
对于，，，，即，故C正确，D错误．
故选：．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查空间向量在判断空间位置关系上的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：作抛物线的准线，则直线过点，过点作垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义知，
由轴，得，
，
设，则，由椭圆定义可知，
，
在中，由余弦定理可得：，
整理得，
解得，
当时，；
当时，离心率为．
综上所述，椭圆的离心率为或．
故选：．
作垂直于抛物线的准线于点，由抛物线的定义得出，并设，可得，由椭圆定义可得出，在中利用余弦定理可求出的值，可得出椭圆的离心率的值．
本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
13.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
故答案为：．
根据所给的向量坐标写出要求模的向量坐标，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的限制，把不合题意的结果去掉．
向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线和椭圆的位置关系，属于基础题．
联立直线方程和椭圆方程，运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于，解不等式可得所求范围．
【解答】
解：由直线：与椭圆有公共点，
联立，整理得．
所以，
解得或．
故的取值范围为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：倾斜角为且在轴上的截距为的直线方程为：，即，
圆心到直线的距离为，，
解得．
故答案为：．
设直线方程，求得圆心到直线的距离，再利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到线的距离公式，属基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．
利用已知条件，结合抛物线的定义，求解的坐标，然后求解即可．
【解答】
解：为抛物线：的焦点，点在上，点，，
由抛物线的定义可知不妨在第一象限，
所以．
故答案为：．
17.【答案】解：联立两直线：与：，得交点，
与直线垂直，
直线的方程为；
点到直线的距离为，
，
或．
【解析】求出交点坐标，利用与直线垂直，求直线的方程；
若点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式，建立方程，即可求实数的值．
本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．
18.【答案】解：，
，
解得，，
故，，
又因为，所以，即，解得，
故
由可得，，
设向量与所成的角为，
则

【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题．
由向量的平行和垂直可求出，，的值，即可得向量坐标；
由可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．
19.【答案】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
不妨设该双曲线的方程为，，
即，，
因为椭圆的焦点在轴上，
所以，
则双曲线标准方程为，，
因为，，
所以，
则该双曲线的焦点坐标为，
即，
解得，
故满足条件的双曲线的标准方程为；
因为直线被抛物线截得的弦为，
分别过，向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，
不妨设，，
易知为抛物线的焦点，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为直线可变形为，
由抛物线定义得
，
解得，
故满足条件的抛物线的标准方程为．
【解析】由题意，根据所给渐近线方程设出所求双曲线方程，结合焦点坐标相等以及，，之间的关系再进行求解即可；
分别过，向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，将抛物线方程与过焦点的直线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系分
则，，圆方程
直线方程：，即分
设到距离为，则
所以外籍轮船能被海监船检测到 分
设监测时间为，则分
答：外籍轮船能被海监船检测到，时间是小时． 分
【解析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，即可得出结论．
本题主要考查了根据实际问题选择函数类型．解题的关键是看圆与直线是否有交点．
21.【答案】证明：若为中点，连接，，又、为、的中点，底面为矩形，
所以且，而且，
所以且，故A为平行四边形，
故，又面，面，则面．
解：由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，
所以，，，，
则，，，
若是面的一个法向量，
则，令，故，
所以与平面所成角的正弦值为：
．
解：因为，，，
，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以，
所以最小时，最小，
因为为等腰直角三角形，所以当为中点时，，此时最小，
则，所以，
设到平面的距离为，则．
【解析】若为中点，连接，，易证为平行四边形，则，根据线面平行的判定证结论；
构建空间直角坐标系，求的方向向量与平面的法向量，代入公式即可；
可得最小时，最小，再利用点到面的向量的公式计算即可．
本题考查线面平行的判定，考查点面的距离的计算，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．
22.【答案】解：因为椭圆的离心率为，且点在椭圆上，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为；
证明：不妨设，，，
联立，消去并整理得，
此时，
整理得，
由韦达定理得，
因为线段的中点为，
所以，
即，
所以，
则，
故直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
当时，
由知，
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
因为点到直线的距离，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为或．
【解析】由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式再进行求解即可；
设出，，的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及中点坐标公式求出点的坐标，进而可得直线的斜率，再进行求证即可；
结合中所得信息得到直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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