2023-2024学年重庆市三峡名校联盟高一上学期数学联考试题（含解析）

2023-2024学年重庆市三峡名校联盟高一上学期数学联考试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则．( )
A. 或 B. C. D. 或
2.“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的零点所在区间是
( )
A. B. C. D.
4.一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为
( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，则、、的大小关系是
( )
A. B. C. D.
6.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度单位：满足：若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为参考数据：( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
7.函数的定义域为，对任意的，都有成立，且函数为偶函数，则
( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则
( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，则下列不等式一定成立的是
( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A.
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 若命题“，”为假命题，则
11.下列命题为真命题的是( )
A. 为同一函数
B. 已知，则的值为
C. 函数的单调递减区间为
D. 已知，，则
12.任意实数均能写成它的整数部分与小数部分的和，即其中表示不超过的最大整数比如：，其中则下列的结论正确的是
( )
A.
B. 的取值范围为
C. 不等式的解集为
D. 已知函数，的值域是．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数在上是减函数，则________．
14.________．
15.函数且的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是________．
16.已知函数，其中，则的 值域是 ；若且对任意，，总存在，使得，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，求，的取值范围
已知，且，，试比较与的大小．
19.本小题分
设不等式的解集为，关于的不等式的解集为．
求集合；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
21.本小题分
已知函数的定义域为，当时，．
求的值；
证明：函数在上为单调减函数；
解不等式．
22.本小题分
已知定义在上的函数．
已知当时，函数在上的最大值为，求实数的值；
若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性，即可求解．
解：由于，若，则，不合题意；
所以，解得，
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：，或，，
，．
故“”是“，”的必要不充分条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查判断函数零点、方程的根所在区间，属于基础题．
直接利用零点判定定理判定求解即可．
【解答】
解：在上是增函数．
而，，，，
，
故函数在区间上有零点．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出、与的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
解：一元二次不等式的解集为，
，且，是方程的两个实数根，
，解得，其中；
不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】分别计算出、、的范围，比较大小即可得．
解：，，，即，
则有．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果．
解：由题意可知，，解得．
即至少大约需要的时间为分钟．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】由偶函数和减函数的性质判断即可
解：因为函数为偶函数，所以，
设，则，所以，
所以，
又对任意的，都有成立，
所以，故在上单调递减，
所以，
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误．
将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系．
解：有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解．
的图象如下图示，

由图知：，
所以，即的取值范围是．
由二次函数的对称性得：，
因为，即，故．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】根据不等式性质判断，作差法判断；、选项举出反例即可．
解：对于，由得，正确；
对于，，
因为，所以，得，正确；
对于，若，，，错误；
对于，当时，，错误．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】对选项：分数是有理数；对选项：当时，集合也仅有一个元素；对选项：运用命题的否定即可得；对选项：写出该命题的否定，计算即可得．
解：对选项：是有理数，故 A正确；
对选项：当时，有，故 B错误；
对选项：“，”的否定是“，”，故 C正确；
对选项：命题“，”为假命题，
即“，使”为真命题，
即小于在上的最大值，即，故 D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】首先明确真假命题相关定义，并对选项进项分析判断即可．
解：中，的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故 A错误；
中，，且令，得到，
故，则，故，故 B正确
中，已知函数，先令，
解得，故函数的定义域为，令，易知对称轴为，
故在单调递增，在单调递减，由复合函数单调性质得的单调递减区间为，故 C正确
中，已知，则，
则，故 D正确．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】根据及符号的含义逐个选项验证可得答案．
解：因为，所以，所以， A正确；
由可得，不正确；
由可得，所以， C正确；
，因为，所以，
当时，；当时，，所以的值域是， D正确．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】由幂函数定义算出，由函数单调性舍去错误答案即可得．
解：又为 幂函数，则有，解得或，
当时，，在上单调递增，不符，故舍去，
当时，，在上是减函数，符合．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】根据对数函数运算法则求解．
解：．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
解：对于函数且，
令，可得，且，所以，，即，，
对任意的正数都有，即，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值是
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】，结合二次函数性质即可得值域；，时，的 范围可计算出，则其范围在在的值域内，计算即可得的取值范围．
解：，
由，则，故；
且对任意，，
总存在，使得，
即在，上的所有取值都在在的值域的内，
由时，，
故对任意，，，
在的值域为，
故有，解得．
故答案为：；．
17.【答案】解：当时，，所以．
因为，，
所以， 解得：．
故的 取值范围为：．

【解析】【分析】当时，，然后利用集合的并集运算求解；
先求出，然后利用并集运算，求出的取值范围．
18.【答案】解：，，
，．
．
又，
，
因为且，，
所以；
又因为，所以，，
所以．

【解析】【分析】由不等式的性质直接求范围即可；作差，再结合不等式的性质比较即可．
19.【答案】解：由不等式 ，可得 ，
即 ，且 ，所以 ，所以 ．
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以集合 是 的真子集，
由不等式 ，可得 ，
当 时，不等式的解集为 ，即 ，因为 ，则 ；
当 时，不等式为 ，解得 ，即 ； 成立；
当 时，不等式的解集为 ，即 ，因为 ，则 ，
综上所述 ，即 的取值范围是 ．

【解析】【分析】根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；
根据题意，转化为 ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合 ，进而求得 取值范围．
20.【答案】解：由题意得：
．
由，得，
即，
解得．
由于，故设备企业从第年开始盈利；
方案一：总盈利额，当时 ．
故方案一共总利润，此时；
方案二：每年平均利润，当且仅当时等号成立．
故方案二总利润，此时．
比较两种方案，获利都是万元，但由于第一种方案需要年，而第二种方案需要年，故选择第二种方案更合适．
【解析】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题．
由题意写出关于的函数式，由求得的范围，再由，可得该设备企业从第年开始盈利；
利用配方法求最值得到方案一的总盈利额；利用基本不等式求最值求出的最大值，得到方案二的总利润，可得两种方案获利都是万元，再结合获得最大利润的年限得结论．
21.【答案】解：由题意知，令，
则，得；
当时，有，且当时，
，且，则，．
由，得，
有，
即，所以函数在上为单调减函数；
由，得，
由，得，
即，由知，
所以，
由知函数在上为单调减函数，
所以，解得，
即原不等式的解集为．

【解析】【分析】令，代入题意中的等式即可求解；
由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性；
将原不等式转化为，由得，结合建立不等式组，解之即可求解．
22.【答案】解：令，则：，
设，
由题意，在上的最大值为，
因为，二次函数开口向上，
因此有，或，
由不成立，
由；
根据局部对称函数的定义可知，，
即，
，
，
令，
则，
因为，当且仅当，时等号成立，
函数在区间上单调递增，所以，
所以，所以的取值范围是．

【解析】【分析】运用换元法，结合指数函数的单调性、二次函数最值性质进行求解即可；
运用题中定义，结合常变最分离法、指数幂的运算性质、基本不等式进行求解即可．
本题的关键是运用常变量分离法、运用指数幂的运算性质、利用基本不等式进行求解．
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