2022-2023学年江苏省常州市教育学会高二上学期学业水平监测数学试题（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市教育学会高二上学期学业水平监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过，两点的直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.函数的单调减区间为
( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，若，则的前项和为
( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为若，则到的距离为
( )
A. B. C. D.
7.设是公差为的等差数列，且，，记为数列的前项和，则
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为若点是线段的中点，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线不全为，则
( )
A. 曲线是中心对称图形
B. 曲线的周长为
C. 曲线是以为圆心，为半径的圆
D. 曲线与圆有个公共点
10.函数的导函数的图象如图所示，则
( )
A. 是函数的极值点 B. 是函数的极大值点
C. 在区间上单调递减 D. 是函数的极小值点
11.已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的左支没有公共点，则双曲线的离心率可能为
( )
A. B. C. D.
12.在边长为的等边三角形纸片中，取边的中点，在该纸片中剪去以为斜边的等腰直角三角形得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为斜边的等腰直角三角形得到新的纸片，以此类推得到纸片，，，，，设的周长为，面积为，则
( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在区间处的瞬时变化率为______．
14.以抛物线的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的方程为______．
15.若数列从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为二阶等差数列已知数列是二阶等差数列，且，，，则______．
16.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足的面积为，，过点作的垂线交椭圆于，两点，则的周长为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，，______；；，，成等比数列请在，，这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题：
求数列的通项公式；
求的最大值并指明相应的值．
18.本小题分
已知函数，，且．
求曲线在点处的切线方程；
若对于区间上的任意两个实数，，都有，求实数的最小值．
19.本小题分
已知圆的半径为，圆心在直线上，点．
若圆心在轴上，过点作圆的切线，求切线方程；
若在圆上存在点，满足为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．
20.本小题分
已知数列中，．
求证：是等比数列，求数列的通项公式；
若数列满足，其前项和为，求．
21.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程；
过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知函数，且曲线在原点处的切线方程为．
求实数的值；
讨论在上的零点个数，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】求出过 两点的直线的斜率，结合倾斜角和斜率的关系，即可求得答案．
解：由题意得经过 ， 两点的直线的斜率为 ，
而直线倾斜角范围为 ，
故经过 ， 两点的直线的倾斜角为 ，
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】求出导数，利用导数小于可得答案．
解：函数 的定义域为 ，
，
由 得 ，
所以 的单调减区间为 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据已知求出 ，然后即可根据等比数列的性质得出答案．
解：设等比数列公比为 ，
根据已知可得， ，
所以， ，解得 ，
所以， ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】求出导函数，由已知得出 恒成立进而推得 恒成立，由 列出不等式，解不等式即可得出答案．
解：由已知可得， ．
因为 在上单调递增，所以 恒成立．
因为 ，
所以 恒成立，
所以， ，解得 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据数列递推式求出 的表达式，即可得 的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案．
解：由题意知数列 满足 ，
当 时， ；
当 时， ，
故 ，则 ，
也适合该式，故 ，
则 ，
故 的前项和为
，
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出 ， 的长度，然后列出方程即可得到结果．
解：如图，不妨设点 在 轴上方，准线 与 轴交于点 ，
因为点 在抛物线上，所以 ， ，
又 ， 为正三角形， ，
又 ，在 中， 即 ，
解得 或 舍去，所以 到 的距离为 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】令 ，根据函数的单调性，结合已知即可得出 ， 两式相加整理，即可推得 然后根据等差数列前 项和公式以及等差数列的性质，求解即可得出答案．
解：令 ，则可知 单调递增．
由已知可得 ， ，
所以， ， ，所以 ．
又 ，
显然 ，
所以， ， ．
根据等差数列前 项和公式可知，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】求出点的轨迹方程，再结合题意求出点的轨迹方程，结合图形以及圆与圆的位置关系，即可求得答案．
解：由题意知两条动直线 和 交于点 ，
联立直线方程消去可得 ，
由于 ，即 ，
该直线过定点 ，但不会过点 ，
故点轨迹方程为 去掉点 ，
圆心为 ，半径为 ；
上两点 ， 间的距离为 ，
为线段 的中点，则圆的圆心 到的距离为 ，
则点轨迹方程为 ，圆心为 ，半径为 ；
由于 与圆 的圆心距满足 ，
故这两圆外离，
则 的最小值为 ，
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】利用 代入曲线方程验证，可判断；作出曲线，结合圆的周长判断；数形结合，结合曲线图示判断；根据圆与圆的位置关系判断两圆在第一象限内情况，数形结合，判断．
解：对于， 满足 ，
即曲线 是中心对称图形，A正确；
对于，化简 ， 不全为，当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
作出曲线 ，如图示：曲线由半径为 的个半圆组成，
结合对称性可知曲线 的周长为 ，B正确；
由曲线图示可知曲线由半径为 的个半圆组成，
第一象限内部分为以 为圆心， 为半径的半圆，C错误；
对于，先考虑在第一象限内情况，
圆 与 的圆心距为 ，
，即曲线与圆相交，
结合图象知圆 与 在第一象限内有个交点，
根据对称性可知曲线 与圆 有个公共点，D正确，
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况．
解：对于项，由图象可知，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减．
所以， 在 处取得极大值故A正确；
对于项，由图象可知，
当 时， 恒成立，且不恒为，所以 在 上单调递减．
所以，不是函数 的极大值点故B错误；
对于项，由可知， 在区间 上单调递减故C正确；
对于项，由可知， 在 上单调递减．
所以，不是函数 的极小值点故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】求出双曲线的渐近线 与 之间的距离，根据直线和圆的位置关系，列不等式，即可求得双曲线离心率范围，即可判断答案．
解：双曲线 的一条渐近线方程为 ，即 ，
则 与直线 间的距离为 ，
由于点 是直线 上任意一点，圆 与双曲线 的左支没有公共点，
故 ，即双曲线离心率 ，
结合选项，可知，B正确，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】本题关键在于由裁剪规律得出 以及 之间的递推规律，再利用累加法由等比数列前 项和公式即可求得结果画出图形依据裁剪规律可得 比 多了两条边 ，少了线段 ，即可得到 ，即A正确， 比 少了一个以 为斜边的等腰直角三角形，可得 ，C错误；再分别利用和中的结论，由累加法计算可得BD正确．
解：根据题意可知，如下图所示规律：
对于，易知 比 多了两条边 ，少了线段 ；
由 ，
可得 ，故A正确；
对于，利用中结论由累加法可得，
当 时， ，又 ，
所以
，显然当 时， 也符合上式，即B正确；
对于， 比 少了一个以 为斜边的等腰直角三角形，
所以 ，即C错误；
对于，利用中结论由累加法可得，
当 时， ，又 ，
所以 ，显然当 时， 也符合上式，即D正确；
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】根据幂函数的求导法则得出 ，进而根据导数的定义代入 ，即可得出答案．
解：由已知可得， ，
根据导数的定义可知，
函数 在区间 处的瞬时变化率为 ．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线的焦点和准线，确定圆心和半径，即得答案．
解：由题意得抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
故所求圆的圆心为 ，半径为，
故圆的方程为： ，
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】根据已知结合二阶等差数列的定义，即可得出 进而根据累加法，即可得出答案．
解：由已知可得， ， ，
根据二阶等差数列的定义可知，
是以 为首项，公差为 的等差数列，
所以， ．
所以，
．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的定义和三角形的面积公式得到 和 ，利用余弦定理得到 与 的关系式，结合椭圆的离心率求出 和 的值，可以证明 是 的中垂线，最后再根据椭圆的定义求解即可．
解：
椭圆 的离心率为 ，
，
， ，
，

点 在椭圆上， ，
，
在 中，根据余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，
，与上式联立，解得 ， ，
，
由题意知， ，
是 的中垂线，
， ，
， 在椭圆上，
，
的周长为 ．
故答案为： ．
17.【答案】解：选：由于 ，即 ，
故 ，即数列 为公差是的等差数列，
设首项为 ，则由 ，得 ，即 ，
故 ；
选，由于 ，即 ，
故 ，即数列 为公差是的等差数列，
设首项为 ， ，得 ，即 ，
故 ；
选，由于 ，即 ，
故 ，即数列 为公差是的等差数列，
设首项为 ，由 ， ， 成等比数列，得 ，
即 ，解得 ，
故 ；
由可得 ，
由于为正整数，故取或时， 取到最大值 ．

【解析】【分析】由 可推出数列 为公差是的等差数列，选或时，结合等差数列的通项公式或者前项和公式，求出首项，即可得答案；选，结合等比数列性质以及等差数列的通项公式，求出首项，即可得答案；
求出 的表达式，结合二次函数知识，即可求得答案．
18.【答案】解：由已知可得， ．
又 ，所以 ，解得 ，
所以， ， ， ．
根据导数的几何意义可知，
曲线 在点 处的切线的斜率 ，
代入点斜式方程可得， ，
所以，切线方程为 ．
由知， ，
解 ，可得 ．
解 ，可得 或 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递增；
解 ，可得 ，所以 在 上单调递减．
所以， 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ．
又 ， ，
所以， 在区间 上最大值为 ，最小值为 ，
所以， ， 恒成立．
又 恒成立，
所以 ，实数 的最小值为．

【解析】【分析】求出导函数，结合已知得出 ，进而解出 根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；
根据导函数得出函数在区间 上的单调性，求出函数的极值，结合端点处的函数值，求出函数的最值，即可得出答案．
19.【答案】解：联立 可得圆心 ，
所以，圆 的方程为 ．
当切线斜率不存在时，切线方程为 ，
此时圆心 到 的距离 ，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，
切线方程为 ，即 ．
因为 与圆 相切，
所以有 到 的距离 ，
即 ，整理可得 ，解得 ，
所以，切线方程为 ，整理可得 ．
综上所述，切线方程为 或 ．
设圆心 ， ，
则 ， ．
由 可得， ，
整理可得， ，即 ，
所以，点 在以 为圆心， 为半径的圆上．
由已知可得，圆 与圆 有公共点，
所以， ，即 ，
平方整理可得， ，解得 或 ．

【解析】【分析】由已知求出圆心 ，以及圆的方程分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案；
由已知求出点 满足的轨迹为圆 ，并求出圆 的方程根据已知得出圆 与圆 有公共点，列出不等式，求解即可得出答案．
20.【答案】解：证明：由题意知数列 中 ， ，
故 ，
故 是等比数列，且首项为 ，公比 ，
故 ，则 ；
，
故
，
设 ，
则 ，
故
，
故 ，则 ．

【解析】【分析】根据数列递推式，取倒数可得 ，结合等比数列定义即可证明结论，继而求得通项公式；
结合的结果可得 的表达式，利用分组求和以及错位相减法求数列的和，即可得答案．
21.【答案】解：由已知可得，双曲线的渐近线方程为 ，右焦点 ，
右焦点 到其中一条渐近线 ，即 的距离 ．
则由已知可得 ，解得 ，
所以，双曲线的方程为 ．
假设存在实数 ，使得 ．
由题意知点 在第一象限，其坐标为 ，
则 ．
因为双曲线的右支，所以 ，
由 可得， ，
求导可得， ，
根据导数的几何意义可知，直线 的斜率为 ．
又直线 经过点 以及点 ，所以 ，
所以有 ．
由可解得， ， ，点 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，直线 的斜率为 ．
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 可得 ，
即 ， ，
所以， ．
联立 可得， ，
恒成立．
由韦达定理可得， ．
因为 都在直线 上，
所以 ，
所以 ， ，
所以，

，
所以， ．
因为 ，
所以 ，假设成立．
所以，存在实数 ，使得 ，且 ．

【解析】【分析】由双曲线方程求得 ，求导根据导数的几何意义得出直线 的斜率为 ，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出点 的坐标以及切线的斜率根据已知列出关于 方程组，求解即可得出答案；
假设存在设 ，有 由双曲线方程求得 ，求导根据导数的几何意义得出直线 的斜率为 ，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出 及其斜率，进而设出 的方程为 ， ， 联立直线 的方程，求出 坐标，表示出 联立直线 与双曲线的方程，结合韦达定理，表示出 ，再根据假设，化简运算，求解即可得出答案．
22.【答案】解：由已知可得， ．
根据导数的几何意义结合已知可得， ，
所以， ， ．
由可得， ， ．
当 时，有 ，
所以 恒成立，
所以， 在 上单调递减， 是一个零点；
当 时， ，
设 ，则 恒成立，
所以， ，即 在 上单调递增．
又 ， ，
所以，根据零点存在定理可知， ，使得 ．
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．
又 ，所以 ．
因为 ，
根据零点存在定理可知， ，使得 ．
综上所述， 在上的零点个数为．
因为 在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， 在 处取得最小值 ．
又 ，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ， ，
所以， ， ．

【解析】【分析】先根据导函数得出函数的单调性，进而结合零点存在定理即可得出函数零点的情况求出导函数，根据导数的几何意义，结合已知，即可得出答案；
利用导函数分别得出函数在 ，以及 的单调性，根据零点存在定理得出零点的个数再结合函数的单调性，得出函数的最小值，进而结合三角函数的值域，即可得出证明．
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