2023-2024学年吉林省长春市德惠四中、五中、二十九中八年级（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市德惠四中、五中、二十九中八年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）如所示四幅图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）计算32013 （）2015的结果是（　　）
A．9 B． C．2 D．
3．（2分）在平面直角坐标系中，点（﹣5，6）关于x轴对称的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2分）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（　　）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
5．（2分）课本107页，画∠AOB的角平分线的方法步骤是：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M点，交OB于N点；
②分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③过点C作射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．
请你说明这样作角平分线的根据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．（2分）在我市“绿水青山”行动中，某工程队承接了6万平方米的河滩绿化任务，为了应对雨季的到来，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前20天完成了这项任务．设实际每天的绿化面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
7．（3分）计算：　 　．
8．（3分）式子①，②，③，④，⑤（x+y）中，是分式的有 　 　．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，若∠C＝90°，D是BC边上的一点，且AD＝2CD，则∠ADB的度数是 　 　．
10．（3分）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 　 　cm．
11．（3分）已知当x＝﹣3时，ax3﹣bx+5＝9，则x＝3时，ax3﹣bx+9的值为 　 　．
12．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BD的垂直平分线交AB于点F，并且恰好经过点C，则∠A＝　 　°．
13．（3分）正八边形每个外角的度数为 　 　．
14．（3分）如图，一个边长为a、b（b＜a）的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x的正方形，将图中阴影部分的面积S表示为S＝　 　．
三．解答题（共4小题，满分20分，每小题5分）
15．（5分）计算：a（2﹣a）+（a+b）（a﹣b）．
16．（5分）阅读：分式可进行如下变形：．
探索：如果，则m＝　 　；
总结：如果（其中a，b，c为常数），则m＝　 　；
应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
17．（5分）下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用四种不同的方法）
18．（5分）一艘轮船沿江顺流航行100千米和逆流航行60千米所有的时间相同．已知水流的速度是5千米/时，求轮船在静水中的速度．
四．解答题（共4小题，满分28分，每小题7分）
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
20．（7分）先化简，再求值，其中x1，．
21．（7分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，4）．
（1）在平面直角坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A的对应点A′．
（2）在（1）的条件下，求△CBB′的面积．
22．（7分）如图所示，有块长为20米，宽为10米的长方形土地，现在将三面留出宽都是x米的小路，余下的长方形（阴影部分）做菜地．
（1）用含x的式子表示：菜地的水平边长a＝　 　米，菜地的周长C＝　 　米；（结果化为最简形式）
（2）现要沿菜地四周围上木栅栏，已知小路宽为1.5米，且木栅栏每米10元，求购买木栅栏需要多少钱？
五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
23．（8分）我们经常遇到需要分类的问题，画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类．
【例题】在等腰三角形ABC中，若∠A＝80°，求∠B的度数．
分析：∠A、∠B都可能是顶角或底角，因此需要分成如图1所示的3类，这样的图就是树形图，据此可求出∠B＝50°、80°或20°．
【问题解决】已知等腰三角形ABC周长为19，AB＝7，仿照例题画出树形图，并直接写出BC的长度．
24．（8分）综合与探究
观察以下各式：
（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2．
（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝x4﹣y4．
（x﹣y）（x4+x3y+x2y2+xy3+y4）＝x5﹣y5．
请回答以下问题：
（1）填空：（x﹣y）（x6+x5y+x4y2+x3y3+x2y4+xy5+y6）＝　 　．
（2）若n≥2，求证：6n﹣2n一定能被4整除．
（3）求1019﹣1018﹣1017﹣1016﹣…﹣102﹣10﹣1的值．
六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
25．（10分）已知A，B两地相距72千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的1.2倍，如果甲比乙先行小时，那么两人相遇时所行路程恰好相等．甲、乙两人骑自行车的速度各是多少？
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（12，0），B（0，9），动点M从点A出发沿AO以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，同时动点N从点B出发沿折线BO﹣OA向终点A运动，点N在y轴上的速度是每秒3个单位长度，在x轴上的速度是每秒4个单位长度，过点M作x轴的垂线交AB于点C，连接MN、CN．点M和N都到达终点时，停止运动．设点M运动的时间为t（秒），△MCN面积为S（平方单位）．
（1）当t为何值时，点M，N相遇？
（2）求△MCN的面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式；
（3）直接写出当t为何值时，△MCN是等腰三角形．
2023-2024学年吉林省长春市德惠四中、五中、二十九中八年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．【解答】解：选项A、B、C的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：D．
2．【解答】解：32013 （）2015
＝32013 （）2013 （）2
＝（3）2013
＝1
．
故选：D．
3．【解答】解：点（﹣5，6）关于x轴对称的点坐标为：（﹣5，﹣6），
则点（﹣5，6）关于x轴对称的点在第三象限．
故选：C．
4．【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，
∠BAE2+∠DCE2（∠BAC+∠ACD）180°＝90°，即α+β＝90°，
又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，
∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β．
所以，∠AE2C＝α+β或180°﹣α﹣β；
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能是β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：D．
5．【解答】解：从画法①可知OA＝OB，
从画法②可知CM＝CN，
又OC＝OC，由SSS可以判断△OMC≌△ONC，
∴∠MOC＝∠NOC，
即射线OC就是∠AOB的角平分线．
故选：A．
6．【解答】解：由题意可得，
20，
即．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
7．【解答】解：原式＝（）2020×22020
＝（2）2020
＝1．
故答案为：1．
8．【解答】解：分式有①，③，⑤（x+y），
故答案为：，，（x+y）．
9．【解答】解：∵∠C＝90°，AD＝2CD，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝90°+30°＝120°，
故答案为：120°．
10．【解答】解：设BM＝3tcm，则BN＝4t cm，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况：
情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，
∵BN＝AM，AB＝42cm，
∴4t＝42﹣3t，
解得：t＝6，
∴AC＝BM＝3t＝3×6＝18cm；
情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，
∵BM＝AM，AB＝42cm，
∴3t＝42﹣3t，
解得：t＝7，
∴AC＝BN＝4t＝4×7＝28cm，
综上所述，AC＝18cm或AC＝28cm．
11．【解答】解：∵x＝﹣3时，ax3﹣bx+5＝9，
∴﹣27a+3b+5＝9，
∴﹣27a+3b＝4，
∴27a﹣3b＝﹣4，
∴当x＝3时，ax3﹣bx+9＝27a﹣3b+9＝﹣4+9＝5，
故答案为：5．
12．【解答】解：连接CD，
∵DE和CF分别是AC和BD的垂直平分线，
∴DA＝DC＝BC，
∴∠DCA＝∠A，∠CDB＝∠B，
∵∠CDB＝∠DCA+∠A＝2∠A，
∴∠B＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝2∠A，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°
∴∠A＝36°，
故答案为：36．
13．【解答】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数是：360°÷8＝45．
故答案为：45°．
14．【解答】解：根据题意得：S阴影＝x2+（a﹣x）（b﹣x）＝2x2﹣ax﹣bx+ab．
故答案为：2x2﹣ax﹣bx+ab．
三．解答题（共4小题，满分20分，每小题5分）
15．【解答】解：原式＝2a﹣a2+a2﹣b2
＝2a﹣b2．
16．【解答】解：探索：
，
所以m＝﹣13，
故答案为：﹣13；
总结：
，
∴m＝b﹣ac，
故答案为：b﹣ac；
应用：∵，
又∵代数式的值为整数，
∴ 为整数，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
∴x＝2或0．
17．【解答】解：如图所示：
．
18．【解答】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时．
依题意得：，4分
解之得：x＝20，6分
经检验：x＝20是原方程的解． 7分
答：轮船在静水中的速度为20千米/时．8分
四．解答题（共4小题，满分28分，每小题7分）
19．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）由（1）得△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
20．【解答】解：原式

，
当x1时，原式．
21．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
根据图可知，A′（﹣1，2）；
（2）S△CBB′6×3＝9．
答：△CBB′的面积为9．
22．【解答】解：（1）∵其余三面留出宽都是x米的小路，
∴由图可以看出：菜地的长为（20﹣2x）米，宽为（10﹣x）米；
所以菜地的周长C＝2×[（20﹣2x）+（10﹣x）]＝（60﹣6x）米．
故答案为：（20﹣2x）；（60﹣6x）；
（2）当x＝1.5时，周长C＝60﹣6×1.5＝51（米）．
所以10×51＝510（元）．
答：购买木栅栏所需费用是510元．
五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
23．【解答】解：树形图如下：
当AB为底边，BC为腰时，BC（19﹣7）＝6；
当AB为腰，BC为腰时，BC＝AB＝7；
当AB为腰，BC为底边时，BC＝19﹣2×7＝5．
综上所述，BC的长度是5、6或7．
24．【解答】解：（1）（x﹣y）（x6+x5y+x4y2+x3y3+x2y4+xy5+y6）＝x7﹣y7，
故答案为：x7﹣y7；
（2）∵6n﹣2n＝（6﹣2）×（6n﹣1+2×6n﹣2+22×6n﹣3+……+yn﹣1）
＝4×（6n﹣1+2×6n﹣2+22×6n﹣3+……+yn﹣1），
∴6n﹣2n一定能被4整除；
（3）设x1019﹣1018﹣1017﹣1016﹣…﹣102﹣10﹣1①，
则10x1021﹣1020﹣1019﹣1018﹣1017﹣…﹣103﹣102﹣10②，
∴②﹣①得：9x10211021+1＝1，
∴x，
∴1019﹣1018﹣1017﹣1016﹣…﹣102﹣10﹣1．
六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
25．【解答】解：设甲骑车的速度是每小时x千米，则乙骑车的速度是每小时1.2x千米，
72÷2＝36（千米），
根据题意，得
，
解得：x＝15，
经检验：x＝15是原方程的解，
∴1.2x＝1.2×15＝18（千米），
答：乙骑车的速度是每小时18千米，甲骑车的速度是每小时15千米．
26．【解答】解：（1）∵A（12，0），B（0，9），
∴OA＝12，OB＝9，
由题意可得：2t+4（t﹣3）＝12，
解得：t＝4
∴当t＝4时，点M、点N相遇．
（2）∵CM⊥OA，BO⊥OA，
∴CM∥BO，
∴△CMA∽△BOA，
∴，即，
解得：，
①当0＜t≤3时，如图1，
∴△MCN的面积；
即；
②当3＜t＜4时，如图2，此时MN＝OA﹣AM﹣ON＝12﹣2t﹣4（t﹣3）＝24﹣6t，
∴△MCN的面积；
即
③当4≤t≤6时，如图3，此时MN＝AM﹣AN＝2t﹣[12﹣4（t﹣3）]＝6t﹣24，
∴△MCN的面积；
即；
（3）应分三种情况讨论：
①当0＜t≤3时，点N在BO上．
i）如图4，过C作CH⊥OB于H，则CH＝OM＝12﹣2t，
又∵，
∴，
当0＜t≤3时，，即CH＞CM，
又CN≥CH，MN≥CH，
∴CN＞CM，MN＞CM，即CN≠CM，MN≠MC；
ii）若NC＝MN时，则△MCN是等腰三角形．此时点N在CM的垂直平分线上，
∴，则有：，
解得：，
②当3＜t＜4时，如图5所示：此时点N在OA上，且点N在点M左侧．
∵∠CMN＝90°，
∴只有当MN＝MC时，△MCN是等腰三角形．
此时MN＝OM﹣ON＝12﹣2t﹣4（t﹣3）＝24﹣6t，
则有：，
解得：；
③当4≤t≤6时，如图6所示：点N在OA上，且点N在点M右侧．
同理可得：只有当MC＝MN时，△MCN是等腰三角形．
此时MN＝AM﹣AN＝2t﹣[12﹣4（t﹣3）]＝6t﹣24，
则有：，
解得：，
当t为秒或秒或秒时，△MCN是等腰三角形．
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