(共16张PPT)
“手拉手”模型——相似 模型探究系列
以题串模型
例 一题多问 如图（1），在 中， ， ，点 ，
分别为 ， 的中点.将 绕点 旋转，连接 ， .
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
（1）图（1）中， ， 的数量关系为_ ______.
（2）在图（2）的情形下，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.
[答案] 成立.
证明： ， .
又 ，
， .
（3）图（2）中,延长 交 于点 ，求 的度数.
[答案] 设 , 交于点 .
， .
又 ， ， ，
.
（4）当 时，如图（3）.
① 与 的数量关系为_ ______.
②延长 交 于点 ，则 的度数为_ ____.
（5）当 ， 时，如图（4）.
① 与 的数量关系为_ _______.
②设 ， 交于点 ，则 的度数为_ ____.
模型总结
类型1 直角三角形的直角顶点为公共点
， 是直角三角形， 是直角顶点，
；将 绕点 旋转，直线 ， 交于点
.
重要结论：
1.点 ， , 不共线时，有 ；
2. ；
3.点 在 的外接圆上.
类型2 直角三角形的锐角顶点为公共点
， 是直角三角形， 是直角顶点，
， ；将
绕点 旋转，直线 ， 交于点 ，所夹
锐角为 .
重要结论：
1.点 ， , 不共线时，有 ;
2. ；
3.点 在 的外接圆上.
强化训练
1.如图，在 和 中， ，
， ， ．有下
列四个结论： ； ；
①②④
；④在 绕点 旋转的过程中， 面积
的最大值为 .其中正确的是________.（填写所有正确结论的序
号）
2.[2023新乡一模] 已知点 为 和 的公共顶点，将 绕
点 顺时针旋转 ，连接 ， .
图(1)
图(2)
图(3)
问题发现：
（1）如图（1），若 和 均为等边三角形.
①线段 与线段 的数量关系是_ _________；
②直线 与直线 相交所夹锐角的度数是_ ____.
类比探究：
（2）如图（2），若 ， ，其他
条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由.
[答案] ①不成立， ；②成立．
理由：如图，延长 交 的延长线于点 ．
， ，
， ，
， ，
， ， ．
，
．
即 ，直线 与直线 相交所夹锐角的度数是 .
拓展应用：
（3）如图（3），若 ， ， ，
，则当点 ， ， 共线时，请直接写出 的长．
[答案] 的长为 或 ．
完成练习册相关习题
作业：(共16张PPT)
“一线三等角”模型探究系列
模型说明
“一线三等角”模型指的是三个等角的顶点在同一条直线上的模型，也称为“
型”相似模型，如图， .
特别地，当 时，该模型是“一线三直角”模型.
模型类别及相关结论
型:三等角在直线同侧 燕尾型：直线穿过一等角 锐角 直角 钝角 锐角 直角 钝角
重要结论： 1. ①______； 2.若 ，则 ② ______， ③_ ___. 重要结论：
1. ;
2.若 ,则 .
续表
强化训练
（第1题）
1.[2023山东东营] 如图， 为等边三角形，点 ，
分别在边 ， 上， .若 ，
，则 的长为( )
C
A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2
（第2题）
2.如图，在 中， ， ．点 在边
上， ，点 ， 在线段 上，且
．若 的面积为15，则 与
的面积之和为___．
5
（第3题）
3.如图,在平面直角坐标系中,把矩形 的顶点
放在原点处,把其边 , 分别放在 轴的正半
轴、 轴的正半轴上,点 在 边上,把 沿
直线 翻折,点 的对应点恰好落在 轴上的点
处,已知 ,则直线 的表达式为_ _________.
（第4题）
4.如图（1），在等边三角形 中，点 为
边上一动点（不与点 , 重合），且
， 交边 于点 ．设
，点 ， 之间的距离为 ，图（2）
为 与 之间的函数关系的大致图象.有下列结
①③
论：①等边三角形 的边长为4； ，其中 ；
．其中正确的是______（填序号）.
5.如图，正方形 的边长为4，点 为 边上一点，且
，点 为 边上一动点，连接 ，以 为边向右
作等腰直角三角形 ， ，连接 ．当 取
最小值时， 的长度是____．
1.5
6.如图，在等腰直角三角形 中， ， ，
点 ， 分别是边 ， 上的动点，且 ．当
是等腰三角形时， 的长为_ ___________．
3或
7.
图（1）
图（2）
图（3）
（1）探索发现
如图（1），在 中，点 在边 上， 与 的面积分别记
为 与 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由.
[答案] .
理由如下：
过点 作 于点 .
, ,
.
（2）阅读分析
小东遇到这样一个问题：如图（2），在 中， ,
，射线 交 于点 ，点 ， 在 上，且
，试判断 ， ， 三条线段之间的数量关系.
小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决.
填空：
①图（2）中的一对全等三角形为_ _______________；
② ， ， 三条线段之间的数量关系为_ _____________.
（3）类比探究
如图（3），在四边形 中， , 与 交于点 ，点 ， 在
射线 上，且 .
①判断 ， ， 三条线段之间的数量关系，并说明理由；
[答案] .
理由如下：
,
,
,
.
又 ,
,
, ,
.
②若 , 的面积为2，直接写出四边形 的面积.
[答案] 四边形 的面积为8.
完成练习册相关习题
作业：(共15张PPT)
“手拉手”模型——全等 模型探究系列
以题串模型
例 一题多问 如图（1），在等腰三角形 中， ， ，
点 ， 分别为 ， 上的点，且 .将 绕点 旋转，连
接 ， .
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
（1）图（1）中， 与 的数量关系为_ _________.
（2）在图（2）的情形下，求证： .
证明： ，
，
.
又 ， ， ，
.
（3）图（2）中，延长 交 于点 ，求 的度数.（用含 的式子
表示）
[答案] 设 , 交于点 .
， .
又 ， .
（4）当 时，如图（3）.
① 与 的数量关系为_ _________.
②延长 ， 交于点 ，则 的度数为_ ____.
（5）当 时，如图（4）.
① 与 的数量关系为_ _________.
②设 ， 交于点 ，则 的度数为_ ____.
模型总结
如图， ， ， ,将 绕
点 旋转，直线 ， 交于点 ，所夹较小的角为 .
重要结论：
1.点 ， , 不共线时，有 ;
2.当 时， ，
当 时， ；
3.点 在 的外接圆上.
【提分技法】
构造“手拉手”模型的方法
如果题中图形没有有一个公共顶点的相似三角形，就需要“补形”，即构造一
对有一个公共顶点的相似三角形.
“补形”方法：如图（1），此图形有一个等腰直角三角形 和一条“拉手
线” ，则以顶点 为直角顶点，补一个等腰直角三角形 ，再连接另
一条“拉手线” ，得到图（2）.
结论： ， .
强化训练
（第1题）
1.如图,在 和 中, , ,
, .连接 , 交于
点 ,连接 .下列结论:
； ； 平分
； 平分 .
其中正确结论的个数是( )
B
A.4 B.3 C.2 D.1
（第2题）
2.[2023四川宜宾中考改编] 如图， 和 是以点
为直角顶点的等腰直角三角形，把 以 为中心顺时针
旋转，点 为射线 ， 的交点.若 ， .以
下结论：
； ； ③当点 在 的延长线上时，
.其中正确结论有________（填序号）.
①②③
3.综合与实践
“几何画板”是一种常用的几何画图软件，利用“几何画板”可以非常直观、快捷、准确地探究图形的性质.
（1）操作发现，尝试探究
如图（1），小颖在“几何画板”上先画了两条互相垂直的直线 ， （交点
为 ），接着画了等边三角形 ，其中点 ， 分别在直线 ， 上，点
在 右侧，连接 .固定点 ，使 ，让点 在直线 上运动，
发现线段 存在最小值.为了求出线段 的最小值，小颖又画了等边三角
形 （点 在 下方），并连接 ，如图（2），得到 与 的数
量关系为_ _________，线段 的最小值为___ .
2
（2）变换条件，再次探究
如图（3），小颖改变了直线 ， 的位置关系，使两直线所夹锐角为 ，
其他条件不变，当点 在直线 上运动时，求线段 的最小值.
[答案] 线段 的最小值为 .
（3）拓展变化，深度探究
如图（4），小颖将（1）中的条件“等边三角形 ”改为“以 为直角边的
等腰直角三角形”，其他条件不变，当点 在直线 上运动时，请直接写出
线段 的最小值.
[答案] 或 .
完成练习册相关习题
作业：
