数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式 课件（共38张ppt）

(共39张PPT)
4.3.2 等比数列的前n项和公式
国际象棋起源于古代印度. 相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
问题 把上述问题中每个格子里放的麦粒数看成一个数列，请分析这个数列是否是等比数列 若是，请求出通项公式，并思考国王能满足象棋发明者的要求吗？
“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。
各个格子里的麦粒数依次是：
发明者要求的麦粒总数：
等比数列
等比数列
前64项和
错位相减法
已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
故国王不能实现他的诺言。
思考: 上述方法能否推广到求一个等比数列的前n项和？
错位相减法
等比数列的前n项和公式：
按1000颗麦粒的质量为40g，那么象棋发明者想要的麦粒总质量超过7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍，因此，国王根本不可能实现他的诺言.
例7 已知数列{an}是等比数列.
1. 已知数列{an}是等比数列.
课本P37
1. 已知数列{an}是等比数列.
课本P37
▲若q未知，用等比数列前n项和公式时要考虑q是否为1.
若q未知，用公式时要考虑q是否为1
法1：
法2：
练习4.在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．
新知2：等比数列的前n项和的性质
qn的系数和常数项互为相反数
﹣1
﹣2
想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？
新知2：等比数列的前n项和的性质
新知2：等比数列的前n项和的性质
练习6.
练习7.
例10 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和;
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
例10 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和;
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
课本P38/39-例11.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理。预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨。为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).
分析：每年生活垃圾的总量构成等比数列，公比为1+5%；
每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列，公差为1.5；
从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨。
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3， .
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;
(2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;
(3) 求S10= c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值(精确到1).
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3， .
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;
(2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;
(3) 求S10= c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值(精确到1).
方法归纳：解数列应用题
(1)认真审题，明确问题是等差数列问题？还是等比数列问题？还是含有递推公式的数列问题？是求an，还是求Sn？
①特别要注意项数是多少．
②细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
特征方程法
1. 已知a ≠ b，且ab ≠ 0，对于n∈N*，证明：
课本P37
环节六:归纳总结，反思提升
等差数列 等比数列
定义
通项公式
前n项和公式
中项
性质
依次n项和仍成等差数列，
公差为n2d
依次n项和仍成等比数列，
公比为qn
小结：
1. 等比数列的前n项和公式：