2023-2024学年四川省宜宾重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省宜宾重点中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，，则关于事件与的关系正确的是( )
A. 事件与互斥不对立 B. 事件与对立
C. 事件与相互独立 D. 事件与不相互独立
2.在四面体中，空间的一个点满足，若，，，四点共面，则等于( )
A. B. C. D.
3.无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为( )
A. B. C. D.
4.已知实数，满足方程，则的最大值( )
A. B. C. D.
5.在三棱柱中，，，点在棱上，且，为的中点，若以为基底，则( )
A. B.
C. D.
6.已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若双曲线上存在点满足：：：：，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于( )
A. B. C. D.
8.已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.与直线垂直，且与点距离为的直线方程可能为( )
A. B.
C. D.
10.已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是( )
A. 点的纵坐标为 B.
C. 的周长为 D. 的内切圆半径为
11.甲罐中有四个相同的小球，标号为，，，；乙罐中有五个相同的小球，标号为，，，，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，记事件：抽取的两个小球标号之和大于，事件：抽取的两个小球标号之积大于，则( )
A. 事件与事件是对立事件 B. 事件与事件是互斥事件
C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为
12.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹所围成区域的面积为
B. 面积的最大值为
C. 点到直线距离的最大值为
D. 若圆：上存在满足条件的点，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆，圆，若圆与圆相外切，则 ______ ．
14.已知直线：与直线关于直线对称，则的方程为______ ．
15.若双曲线的渐近线与圆相切，则 ______ ．
16.在长方体中，，，为的中点，点为侧面内的一点，当，的面积最小值时，三棱锥的体积为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设直线：与：．
若，求、之间的距离；
若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程．
18.本小题分
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有个不同题目，选择题个，判断题个，甲、乙两人各抽一题．
求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少；
求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
20.本小题分
已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
求双曲线的方程．
经过点作直线交双曲线于，两点，且为的中点，求直线的方程并求弦长．
21.本小题分
已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线：截得的弦长为．
圆的方程；
设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．
22.本小题分
已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且为等边三角形经过焦点的直线与椭圆相交于，两点，的周长为．
求椭圆的方程；
试探究：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，与能同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件，故AB正确；
，得，，
，
，
事件与相互独立，故C正确，D错误．
故选：．
由，得与能同时发生，不是互斥事件；由，得，得事件与相互独立．
本题考查两事件的关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为在四面体中，空间的一个点满足，且，，，四点共面，
则，
得．
故选：．
根据空间四点共面性质可解．
本题考查空间四点共面性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线整理得，
故，解得，
故该直线恒过定点．
故选：．
直接利用直线恒过的定点建立方程组，进一步求出定点的坐标．
本题考查的知识要点：定点直线系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：，表示以为圆心、半径等于的圆．
而表示圆上的点到原点的距离的平方，
由于，故的最大值是．
故选：．
方程表示以为圆心、半径等于的圆，表示圆上的点到原点的距离的平方，求出的值，进而求解结论．
本题主要考查圆的一般方程，两点间的距离公式，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：如图，在三棱柱中，，，点在棱上，若以为基底，
因为，
所以，
因为为的中点，所以，
所以，
则．
故选：．
根据中点及向量加减法的运算求解即可．
本题考查向量加减法的运算相关知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：若双曲线上存在点满足：：：：，
可设，，，，
可得，即，
，即，
则双曲线的离心率．
故选：．
由题意可设，，，，由双曲线的定义求得，由焦距定义可得，再由离心率公式可得．
本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查化简运算能力，是一道基础题．
7.【答案】
【解析】解：由二面角的平面角的定义知，
，
由，，得，又，
，
所以，即．
故选：．
根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果．
本题考查利用向量法求两点间的距离，考查二面角的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：不妨设，．
椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，两曲线的半焦距均为，
由椭圆及双曲线的定义得，，
于是，，，
又在中，由余弦定理得：
，
则，得，
由均值不等式得，当，时，等号成立，
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为．
故选：．
由椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理可得，再根据基本不等式，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，椭圆的几何性质，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：设与直线垂直的直线方程为，
则点到该直线的距离为，
解得或，
则所求的直线方程是或．
故选：．
根据垂直关系设出与直线垂直的直线方程，利用点到该直线的距离列方程求解即可．
本题考查了直线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：椭圆方程为，
，，，又为椭圆上一点，不妨设，
的面积为，，故A选项错误；
设，，，，则根据题意可得：
，又，
，
，
的面积为，
，又，故B选项正确；
由椭圆定义，可得的周长为，故C选项正确；
设的内切圆半径为，
则的面积为，
，故D选项错误．
故选：．
由椭圆方程求得，，的值，设出点坐标，由三角形面积求得的纵坐标判断选项；由焦点三角形的面积公式判断选项；求出三角形的周长判断选项；由等面积法求得三角形内切圆半径判断选项．
本题考查椭圆的几何性质，椭圆中焦点三角形问题，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题可知，事件的所有基本事件为：甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，
甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，共个；
事件的所有基本事件为：甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，
甲乙，甲乙，共个；所以事件与事件有“公共部分”，事件与事件有“公共部分”，故A错误，B正确；
所以事件的所有基本事件为：甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，
甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，甲乙，共个；
又从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，共个基本事件，
所以事件发生的概率为，故C正确；
事件发生的事件为：甲乙，甲乙，甲乙，共个，所以事件发生的概率为，故D错误．
故选：．
根据已知，利用列举法列出基本事件，再利用交事件、并事件以及古典概型进行求解．
本题考查互斥事件的判断和性质，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：设，由得：，
，整理可得：，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；
对于，点轨迹围成的区域面积为，A正确；
对于，，若取得最大值，则点到直线的距离最大，即到轴的距离最大，
点到直线的距离的最大值为，
面积的最大值为，B正确；
对于，圆心到直线的距离，
点到直线距离的最大值为，C错误；
对于，由题意知：点的轨迹与圆有公共点，即两圆有公共点，
圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距为，，
解得：，即的取值范围为，D正确．
故选：．
由可整理得到点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；根据圆的面积公式可知A正确；根据点到直线的距离的最大值为可求得B正确；由圆上点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径可求得C错误；根据两圆有公共点可得两圆位置关系，从而得到圆心距和两圆半径之间的关系，解不等式可求得D正确．
本题主要考查轨迹方程的求解，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径为，
将化成标准方程为：，
圆的圆心为，半径为，
若圆与圆相外切，则，
即，解得．
故答案为：．
根据圆心距等于两圆半径之和计算即可．
本题考查圆和圆的位置关系，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：联立方程，解得，
直线：与直线的交点坐标为，
直线过点，
在直线：上取一点，则点关于直线的对称点在直线上，
直线的斜率为，
直线的方程为，即．
故答案为：．
先求出直线：与直线的交点坐标为，所以直线过点，在直线：上取一点，则点关于直线的对称点在直线上，进而求出直线的方程．
本题主要考查了求直线的一般方程，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的渐近线与圆相切，
则，
又，
即．
故答案为：．
由双曲线的性质，结合直线与圆的位置关系求解．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
设，
则，，
，，即．
，
．
当，时，的面积取最小值．
此时三棱锥的体积为．
故答案为：．
由题意画出图形，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设出的坐标，由，转化为数量积为可得的横坐标与竖坐标的关系，利用二次函数求出使的面积取最小值的竖坐标，再由棱锥体积公式求三棱锥的体积．
本题考查多面体体积的求法，考查向量垂直与坐标关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：若，则，，
：，：
，之间的距离；
由题意可得，，
直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，
时，最大为，此时直线的方程为．
【解析】若，求出的值，即可求，之间的距离；
表示直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线的方程．
本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18.【答案】解：个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有种情况，
把个选择题记为、、，个判断题记为、．
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：
，，，，，，共种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：
，，，，，，共种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：
，，，，，，共种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：
，，共种，
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为．
“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为．
【解析】本题考查等可能事件的概率，关键是不重不漏的列举满足条件的基本事件，属于基础题．
共有个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有种情况，把个选择题记为、、，个判断题记为、．
求出“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况，和“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况，根据概率公式计算即可；
求出“甲、乙都抽到判断题”的情况，根据对立事件的概率公式计算即可．
19.【答案】解：证明：由题意，在矩形中，，，，
，分别是，的中点，
，，
在四棱锥中，面面，面面，，
面，
面，，
取中点，连接，由几何知识得，
，，，
面，面，，
面，，
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，，，，
，面的一个法向量为
，平面．
由题意及得：
在平面中，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图得为钝角，
二面角的余弦值为：
．
【解析】以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面．
分别求出平面和平面的法向量，利用向量法求解．
本题考查线面平行的判定与性质、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：由题意得椭圆的焦点为，
设双曲线方程为，，，
则，，，
解得，，
双曲线方程．
把，分别代入双曲线方程，
可得，
两式相减，得，
把，代入，得，
，直线的方程为，即，
把代入，消去得，
，，，
．
【解析】根据焦点坐标和离心率，利用待定系数法求双曲线方程；
首先利用点差法求直线的斜率，并求解直线方程，与双曲线方程联立，代入弦长公式，即可求解．
本题主要考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：设圆的圆心为，则圆心到直线的距离．
由题意可得，，即，解得或舍．
圆的方程为；
证明：是直线上的点，．
为圆的切线，，即过，，三点的圆是以为直径的圆．
设圆上任意一点，则．
，，
，
即．
故，解得或．
因此经过，，三点的圆必过定点和．
【解析】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是较难题．
由已知结合垂径定理列式求得值，则圆的方程可求；
由已知设出点坐标，再由已知可知过，，三点的圆是以为直径的圆，设圆上任意一点，则，整理可得圆系方程，联立即可求得经过，，三点的圆所过定点的坐标．
22.【答案】解：为等边三角形，，，
；
的周长为，
，解得：，，，
椭圆的方程为：．
假设在轴上存在定点，使得为定值；
由知：，直线斜率不为零，
可设：，，，
由得：，则，，，
；
为定值，
，解得：，此时定值为；
存在定点，使得为定值．
【解析】根据等边三角形三边长相等可知，根据周长为可求得，结合椭圆，，关系可求得结果；
假设存在满足题意的定点，设：，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据向量数量积的坐标运算表示出，代入韦达定理的结论整理可得，根据为定值可构造方程求得的值，从而得到定点坐标．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．
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