2023-2024学年江西省赣州市十八县二十三校高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省赣州市十八县二十三校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，向量，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点，，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知直线：的倾斜角的取值范围为，则直线：的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知圆与圆内切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为( )
A. B. C. D.
8.对于角，甲、乙、丙、丁人有种不同的判断，甲：的终边在直线上，乙：，丙：，丁：，若甲、乙、丙、丁人中只有人判断错误，则判断错误的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，分别是双曲线：的上、下焦点，点在上，且的实轴长等于虚轴长的倍，则( )
A. B.
C. 的离心率为 D. 的渐近线方程为
10.把函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增
11.在圆锥中，是底面圆的直径，，且圆锥外接球的表面积为，则该圆锥的侧面积可能为( )
A. B. C. D.
12.已知曲线，圆：，则( )
A. 当或时，曲线与圆没有公共点
B. 当时，曲线与圆有个公共点
C. 当时，曲线与圆有个公共点
D. 当时，曲线与圆有个公共点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，且，则 ______ ．
14.已知是抛物线：的焦点，是上的一点，若，则的纵坐标为______ ．
15.中国古代数学瑰宝九章算术中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体现有一羡除，平面平面，，四边形，均为等腰梯形，，则该几何体的体积为______ ．
16.已知，为双曲线：上的两点，且，关于直线：对称，则线段中点的坐标为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线经过点．
若平行于直线，求的一般式方程；
若垂直于直线，求在轴上的截距，
18.本小题分
在平行六面体中，，，为线段上更靠近的三等分点．
用向量，，表示向量；
求；
求．
19.本小题分
已知圆：，直线：．
证明：过定点．
求被圆截得的最短弦长．
20.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若为的角平分线，在边上，且，求的最小值．
21.本小题分
已知椭圆，直线与椭圆交于，两点．
若，是椭圆的短轴顶点，，与，不重合，求四边形面积的最大值；
若直线的方程为，求弦的长结果用表示．
22.本小题分
已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，点在上，使得的重心在轴的正半轴上，直线，分别交轴于，两点为坐标原点，当时，．
求的标准方程．
记，，的横坐标分别为，，，判断是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为向量，，
则．
故选：．
根据空间向量的坐标运算可解．
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用复数的乘方及除法运算求解即得．
本题考查复数的乘方及除法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：已知椭圆，
则，
所以，
又椭圆上一点到一个焦点的距离为，
由椭圆的定义知，到另一个焦点的距离为．
故选：．
根据椭圆的定义求解即可．
本题考查了椭圆的定义，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，，，
依次分析选项：
对于，，A错误；
对于，，B错误；
对于，因为，则，故C错误；
对于，因为，故D正确．
故选：．
根据题意，由向量坐标表示判断，根据向量模的坐标运算判断，根据向量夹角计算公式判断，综合可得答案．
本题考查空间向量的坐标以及计算，涉及空间向量的坐标、模以及数量积的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意，
则，则直线的斜率为，直线的斜率为，
所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，
得的倾斜角的取值范围为．
故选：．
根据两直线的斜率互为相反数即可得到答案．
本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
若圆与圆内切，则，即，
可得，即，
因为，即，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
故选：．
根据两圆位置关系可得，结合基本不等式运算求解．
本题主要考查两圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线方程为，
由题意可知抛物线过点，
，解得，
抛物线方程为，
当水面下降时，，
则，解得，
水面的宽度为．
故选：．
以拱顶为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为，由题意可知抛物线过点，代入解得，当水面下降时，可得纵坐标，进而得出水面的宽度．
本题考查了抛物线的标准方程及性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对于甲：为第一象限角或第三象限角，则；
对于乙：因为，整理得，
解得或；
对于丙：因为，解得；
对于丁：因为，则；
若甲、乙、丙、丁人中只有人判断错误，可知：甲、乙、丙一定正确，
此时，为第一象限角或第三象限角，可知或，故丁错误．
故选：．
根据象限角和三角恒等变换分析判断．
本题考查三角函数求值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，，，且，
所以，解得，故A错误；
因为，由双曲线定义知，故B正确；
因为，，所以，故离心率，故C正确；
因为双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为，即，故D正确．
故选：．
根据双曲线方程及焦点位置求判断，根据双曲线定义判断，求出离心率判断，求出渐近线方程判断．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由函数的图象向左平移个单位长度后得到，故A错误；
当时，，即，故B正确；
当时，，即，故C正确；
当时，，易知时函数单调递增，故D错误．
故选：．
利用三角函数图象变换及图象与性质一一判定即可．
本题主要考查了三角函数图象的变换，考查了正弦函数的单调性和对称性，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，设该圆锥外接球的的半径为，圆锥的高为，
由圆锥外接球的表面积为，即，
解可得，
则有，解可得或，
当时，圆锥的母线，此时圆锥的侧面积，
当时，圆锥的母线，此时圆锥的侧面积，
故该圆锥的侧面积可能为或
故选：．
根据题意，设该圆锥外接球的的半径为，圆锥的高为，由球的表面积公式求出的值，由圆锥的结构特征可得，进而求出的值，进而计算可得答案．
本题考查圆锥的侧面积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：圆：，圆的圆心，半径为；
曲线：，得或，
设：，，
易得过定点，过定点，
当与圆相切时，由，得或，
当与圆相切时，由，得或．
当或时．与圆相离，与圆相离，则曲线与圆没有公共点．
当时，与圆相交，与圆相离，则曲线与圆有个公共点．
当时，与圆相交，与圆相切，则曲线与圆有个公共点．
当时，与圆相交，与圆相交，则曲线与圆有个公共点．
故选：．
求出曲线是两条直线系，得到经过的定点，利用直线与圆相切，求出，然后判断直线与圆的位置关系即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，
解得．
故答案为：．
根据向量垂直的坐标表示求解．
本题考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知：，准线为，
设的纵坐标为，
由题意可知：，
解得，
所以的纵坐标为．
故答案为：．
根据题意结合抛物线的定义分析求解．
本题考查了抛物线的定义，重点考查了抛物线的性质，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：平面平面，，四边形，均为等腰梯形，，
过作交于点，过作交于点，
过作交于点，过作交于点，
连接，，
因为平面平面，且平面平面，
平面，平面，且，，
所以平面，平面，
又，且四边形为等腰梯形且，
所以，，
因为，且四边形为等腰梯形且，
所以，，
又，，
所以，
，
又，且，，
所以多面体为直三棱柱，
所以，
所以几何体的体积为．
故答案为：．
复杂的多面体一般可以分割成熟悉的棱锥、棱柱求体积，
本题考查了空间点、线、面的位置关系，重点考查了空间几何体的体积的求法，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知：直线：的斜率为，
可知直线的斜率，
设，，则线段中点的坐标，
可得，，
因为，为双曲线：上的两点，则，
两式相减整理得，即，
解得，即直线，
联立方程，解得，
可知线段中点的坐标为．
故答案为：．
根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题．
17.【答案】解：因为平行于直线，所以直线的斜率为，
又直线经过点，
所以直线的方程为，即．
因为垂直于直线，所以直线的斜率为，
又直线经过点，
所以直线的方程为，即，
令，得，
所以在轴上的截距为．
【解析】根据两条直线平行的条件，可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程与一般式方程，即可得解；
根据两条直线垂直的条件，可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程及截距的含义，即可得解．
本题考查直线的方程，两条直线的位置关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：如图，为线段上更靠近的三等分点，
；
，，
，
；
．
【解析】画出图形，根据向量加法和数乘的几何意义即可得出；
根据进行数量积的运算即可；
得出，然后进行数量积的运算即可．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，数量积的运算，是基础题．
19.【答案】解：证明：由直线：，即，
可令，且，解得，，则直线恒过定点；
由圆：的圆心为，半径，
，可得在圆内，
当时，直线截得圆的弦长最短，
且为．
【解析】由直线系方程恒过定点的求法，可得证明；
首先判断定点在圆内，考虑时，直线截得圆的弦长最短，计算可得所求弦长．
本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由正弦定理及，得，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以．
若为的角平分线，则，
因为，
所以，
整理得，即，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
【解析】利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，可得，从而得解；
结合角分线定理与三角形的面积公式，推出，再由基本不等式，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换公式与基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设椭圆的半长轴、半短轴长分别为、，则，
设，的横坐标分别为：，，则
易知四边形面积为，
显然，即当，分别为椭圆左右顶点时取得最大值，
此时四边形面积最大值为；
设，，将直线方程与椭圆方程联立，
消得，
所以，
由弦长公式可知．
【解析】利用椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可；
联立直线与椭圆方程利用韦达定理计算弦长即可．
本题考查了联立直线与椭圆方程求解综合问题，考查了数学运算能力，考查了方程思想，属于中档题．
22.【答案】解：依题的重心在轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，
则抛物线的焦点在轴上，
设抛物线方程为：，
当时，，则，
则抛物线方程为：；
依题知直线的倾斜角不为，则设直线：，
设，，，，，，
由，得，
，则，，
则，
因为，，三点共线，，
则，，
当时，重心不会落在轴上，
所以，解得：，
同理可得：，又
，
则
，
则该定值为．
【解析】先判断焦点在轴，再根据抛物线的定义，结合即可；
设直线：，设，，，，，，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意，，用，表示，计算即可．
本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
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