2023-2024学年广东省湛江市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省湛江市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.英文单词所有字母组成的集合记为，英文单词所有字母组成的集合记为，则( )
A. B. C. D.
2.设，则( )
A. B. C. D.
3.若直线的斜率大于，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
5.已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.在四面体中，为的中点，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
7.某地，两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，，一条河所在直线的方程为若在河上建一座供水站，则到，两点距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知点为的重心，，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线与直线垂直，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.广东省到年常住人口变化图如图所示：
则( )
A. 广东省到年这年的常住人口逐年递增
B. 广东省到年这年的常住人口的极差为万
C. 从这年中任选年，则这年的常住人口大于万的概率为
D. 广东省到年这年的常住人口的第百分位数为万
11.圆：与圆：的位置关系可能是( )
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 内切
12.在棱长为的正方体中，，，则( )
A. 当平面时，
B. 的最小值为
C. 当点到平面的距离最大时，
D. 当三棱锥外接球的半径最大时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若是奇函数，且，则 ______ ．
14.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______ ．
15.直线的倾斜角为______ ．
16.若曲线与圆恰有个公共点，则的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线经过直线：与直线：的交点．
若直线经过点，求直线在轴上的截距；
若直线与直线：平行，求直线的一般式方桯．
18.本小题分
，，分别为内角，，的对边已知．
求；
若为钝角，且，，求的周长．
19.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，．
证明：平面E.
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
20.本小题分
已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线所得弦长等于．
求圆的标准方程；
求圆截直线所得弦长；
若是圆上的一个动点，求的最小值．
21.本小题分
如图，在底面为梯形的四棱锥中，，底面，，，．
证明：平面．
延长至点，使得，求点到平面的距离．
22.本小题分
已知圆：．
证明：圆恒过两个定点．
当时，若过点的直线与圆交于，两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为英文单词所有字母组成的集合记为，英文单词所有字母组成的集合记为，
所以，，
所以．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
先化简，再代入计算即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，由题意，解得．
故选：．
先求出直线的斜率，再根据已知条件列不等式求解即可．
本题考查直线的斜率的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设直线与平面所成的角为，，
则，则．
故选：．
设直线与平面所成的角为，则再由空间向量夹角公式，即可得出答案．
本题考查直线与平面所成角，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：抛物线，
顶点坐标为，
即圆的圆心坐标为，
又圆经过点，
，
圆的方程为．
故选：．
求出抛物线的顶点即为圆心坐标，求出半径即可得圆的方程．
本题考查圆的方程的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为为的中点，所以．
因为为的中点，
所以，
所以．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：如图，设关于直线对称的点为，
则，得，即，
易知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为．
故选：．
先求关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即是到，两点距离之和的最小值，即最小值为．
本题考查线段之和的最小值即点关于直线的对称点的坐标的求法，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为点为的重心，所以，则，
因为，，三点共线，，
所以，
所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．
故选：．
重心为三条中线的交点，把中线分成了：，即，由三点共线定理可知，所以，得，再利用基本不等式解决最值问题即可．
本题考查了三点共线定理和基本不等式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：直线与直线垂直，
则，解得或．
故选：．
根据已知条件，结合直线垂线的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由图可知，年到年常住人口在减少，故A错误；
对于，将广东省到年这年的常住人口单位：万按照从小到大的顺序排列为：
，，，，，，
则极差为万，故B正确；
对于，因为这个数据中大于万的有个，所以从这年中任选年，则这年的常住人口大于万的概率为，故C正确；
对于，因为，所以第百分位数为万，故D正确．
故选：．
根据图中信息可判断选项；将这年的常住人口数按照从小到大的顺序排列，进而求得极差即可判断选项；结合古典概型公式即可判断选项；根据百分位数的定义可判断选项．
本题考查统计图表的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：圆的标准方程为，圆：，
因为，
所以圆的圆心在圆的内部，
所以两圆的位置关系可能是内含、相交、内切，不可能是外切．
故选：．
根据已知得到圆的圆心在圆的内部，进而求解结论．
本题主要考查圆和圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
所以，即，
所以，
对于选项A，当平面时，，解得，即选项A正确；
对于选项B，，
当时，取得最小值，即选项B正确；
对于选项C，当是的中点，即时，平面底面，
此时点到平面的距离最大，即选项C错误；
对于选项D，因为，
所以过斜边的中点作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心必在该垂线上，
所以可设球心的坐标为，球的半径为，
因为，所以，整理得，
在三棱锥中，，所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立，
此时三棱锥外接球的半径最小，即D错误．
故选：．
以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出所需各点的坐标，选项A，由，可求得的值；选项B，根据二次函数的性质，分析的取值，即可得解；选项C，由点到面距离的定义，分析得解；选项D，先确定球心的位置，并设出其坐标，再根据，计算得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法解决线面垂直，棱锥外接球的处理方法，理解点到面距离的定义等是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：因为是奇函数，所以，
由，即，
所以，则．
故答案为：．
根据奇函数的性质求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
先由已知条件求向量，，再利用向量夹角的余弦值公式即可求解．
本题考查了向量法求异面直线所成角，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，
又倾斜角的范围是，
直线的倾斜角为．
故答案为：．
求出直线的斜率，结合倾斜角的范围可得直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为曲线与圆恰有个公共点，
所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，
则有，解得．
故答案为：．
根据直线和圆有两个公共点可列出不等式，从而求出的取值范围．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
17.【答案】解：由解得，
即和的交点坐标为，
因为直线经过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以直线在轴上的截距为；
因为直线与直线：平行，
可得直线的斜率为，所以直线的方程为，
即直线的一般式方程为．
【解析】联立两条直线的方程，解得交点的坐标，进而求出直线的斜率，代入点斜式方程，可得直线的方程，令，可得直线在轴上的截距；
设直线的方程，将交点的坐标代入，可得参数的值，进而求出直线的方程．
本题考查求两条直线的交点坐标及平行线的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以由正弦定理，可得，
因为，所以，
所以；
因为为钝角，且，
所以，
由余弦定理得，
即，
所以，
故的周长为．
【解析】根据正弦定理求得，再利用倍角公式即可求得；
由余弦定理求得边，进而求得三角形周长．
本题考查正弦定理和余弦定理，属基础题．
19.【答案】证明：因为，分别为，的中点，所以，
在正三棱柱中，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：取的中点，连接，
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，所以，
则
取，得，，所以平面的一个法向量为，
因为平面，所有是平面的一个法向量，
所以．
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】由题可得，再由线面平行的判断定理即可证明；
建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量法即可求得．
本题考查线面平行的证明和平面与平面所成角，属于中档题．
20.【答案】解：圆与两坐标轴的正半轴都相切，得圆的圆心在直线上，
圆截直线所得弦长等于，
圆的直径为，即．
设圆心的坐标为，
则，圆的标准方程为．
圆的标准方程为．
圆的半径为，圆心到的距离，
圆截直线所得弦长为．
，
表示点与点之间的距离，
又点在圆上，的最小值为，
的最小值为．
【解析】设出圆心坐标，通过圆与两坐标轴的正半轴都相切，求解半径，求解圆的方程即可．
利用垂径定理，转化求解即可．
利用表达式的几何意义，转化求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
21.【答案】解：证明：，，，
，，
又底面，底面，
，又，
平面，又，
平面；
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建系如图，
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则，取，又，
点到平面的距离．
【解析】根据线面垂直的判定定理，即可证明；
建系，利用向量法，向量数量积，即可求解．
本题考查线面垂直的证明，向量法求解点面距问题，属中档题．
22.【答案】证明：圆的方程可化为．
令，得 ，或，
故圆恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和；
解：当时，圆的方程可化为．
由题知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
联立，消去得，
所以，，解得．
因为，所以，解得，又，
所以．
【解析】圆的方程可化为，由，解方程即可；
求得圆的方程，设直线的方程为，与圆的方程联立，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，解方程可得所求值．
本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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