2023-2024学年辽宁省鞍山重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省鞍山重点中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆，则椭圆离心率为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知直线与圆相交于、两点，则弦的长为( )
A. B. C. D.
4.已知直线：，：，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则两直线间距离为 D. 当时，直线不过第三象限
5.椭圆内有一点过点的弦恰好以为中点，那么这弦所在直线的方程为
( )
A. B.
C. D.
6.下列命题中正确的是( )
A. 对空间任意一点，不共线的三点，，，若其中，，为实数，则，，，四点共面
B. 若，则存在唯一的实数，使
C. 若空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D. 若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为
7.设，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积不是定值
B. 直线到平面的距离是
C. 存在点，使得
D. 面积的最小值是
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若椭圆的焦距为，则( )
A. B. C. D.
10.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，面，则( )
A.
B. 与平面所成角为
C. 二面角的余弦值为
D. 直线与所成角的余弦值为
11.下列四个命题表述正确的是( )
A. 倾斜角相等的两条直线，斜率也相等
B. 圆上有且仅有个点到直线：的距离等于
C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则
D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则弦长度的最小值为
12.已知为坐标原点，，分别为双曲线：的下、上焦点，的实轴长为，且到双曲线渐近线的距离为，为在第一象限上的一点，点的坐标为，为的平分线，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为
C. D. 点到轴的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则 ______ ．
14.已知抛物线的方程为，直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且，则直线的倾斜角为 ．
15.若点在圆上，则的最小值为______ ．
16.已知点在上运动，点在圆上运动，且最小值为，则实数的值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知椭圆：的左焦点为，直线：与椭圆交于、两点．
求线段的长；
若为椭圆左顶点，求的面积．
18.本小题分
已知直线和圆：．
若直线过点，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程；
求过点且与圆相切的直线方程．
19.本小题分
如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，，分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知抛物线：的焦点为，且经过点．
求抛物线方程及其准线方程；
过作斜率不为的直线交抛物线于、两点，直线分别交，于、两点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
21.本小题分
已知四棱锥的底面为菱形，且，．
证明：；
若，求二面角的余弦值．
22.本小题分
已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于，两个不同的点．
求曲线的方程；
求实数的取值范围；
设点在直线上，过的两条不同的直线分别交曲线于、和、两点，且，求直线与直线的斜率之和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：椭圆，
，，可得，
故，，
故椭圆的离心率．
故选：．
根据已知条件求出，，，进而求解结论．
本题主要考查椭圆离心率的求解，考查计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：抛物线的方程可变为
故，
其准线方程为，
故选：．
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为，因看错方程形式马虎导致错误．
3.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
弦长．
故选：．
易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离，由勾股定理可得．
本题考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：中，若两条直线平行，则，且，解得，所以不正确；
中，两条直线垂直可得：，解得，所以不正确；
中，由两条直线平行，由选项可知，，可得直线的方程为，
所以两条直线的距离为，所以C正确；
中，当时，直线的斜率，所以直线一定过第三象限，所以不正确．
故选：．
由直线平行或垂直求出参数的值，判断出所给命题的真假．
本题考查直线平行或垂直的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设弦的端点为，，
则，，
把、坐标代入椭圆方程得，，，
两式相减得，，即，
所以，即，
所以这弦所在直线方程为：，即．
故选B．
利用平方差法：设弦的端点为，，代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．
6.【答案】
【解析】解：对于，若平面，则，，不共面，由空间向量基本定理可知，为空间任意一点，
所以，，，四点不一定共面，故A错误；
对于，当，时，找不到实数，使，故B错误；
对于，因为空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为，故C正确；
对于，因为向量，的夹角为钝角，
则，且，不反向共线，则，故，
所以实数的取值范围为，故D错误．
故选：．
选项A用向量共面的基本定理判断；选项B用向量共线的基本定理判断；选项C用投影向量计算；选项D用向量夹角的余弦判断，需注意共线反向的情况．
本题考查空间向量基本定理和数量积与夹角，坐标运算等，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
解得，，
由，
可得，即，
即为，
由离心率的公式可得，，
由椭圆的离心率，则可得，
即有，
解得
故选：．
设，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求范围．
本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：对于，，分别是棱，的中点，则，
，且，四边形为平行四边形，，
，平面，平面，平面，
在上，点到平面的距离不变，而面积是定值，则三棱锥的体积不变，
即三棱锥的体积不变，故A错误；
对于，，平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
，
，，，
由，得，则，B错误；
对，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
，，，
由，得，解得，
由于，因此存在点，使得，C正确；
对于，由选项C得在的投影点为，
则到的距离，
面积为 ，
当时，取得最小值为，D错误．
故选：．
根据线面平行的判定判断；根据等体积法求得点到平面的距离判断；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断．
本题主要考查棱锥的体积的求法，直线与平面距离的求法，空间向量的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当椭圆焦点在轴上时，，，则，
由题意得，，解得；
当椭圆焦点在轴上时，，，则，
由题意得，，解得．
故选：．
由椭圆方程结合题意分类求解得答案．
本题考查椭圆的几何性质，考查分类讨论思想，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：连接，设，则，，
因为，故，故，
故AB，故AD，
而平面，，平面，
故，，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中，
选项A，由，
可得，故，故A正确；
选项B，，而平面的法向量为，
设与平面所成的角为，
则，
因为，故，故B正确；
选项C，，，
设平面的法向量为，由，，
则有，即，取，则，
设平面的法向量为，由，，
则有，即，取，则，
故，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故其余弦值为，故C错误；
选项D，，故，
故直线与所成角的余弦值为，故D正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用向量法逐项计算后可判断它们的正误．
本题考查利用空间向量进行空间角的计算，考查线线垂直判定，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：当两条直线的倾斜角为时，斜率不存在，故A不正确；
对于，圆的圆心到直线的距离，而圆的半径为，
则平行于且距离为的两条直线分别过圆心以及和圆相切，
所以圆上有且仅有个点到直线：的距离等于，故B正确；
对于，圆：圆心，半径，圆：的圆心，
半径，依题意两圆外切，则，即，解得，故C正确；
对于：圆：的圆心，，点到直线的距离，
则，由切线长定理知，直线垂直平分线段，于是得：
，的距离取得最小值时，的距离取得最小值，
当且仅当点与圆心平行的连线取得最小值时，即时，弦长度的最小值为，故D正确．
故选：．
倾斜角为时，斜率不存在，可判断；求得圆心到直线的距离，结合圆的半径可判断；由两圆外切可求得判断；求得圆的圆心与半径，由，求得的最小值可求弦长度的最小值即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，因为的实轴长为，所以，
因为到双曲线渐近线的距离为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，故A选项正确；
对于选项，因为，
所以双曲线的离心率为，故B选项错误；
对于选项，因为为的平分线，所以，
因为，，，
所以，即，故C选项错误；
对于选项，由双曲线定义可知，
所以，，在中，
，
，
设点到轴的距离为，
则，
解得，故D选项正确．
故选：．
对于选项，根据的实轴长和到双曲线渐近线的距离即可求出双曲线的渐近线方程；对于选项，求出即可求出双曲线的离心率；对于选项，根据角平分线定理即可计算；对于选项，利用等面积法即可计算．
本题考查双曲线的定义及性质，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，
又二面角的平面角等于，且，，
，，，，
又，
，
，
故答案为：．
由已知条件，结合向量的数量积即可求出的长．
本题考查二面角的平面角以及利用空间向量解决距离问题，属中档题．
14.【答案】或
【解析】解：设抛物线的准线为：．
如图所示，
当直线的倾斜角为锐角时，
分别过点，作，，垂足为，．
过点作交于点．
则，．
，
，
在中，由，可得．
轴，．
．
当直线的倾斜角为钝角时，可得直线的倾斜角为．
故答案为：或．
设抛物线的准线为：如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，分别过点，作，，垂足为，过点作交于点则，由于，可得，在中，由，可得由于轴，可得当直线的倾斜角为钝角时，同理可得．
本题考查了抛物线的定义及其性质、含角的直角三角形的性质、直线的倾斜角与斜率、平行线的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．
15.【答案】
【解析】解：因为，化为，
圆心为，半径为，
又表示点与点的距离的平方，
圆心与点的距离为，
所以点与点的距离的最小值为，
故的最小值为．
故答案为：．
利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离．
本题考查圆的性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，圆心，，半径，
求最小值，只需求的最小值．
，
由，设，
则
，
由于最小值大于，所以，即，
当，即时，，
由题意可得，
解得舍去；
当，即时，，
解得舍去；
当，即时，，
解得舍去．
综上可得．
故答案为：．
设，，求最小值，只需求的最小值．由两点的距离公式和换元法，结合二次函数在闭区间上的最值求法，解方程可得所求值．
本题考查两点间的距离的最值，以及圆的方程和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：联立直线与椭圆的方程得：，
解得，或，
当时，，
当时，，
不妨设，
，
即线段的长为；
由得，
点到直线的距离为，
所以的面积为．
【解析】联立直线与椭圆的方程，求出、的坐标，由两点间的距离公式即可求解；
求出点到直线的距离，结合的结论即可求解．
本题考查了联立直线与椭圆方程求解综合问题，考查了数学运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：直线在两坐标轴上截距为时，
直线过点，
则直线的方程为，即，
直线在两坐标轴上截距不为时，
可设直线的方程为，
直线过点，
则，解得，直线方程为，
综上所述，直线方程为或．
由题意圆：，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，直线：，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为即，
综上，直线的方程为或．
【解析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合直线方程截距式等知识求得正确答案．
根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径求得切线的方程．
本题考查了直线方程的求法，直线截距式的理解与应用，考查了圆的切线方程的求法，属于中档题．
19.【答案】证明：连接，，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，所以，，两两互相垂直，
以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，
则，，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，所以，
又因为平面，所以平面；
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直即可证明线面平行；
求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量的夹角公式计算即可．
本题考查线面平行的证明和直线与平面所成角，属于中档题．
20.【答案】解：因为点在上，
所以，
解得，
则抛物线的方程为，准线方程为；
证明：易知直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
因为点，都在抛物线上，
不妨设，，
由韦达定理得，，
此时直线的方程为，
令，
解得，
所以，
同理得，
不妨设以线段为直径的圆与轴的交点为，
可得，
因为，
所以，
即，
所以，
解得或．
故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和．
【解析】由题意，将点中代入抛物线中，进而即可求解；
结合中所得信息，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得到相关式子，推出，两点的坐标，设出点的坐标，根据向量的坐标运算再进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：设中点为，连接，，如图，
底面为菱形，且，
为等边三角形，故DE，
，，
，又，，平面，
平面，又平面，
，又是的中点，
；
解：，以，分别为轴，轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，
过作于点，由得平面，，，，平面，
平面，由得：，
为正四面体，为的中心，有，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，则，
设平面的一个法向量为
则，即，令，则，，
平面的一个法向量为，
则，
显然二面角的平面角是钝角，
．
【解析】取中点，由已知条件可证明平面，再进一步证明即可；
建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
本题考查利用空间线面位置关系证明等量关系和空间向量求空间角的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的右支，且，
可得，
则曲线的方程为；
不妨设，，
联立，消去并整理得，
因为直线与双曲线右支交于两点，，
所以且，
由韦达定理得，，
解得，
所以的取值范围为；
不妨设且，
易知直线与直线的斜率都存在且不相等，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
因为直线与曲线必有两个不同的交点，
所以，
由韦达定理得，
因为，
所以，
此时
，
不妨设直线的方程为，
同理可得，
因为，
所以，
即，
解得或舍去，
所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为．
【解析】由题意，根据题目所给信息、双曲线的定义以及，，之间的关系，列出等式进行求解即可；
设出直线的方程，将直线的方程与曲线的方程联立，利用根与系数的关系再列出等式进行求解即可；
设出直线的方程，将直线的方程与曲线的方程联立，由，可得，结合韦达定理求出的表达式，设出直线的方程，同理得，再列出等式进行求解即可．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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