2022-2023学年山东省泰安重点中学八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省泰安重点中学八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在以下“质量安全”，“回收”“绿色食品”“节水”四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知≌，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.下列语句中属于命题的是( )
A. 相等的角是对顶角 B. 过点作线段的垂线
C. 禁止抽烟 D. 难道是我错了吗？
5.下列约分计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
6.若分式的值为零，则的值为( )
A. B. C. D. 不存在
7.如图，直线，被直线所截，，，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，把长方形沿对折，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，，垂直平分，交于点，连接，则的度数为( )
A.
B.
C.
D. 无法确定
10.若，则等于( )
A. B. C. D.
11.已知关于的方程无解，则的值是( )
A. B. C. D. 不存在
12.某市测得一周的日均值单位：微克立方米如下：，，，，，，，对这组数据下列说法正确的是( )
A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是
13.某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是( )
甲 乙 丙 丁
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
14.已知样本方差，则，分别是样本的( )
A. 容量，方差 B. 平均数，容量 C. 容量，平均数 D. 离差，平均数
15.某同学使用计算器求个数据的平均数时，错将其中一个数据输入为，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )
A. B. C. D.
16.方程的解是( )
A. B. C. D. 无解
17.在中，是边长的高线，平分，交于点，，，则的面积等于( )
A. B. C. D.
18.如图所示，有以下三个条件：，，，从这三个条件中任选两个作为假设，另一个作为结论，则组成真命题的个数为( )
A.
B.
C.
D.
19.如图，在中，，，过点的直线，与的平分线分别交于，，则的长为( )
A. B. C. D.
20.对于非零的两个实数，，规定，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
21.一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，则顶角的度数为______．
22.已知，，则的值为______ ．
23.观察给定的分式；，，，，，，猜想并探索规律，第个分式是______ ，第个分式是______ ．
24.如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点连接若，，则的度数为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
25.如图，，于，于，与相交于点．
求证：；
连接，，试判断直线，的关系并说明理由．
四、解答题：本题共4小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
26.本小题分
已知，求；
化简并求值，其中与，构成三角形的三边，且为整数选择合适的任意值代入
27.本小题分
在“母亲节”前夕，某花店用元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？
28.本小题分
某校名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵，将各类的人数绘制成扇形图如图和条形图如图．
回答下列问题：
补全条形图；
写出这名学生每人植树量的众数、中位数；
请你计算平均数，并估计这名学生共植树多少棵？
29.本小题分
如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接，，．
求证：≌；
若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：≌，
故选：．
要求的大小，利用≌，得到对应角相等，然后在中依据三角形内角和定理，求出的大小．
本题主要考查了全等三角形的对应角相等，并注意运用了三角形的内角和定理，做题时要找准对应关系．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和．
根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解答】
解：
，
当，时，满足，可证明≌，故A可以；
当，时，满足，可证明≌，故B可以；
当，时，在中是，在中是，故不能证明≌，故C不可以；
当，时，满足，可证明≌，故D可以；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，、、均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题．
故选：．
分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
5.【答案】
【解析】解：、，无法化简，故此选项错误；
B、，无法化简，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用分式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
则的值不存在，
故选：．
根据分式的值为的条件列式计算即可．
本题考查的是分式的值为的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
根据平角的定义求出，再根据两直线平行，内错角相等解答．
本题考查了平行线的性质，平角等于，熟记性质并求出是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设的对应点为点，如图，
根据折叠的性质有：，即，
，
，
四边形是长方形，
，
，
．
故选：．
设的对应点为点，根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可得到的度数．
本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
垂直平分，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
根据，求出的值是多少，即可求出等于多少．
此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出的值是多少．
11.【答案】
【解析】解：去分母得：，
由分式方程无解，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题考查了分式方程的解，分式方程无解即为最简公分母为．
12.【答案】
【解析】解：、和出现了次，出现的次数最多，则众数是和，故本选项错误；
B、把这组数据从小到大排列，最中间的数是，则中位数是，故本选项错正确；
C、这组数据的平均数是：，故本选项错误；
D、这组数据的方差是：，故本选项错误；
故选B．
根据众数、平均数、中位数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案．
本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设个数据，，，的平均数为，则方差
13.【答案】
【解析】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙，
故选：．
从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．
此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】
【解析】解：根据方差的定义可得：是平均数，是样本容量，
故选：．
由样本方差的公式可知是平均数，是样本容量．
本题主要考查方差的知识点，解答本题的关键是熟练运用方差公式，此题难度不大．
15.【答案】
【解析】解：在输入的过程中错将其中一个数据输入为
少输入，
而
平均数少，
求出的平均数减去实际的平均数等于．
故选：．
在输入的过程中错将其中一个数据输入为少输入，在计算过程中共有个数，所以少输入的对于每一个数来说少，求出的平均数与实际平均数的差可以求出．
本题考查平均数的性质，求数据的平均值和方差是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况．
16.【答案】
【解析】解：变形可得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把的系数化为得：，
检验：把代入最简公分母，
原分式方程无解．
首先把分式的右边变形，再乘以最简公分母去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把的系数化为，最后一定要检验．
此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误．
17.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
是边长的高线，
，即，
平分，，，
，
．
故选：．
过点作于点，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
18.【答案】
【解析】解：所有等可能的情况有种，分别为；；，其中组成命题是真命题的情况有：；；，
故选：．
根据题意找出组成命题的所有等可能的情况数，找出组成的命题是真命题的情况数．
此题考查了平行线的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，以及命题与定理，弄清题意是解本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，
．
平分，
，
，
．
同理可得：，
．
故选：．
由平行线的性质、角平分线的性质推知，则同理可得，，所以线段的长度转化为线段、的和．
本题综合考查了勾股定理、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
20.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
解得：，
经检验，是的解．
故选：．
根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求．
本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．
21.【答案】或
【解析】解：当为锐角三角形时，如图，
，，
，
三角形的顶角为；
当为钝角三角形时，如图，
，，
，
，
，
三角形的顶角为，
故答案为：或．
分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
22.【答案】
【解析】解：原式，
当，是，原式．
故答案为：．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由分析可得第个分式的分母为：，分子为：，符号为负．则第个分式为：，
第个分式是，
故答案为：，．
分析题干中的式子的分母为：，，，，则第项的分母应为，分子：，，，则第项的分子应为：由给定的分式可以看出：奇数项为负，偶数项为正，可得答案．
本题考查了分式的定义，对于找规律的题应该观察有哪些部分在变化，总结各部分的变化规律从而得到整个式子的变化规律．
24.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
垂直平分，
，
，
．
故答案为．
先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
25.【答案】证明：在与中，
，
≌，
．
答：直线垂直平分．
理由如下：连接，并延长交于，
在与中，
≌，
，
即是的平分线，
又，
且平分．
【解析】根据全等三角形的判定方法，证明≌，即可得出，
根据已知条件得出≌，得出，即可判断出是的平分线，即．
本题考查了全等三角形的判定方法，以及全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质，难度适中．
26.【答案】解：设，
则，，
即，，
原式；
原式
．
与，构成三角形的三边，
，
又为整数，，
，．
当时，原式无意义；
当时，原式．
【解析】设，利用表示出、、，然后代入所求的式子即可求解；
首先对前边的两个分式进行乘法运算，然后进行通分相加，然后根据三角形的三边关系确定的值，代入求解即可．
本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
27.【答案】解：设第二批鲜花每盒的进价是元，依题意有
，
解得，
经检验：是原方程的解．
故第二批鲜花每盒的进价是元．
【解析】可设第二批鲜花每盒的进价是元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．
考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程．
28.【答案】解类的人数是：人．
；
众数为，中位数为，
棵．
估计名学生共植树棵
【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，属于基础题．
利用总人数乘以对应的百分比即可求得类的人数，从而补全条形统计图；
根据众数、中位数的定义即可直接求解；
首先求得调查的人植树的平均数，乘以总人数即可．
29.【答案】证明：
，为延长线上一点，
．
在和中，
≌；
解：，，
，
又，
．
≌，
，
，
又，，
，
．
【解析】利用证明三角形全等即可得证；
由全等三角形对应角相等得到，利用等腰直角三角形的性质求出的度数，即可确定出的度数．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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