2022-2023学年江苏省宿迁市宿城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省宿迁市宿城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.第届冬奥会将于年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.估计的值( )
A. 在到之间 B. 在到之间 C. 在到之间 D. 在到之间
3.点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
4.如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是( )
A. B. C. 或 D.
5.满足下列条件的不是直角三角形的是( )
A. ：：：： B. ，，
C. ：：：： D. ，，
6.已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在一个直角三角形中，若斜边的长是，一条直角边的长为，那么这个直角三角形的面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.的算术平方根是______ ．
10.将数用科学记数法表示为______．
11.如图，已知≌，若，，则的大小为______．
12.在，，，，，中，无理数有______个．
13.已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边长是______．
14.将函数的图象沿轴向下平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是______．
15.点、是直线上的两点，则______填“”或“”或“”．
16.如图，在等腰三角形中，，，于点，点、在上，则图中阴影部分的面积为______．
17.如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为 ．
18.如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为______ ．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
解方程：．
20.本小题分
已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标．
点在轴上；
点在第一、三象限的角平分线上．
21.本小题分
如图，点是线段的中点，，求证：≌．
22.本小题分
如图，已知的三个顶点在格点上．
作出与关于轴对称的图形；
直接写出点关于轴对称的坐标：______；
在轴上找一点，使得周长最小．请在图中标出点的位置．
23.本小题分
如图，函数与的图象交于．
求出、的值；
直接写出不等式的解集．
24.本小题分
如图，，、分别是、的中点．
求证：；
若，，求的长．
25.本小题分
某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，元表示车费，请根据图象回答下面的问题：
该地出租车的起步价是______元；
当时，求关于的函数关系式；
若某乘客一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程．
26.本小题分
小李在某网店选中、两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
类别
价格 款玩偶 款玩偶
进货价元个
销售价元个
第一次小李用元购进了、两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个？
第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶个．设小李购进款玩偶个，售完两款玩偶共获得利润元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求的最大值．
27.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交点为，求：
求的值与一次函数的解析式；
求的面积；
在轴上求一点使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
28.本小题分
【问题发现】
如图，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接容易发现：
的度数为______ ；
线段、之间的数量关系为______ ；
【类比探究】
如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，连接，试判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
如图，点是等边外一点，，，，则 ______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，故；
故选B．
先确定的平方的范围，进而估算的值的范围．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：点到轴的距离是．
故选：．
根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：当三边是，，时，不符合三角形的三边关系；
当三角形的三边是，，时，符合三角形的三边关系，
此时周长是．
故选：．
因为题中没有说明已知两边哪个是底，哪个是腰，所以要分情况进行讨论．
考查了等腰三角形的性质，此类题注意分情况讨论，还要看是否符合三角形的三边关系．
5.【答案】
【解析】解：：：：：，
设，，，
，
，
，
不是直角三角形，符合题意．
B.，，，，
，
满足勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合题意．
C.：：：：，
设，，，
，
，
满足勾股定理逆定理，
是直角三角形，不符合题意．
D.，，，，
，
满足勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合题意．
故选：．
利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
6.【答案】
【解析】解：一次函数，随的增大而减小，
，解得．
故选：．
直接根据一次函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，另一条直角边长为：，
这个直角三角形的面积为，
故选：．
由勾股定理得，另一条直角边长为：，即可计算面积．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据动点从点出发，首先向点运动，此时，当点在上运动时，随着的增大而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此作出选择即可．
本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现随的变化而变化的趋势．
【解答】
解：当点由点向点运动，即时，的值为；
当点在上运动，即时，随着的增大而增大；
当点在上运动，即时，不变；
当点在上运动，即时，随的增大而减小．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根为，
故答案为：．
根据算术平方根的定义解决．
本题考查算术平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个正数的算术平方根．
10.【答案】
【解析】解：将数用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
11.【答案】
【解析】解：≌，
，
，
故答案为：．
根据全等三角形的对应角相等求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，，，共个．
故答案为：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个，等有这样规律的数．
13.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，斜边长，
故答案为：．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
14.【答案】
【解析】解：由上加下减”的原则可知，将函数的图象沿轴向下平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是：．
故答案是：．
直接根据“上加下减”的原则进行解答．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
随的增大而减小，
又点、是直线上的两点，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，于点，，
，
，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质结合勾股定理求得的长度，然后由等腰三角形的对称性求得阴影部分的面积．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是由等腰三角形的对称性得到阴影部分的面积为等腰三角形面积的一半．
17.【答案】
【解析】【解答】
解：易证≌，
，
设，则，
在中，，解得：，
，
．
故答案为．
【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理的正确运用，本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键．
因为为边上的高，要求的面积，求得即可，易证≌，得，设，则在中，根据勾股定理求，所以．
18.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，轴于，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
设，
，，
，，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
19.【答案】解：原式；
，
，
，
或；
解得或；
【解析】利用立方根和算术平方根的性质进行化简计算即可．
利用平方差公式先进性因式分解再求方程的解．
本题考查了求立方根、平方根，做题关键在于掌握立方根和平方根的性质．
20.【答案】解：点在轴上，
，
，
，，
点的坐标是；
点，点在一、三象限角平分线上，
．
解得，．
，．
点的坐标为
【解析】根据点在轴上可知点的纵坐标为，从而可以解答本题；
根据点在一、三象限角平分线上可知点的横纵坐标相等，从而可以解答本题．
本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确每一问提供的信息，能正确知道与坐标之间的关系，灵活变化，求出所求问题的答案．
21.【答案】证明：点是的中点，
，
，
，
在和中，
≌．
【解析】由已知条件得到，，根据三角形全等的判定定理可证得≌．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、直角三角形．
22.【答案】如图所示，即为所求，
如图所示：，
如图所示：连接，与轴的交点即为所求点点为所求，
【解析】解：见答案。
见答案。
见答案。
分析：分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
直接利用关于直线对称点的性质得出答案；
连接，与轴的交点即为所求点．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
23.【答案】解：过．
，
解得：，
，
的图象过．
，
解得：；
由函数图象可知：不等式的解集为：．
【解析】根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式把点坐标代入可得的值，进而可得点坐标，再把点坐标代入可得的值；
根据函数图象可直接得到答案．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
24.【答案】解：证明：如图所示，连接，，
，是的中点．
在中，，在中，，
，
又是的中点，
；
，
，
，
，
又，
在中，．
【解析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的性质的运用，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
连接，，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论；
分别求得，长，依据，利用勾股定理即可求得中的长．
25.【答案】解：；
由图象知，与的图象为一次函数，并且经过点，，
设与的关系式为，
则有：，
解得，
；
由题意，该乘客乘车里程超过了，
当时，，
解得．
故这位乘客乘车的里程为．
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．
根据函数图象可以得出出租车的起步价是元；
设当时，与的函数关系式为，运用待定系数法就可以求出结论；
将代入的解析式就可以求出的值．
【解答】
解：出租车的起步价是元及以内；
故答案为：；
见答案；
见答案．
26.【答案】解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：．
个．
答：款玩偶购进个，款玩偶购进个；
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得．
款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，
，
．
，
随的增大而增大．
时，元．
款玩偶为：个．
答：按照款玩偶购进个，款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
【解析】设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可；
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
27.【答案】解：点在正比例函数图象上，
，解得：，
点，在一次函数图象上，
代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，
一次函数的解析式为；
在中，令，解得，
；
点，
，
当时，
，
的坐标为或，
当时，作轴垂足为，
，轴，
，
点，
，
，
的坐标是，
当时，作轴垂足为，
设的坐标为，
在中，，，，
解得，
的坐标是
综上可知，的坐标为或或或
【解析】把点坐标代入正比例函数解析式可求得，再把、坐标代入一次函数解析式可求得、，可求得答案；
根据三角形的面积公式即可得到结论；
分、、三种情形，分别根据等腰三角形的性质、对称性及勾股定理可求得点坐标．
本题是一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、三角形的面积、等腰直角三角形的性质等知识，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键．
28.【答案】 相等
【解析】解：和均为等边三角形，
，，，
，，
≌，
，
，
≌，
；
故答案为：；相等；
如图所示，设与交于点，
和均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
≌，
，，
，
；
，
；
如图所示，以为边作等边三角形，连接，
和是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
，
为等边三角形，
，，
，
在中，，
故答案为：．
首先根据等边三角形的性质得到，，，然后根据题意证明出≌，最后利用求解即可；
根据全等三角形的性质求解即可；
首先根据等腰直角三角形的性质得到，，然后证明出≌，利用全等三角形的性质得到，，进而求解即可；
以为边作等边三角形，连接，证明出≌，然后得到，，然后得到，最后利用勾股定理求解即可．
此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形和等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
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