2022-2023学年湖南省湘西州吉首市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省湘西州吉首市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列慈善公益图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件
B. 天气预报说“明天降水的概率为”，意味着明天一定下雨
C. 随机事件发生的概率为
D. 不可能事件发生的概率为
4.将二次函数的图象向上平移个单位，得到的新图象的函数表达式是( )
A. B. C. D.
5.对于反比例函数，下列说法不正确的是( )
A. 这个函数的图象分布在第一、三象限
B. 点在这个函数的图象上
C. 这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 当时，随的增大而增大
6.已知，是方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
7.函数与在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.二次函数的图象如图所示，有如下结论：
；
；
；
为实数．
其中正确结论的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
10.如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是______．
12.一个圆锥的底面直径是，母线长为，则该圆锥的侧面积为______ 结果保留．
13.九年级班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了本图书，则全组共有______名同学．
14.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______用“”连接．
15.如图，将绕着点逆时针旋转后得到，若，，则的度数为______ ．
16.如图，是反比例函数的图象第二象限上的一点，且矩形的面积为，则______．
17.从，，这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是______．
18.如图，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于另一点如此进行下去，得到一条“波浪线”若点在此“波浪线”上，则的值为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知关于的方程．
若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根．
20.本小题分
已知二次函数
将化成的形式；并写出其对称轴和顶点坐标；
当取何值时，随的增大而减小．
21.本小题分
如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，．
求反比例函数和一次函数的解析式；
求的面积；
根据图象直接写出不等式的解集．
22.本小题分
甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是、、、，乙口袋中小球编号分别是、、，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为．
请用画树状图或列表的方法表示所有可能情况；
规定：若、都是方程的解时，小明获胜；、都不是方程的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？
23.本小题分
如图，三个顶点坐标分别为，，．
请画出关于原点中心对称的图形，并直接写出点的坐标；
请画出绕原点逆时针旋转的图形，并直接写出点的坐标；
求在的旋转过程中，点旋转到所经过的路径长结果保留．
24.本小题分
如图，在一面靠墙的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设垂直于墙的一面篱笆长为米，花圃的总面积为平方米．
若围成花圃的总面积为平方米，请设计方案．
求关于的函数关系式，并求出最大面积．
25.本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，过点作交延长线于点，且．
求证：是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，，点的坐标为，抛物线经过，两点．
求抛物线的函数解析式．
是直线上方抛物线上的一点，过点作轴于点，交线段于点，使最大．
求点的坐标和的最大值．
在直线上是否存在点，使点在以为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该方程中未知数的最高次数是，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程中含有个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．
故选：．
一元二次方程必须满足两个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且．
2.【答案】
【解析】【分析】
利用中心对称图形的定义进行解答即可．
【解答】
解：：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
：是中心对称图形，故此选项符合题意；
：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
：不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】
本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】
【解析】解：打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，因此选项A不符合题意；
B.天气预报说“明天降水的概率为”，并不能说明明天一定会下雨，只是下雨的可能性比较大，因此选项B不符合题意；
C.随机事件发生的概率不一定都是，还可能是其它的数，因此选项C不符合题意；
D.不可能事件发生的概率为，因此选项D符合题意；
故选：．
根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查概率的意义，掌握随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
4.【答案】
【解析】解：二次函数的图象向上平移个单位，得到新的图象的二次函数表达式是：，
故选：．
利用二次函数平移规律，上加下减分析得出即可．
此题主要考查了二次函数平移变换，正确记忆平移规律是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：、这个函数的图象分布在第一、三象限，故原题说法正确，不符合题意；
B、点在这个函数图象上，故原题说法正确，不符合题意；
C、这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故原题说法正确，不符合题意；
D、当时，随的增大而减小，故原题说法错误，符合题意；
故选：．
利用反比例函数的性质进行解答即可．
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
6.【答案】
【解析】解：，是方程的两个实数根，
，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，令，则，
与轴交点在正半轴，故B，选项错误，
选项中，一次函数，反比例函数比例系数，故A选项正确，
选项中，一次函数，反比例函数比例系数，故D选项错误，
故选：．
根据一次函数解析式可得与轴交点在正半轴，进而排除，选项，继而结合图象判断一次函数与反比例函数的符号，即可求解．
本题考查了一次函数与反比例数图象综合运用，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形为的内接四边形，
，
，
，
弧对的圆周角是，对的圆心角是，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线的对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定；当时，；然后由图象得出最小值确定与的大小关系．
【解答】
解：对称轴在轴右侧，
、异号，
，
当时，二次函数的图象与轴交于负半轴，
，故正确；
对称轴，
，故正确；
，
，
当时，，
，故正确；
根据图象知，当时，有最小值；
当为实数时，有，
所以为实数，故正确．
本题正确的结论有：，个．
10.【答案】
【解析】解：连接、、，如图，
四边形为正方形，为半圆的直径，
，，，
，
，，
四边形为矩形，
，
，
即，
当的值最小时，的值最小，
当且仅当、、共线时取等号，
的最小值为，
即的最小值为．
故选：．
连接、、，如图，先利用勾股定理计算出，再利用四边形为矩形得到，则，即，所以当的值最小时，的值最小，由于当且仅当、、共线时取等号，所以的最小值为，从而得到的最小值．
本题考查勾股定理和正方形的性质．
11.【答案】相离
【解析】解：圆半径，圆心到直线的距离．
故，
直线与圆的位置关系是相离．
故答案为：相离．
欲求直线与圆的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：
．
故答案为：．
根据圆锥的侧面积公式，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式．
13.【答案】
【解析】解：设全组共有名同学，则每个同学赠送出本图书，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设全组共有名同学，则每个同学赠送出本图书，根据全组共互赠了本图书，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出全组共有名同学．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
开口向上，二次函数的对称轴为直线，
距离对称轴越远，函数值越大，
，
，
，
．
故答案为：．
先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数关系式找出对称轴．
15.【答案】
【解析】解：将绕着点逆时针旋转后得到，
，
，，
，
．
故答案为：．
由将绕着点逆时针旋转后得到，可求得，然后由三角形内角和定理，求得的度数，继而求得答案．
本题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意得，
而反比例函数图象分布在第二、四象限，
所以，
所以．
故答案为．
利用反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
17.【答案】
【解析】解：
共有种情况，在第四象限的情况数有种，
所以概率为．
故答案为：．
列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到在第四象限的情况数是解决本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由题意得：每隔个单位长度，函数值就相等，
，
时的函数值与时的函数值相等，
即的值等于时的纵坐标，
对于函数，
当时，，
则，
故答案为：．
根据整个函数图象的特点可知，每隔个单位长度，函数值就相等，再根据可得时的函数值与时的函数值相等，由此即可得答案．
本题考查了二次函数的图象与性质，正确发现整个函数的图象规律是解题的关键．
19.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
则的取值范围是；
设方程的另一根为，由根与系数的关系得：
，
解得：，
的值是，该方程的另一根为．
【解析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围即可；
设方程的另一根为，由根与系数的关系列出方程，求出解确定出所求即可．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
20.【答案】解：，
该二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是；
如图，当时，随的增大而减小．

【解析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项函系数的一半的平方来凑完全平方公式，把一般式转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
根据二次函数的图象即可解答．
本题考查了二次函数的图象与性质及顶点坐标的求法，熟知二次函数的顶点式是解题关键．
21.【答案】解：反比例函数的图象过点，
，即，
反比例函数的解析式为：．
一次函数的图象过点，，
，
解得．
一次函数的解析式为：；
；
令，则，
，
即．
；
，．
不等式的解集为：或．
【解析】将点代入反比例函数解析式得出，根据，，待定系数法求解析式即可求解；
根据一次函数得出，然后根据三角形面积公式进行计算即可求解；
根据图象直接写出不等式的解集，即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：画树状图如图所示：由图知共有种等可能结果，即，，，，，，，，，，，；
解方程得，，
由知若、都是方程的解有种可能，
若、都不是方程的解有种可能，即：
小明获胜，
小刚获胜，
故游戏规则不公平．
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
画树状图展示所有种等可能的结果数，，都是方程的解的结果有个，，都不是方程的解的结果有个，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
23.【答案】解：如图所示，即为所求，点的坐标为；
如图所示，即为所求，点的坐标为；
根据题意可知，，，
点旋转到所经过的路径长为：

【解析】分别作出，，的对应点，，即可；
分别作出，，的对应点，，即可；
利用弧长公式计算即可．
本题考查作图旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24.【答案】解：设垂直于墙的一面篱笆长为米，则平行于墙的一面就为米，
由题意得，解得，，
或，
若围成花圃的总面积为平方米，花圃垂直于墙的一面篱笆长为米，平行于墙的一面长为米或垂直于墙的一面篱笆长为米，平行于墙的一面长为米；
；
，
，
当时，有最大值为．
【解析】设垂直于墙的一面篱笆长为米，则靠墙的一面就为米，利用长方形的面积公式，列方程求解即可；
设垂直于墙的一面篱笆长为米，则靠墙的一面就为米，利用长方形的面积公式，可求出关系式，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积．
本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．
25.【答案】证明：，
，
，
，
，是的半径，
是的切线；
．
，
连接，
，
是等边三角形，
是的直径，弦，
，
在和中，
，
≌，
阴影部分的面积扇形的面积．
【解析】根据切线的判定方法即可证明是的切线；
连接，证明是等边三角形，再证明≌，可得阴影部分的面积扇形的面积．
本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理、扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
26.【答案】解：，
，
，
，，
在中，，
，
，
把，代入，
得，
解得，
抛物线的函数解析式为；
设直线的函数解析式为，
把，代入，
得，
解得，
直线的函数解析式为，
设，则，
，
当时，的最大值为，此时；
在直线上存在点，使点在以为直径的圆上，
点在直线上，且，
设，
则，，，
点在以为直径的圆上，
，
，
，
解得，，
或．
【解析】由已知可求，，，则点，把，代入，即可求解析式；
先求出直线的函数解析式为，设，则，则，当时，的最大值为，此时；
在直线上存在点，使点在以为直径的圆上，则，设，可求，，，由，再由勾股定理可得，解得，，即可求或．
本题考查二次函数的图象及性质，体现了分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
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